Formules optiques



Argghh, je me souviens plus de cette formule ! Où est-ce que je l'ai mise... >:-(

Bon, après avoir éventré toutes mes notes par terre à la recherche d'un vague bout de papier griffonné, j'ai fini par mettre toutes ces formules au propre sur cette page.

Voici quelques rappels de formules bien pratiques pour calculer les paramètres de votre instrument d'observation.



1) Calcul du grossissement :

G = F / f

G : grossissement
F : focale de l'instrument en mm
f : focale de l'oculaire en mm

Par exemple, avec un télescope 115/900 et un oculaire de 9 mm, le grossissement résultant est de 900 / 9 = 100 fois.



2) Calcul de la magnitude limite théorique d'un instrument :

m = 5 log D + 2,1

m : magnitude stellaire limite
D : diamètre de l'instrument en mm

Par exemple, la magnitude limite d'une lunette de 60 mm de diamètre est : m = 5 log 60 + 2,1 = 10,99
Dans ce cas il s'agit aussi d'une approximation valable pour un instrument et un ciel de qualités moyennes. En effet, cette valeur peut varier dans d'importantes proportions (+/- 1 à 2 mag) suivant la turbulence et la transparence du site ainsi que la qualité des optiques utilisées et leur coefficient de transmission.

Pour plus de précision, on peut intégrer la valeur de la mag limite à l'oeil nu du site d'observation en utilisant la formule m2 - m1 = 5 log (D2 / D1) qui sert à estimer l'écart de magnitude entre deux instruments. Si l'on considère qu'un des 2 instruments est l'oeil nu (pupille de 6 mm), on peut écrire :

m = m(oeil) + 5 log (D / 6)

m : magnitude stellaire limite de l'instrument
m(oeil) : magnitude stellaire limite à l'oeil nu observée sur le site
D : diamètre de l'instrument en mm



3) Calcul de la taille de la pupille de sortie :

P = D / G

Que l'on peut écrire également en sachant que G = F/f :

P = f / (F / D)

P : taille de la pupille de sortie en mm
D : diamètre de l'instrument en mm
G : grossissement
F : focale de l'instrument en mm
f : focale de l'oculaire en mm

Par exemple, des jumelles 7x50 ont une pupille de sortie de 50 / 7 = 7,1 mm.
Pour les oculaires, il est souvent plus facile d'utiliser la 2ème formule, dans la mesure ou le rapport F/D de l'instrument est fixe. Un oculaire de 20 mm utilisé avec un instrument ouvert à F/5 donnera donc une pupille de sortie de 20 / 5 = 4 mm.
On notera en passant que 2 instruments de diamètres très différents mais de même ouverture (rapport F/D) auront les mêmes pupilles de sortie pour une gamme d'oculaires donnée.

Et pour savoir quelle sera la taille de l'ombre du secondaire, il suffit de multiplier la valeur de la pupille de sortie par le % d'obstruction en diamètre. Par exemple, une pupille de sortie de 4 mm avec un telescope obstrué à 32% (en diamètre) donnera une ombre de 4 x 0,32 = 1,28 mm en plein centre de la pupille de sortie.



4) Calcul du champ dans un oculaire :

Chr = Cha / G

Chr : champ réel en degrés
Cha : champ apparent de l'oculaire en degrés
G : grossissement ( = F / f )

Par exemple, une lunette de 1200 mm de focale associée à un oculaire Nagler de 7 mm et 82° de champ apparent aura donc un champ réel de 82 / ( 1200 / 7 ) = 0,478° (soit 28' 42")

Petite parenthèse pour les oculaires Télévue, le constructeur préconise plutôt pour le calcul du champ réel l'utilisation de la valeur du diaphragme de champ qui caractérise chaque oculaire Télévue, selon la formule :

Chr = 57,3 x (FS / F)

Chr : champ réel en degrés
FS = valeur du diaphragme de champ en mm (Field Stop)
F : focale de l'instrument en mm

Dans l'exemple ci-dessus, si l'on utilise cette formule (le Nagler 7 mm T6 a un diaphragme de champ de 9,7 mm), on obtient donc un champ réel de 57,3 x ( 9,7 / 1200 ) = 0,463° (soit 27' 47"). Notez que la différence n'est pas énorme par rapport à la formule précédente. Celle-ci est tout de même plus précise du moins en ce qui concerne les oculaires Télévue puisque c'est le seul à donner la valeur de leur diaphragme de champ. Les plus filous d'entre vous comprendront pourquoi ce choix en regardant la formule suivante... ;-)



5) Calcul du champ au foyer d'un instrument :

Ch = 2 x Arctan [T / (2 x F)]

Ch : champ en degrés
T : taille du porte-oculaire, ou du film photo, ou du capteur numérique (en mm)
F : focale de l'instrument en mm

Par exemple, quel champ réel va couvrir un cliché pris par un appareil numérique équipé d'un capteur 4/3 (17,3 x 13,0 mm) et d'un objectif 14 mm ?
Réponse : Longueur = 2 x Arctan [17,3 / (2 x 14)] = 63,4° ; et pour la largeur = 2 x Arctan [13 / (2 x 14)] = 49,8°

Notons maintenant que pour les focales d'instruments utilisés en astro la formule ci-dessus se simplifie par la suivante :

Ch = 57,3 x T / F

Par exemple, le champ d'une lunette de 800 mm de focale, possédant un porte-oculaire coulant 50 mm a un champ au foyer de : Ch = 57,3 x 50 / 800 = 3,5°
Un film 24x36 enregistrera avec cette lunette un champ de : Ch = 57,3 x 24 / 800 et Ch = 57,3 x 36 / 800 soit : 1,7° par 2,5°.



6) Calcul du champ réel de jumelles :

a) Si la valeur du champ apparent en degrés est donnée alors c'est facile, on utilise la même formule que pour les oculaires :

Chr = Cha / G

Chr : champ réel en degrés
Cha : champ apparent de l'oculaire en degrés
G : grossissement ( = F / f )

Par exemple, des jumelles 10x42 de 63° de champ apparent ont un champ réel de 63 / 10 = 6,3°


b) Si la valeur du champ réel en degrés est donnée en mètres à une distance de 1000 m :
Souvenez vous, tangente = côté opposé / côté adjacent (oulaaaaaaa c'est loin !!), donc on peut écrire :
Chr = Arctan (Ch1000m / 1000), ce qu'on peut reformuler plus simplement :

Chr = Ch1000m / 17,5

Chr : champ réel en degrés
Ch1000m : champ apparent en m à une distance de 1000 m

Dans l'exemple des 10x42, leur champ réel à 1000 m est de 110 m ce qui donne un champ réel de 110 / 17,5 = 6,3°.


c) Si la valeur du champ réel en degrés est donnée en feet à une distance de 1000 yards :
C'est pareil, il suffit juste de se dire que 1 yard = 0,9144 m = 3 feet. Ça donne :

Chr = Ch1000f / 52,5

Chr : champ réel en degrés
Ch1000f : champ apparent en feet à une distance de 1000 yards

Et pour nos 10x42, leur champ réel à 1000 yards est de 330 feet, ce qui donne un champ réel de 330 / 52,5 = 6,3°.



7) Calcul de la taille de la tache de diffraction :

Du fait de la nature ondulatoire de la lumière, une source de lumière ponctuelle située à l'infini (une étoile) n'aura pas dans un instrument d'optique un aspect ponctuel à fort grossissement mais prendra l'aspect d'une tache centrale (la tache de diffraction, encore appelée le disque d'Airy) entourée d'un ou plusieurs anneaux de diffraction.
Le schéma ci-dessous nous montre à gauche l'aspect de la figure de diffraction dans un intrument d'optique. Au centre et à droite, deux vues intégrant en ordonnée l'intensité de la lumière diffractée.


Il est possible de calculer le rayon angulaire ou linéaire (ρ) de la tache diffraction par les formules suivantes :

ρ linéaire = 1,22 x λ x F/D
ρ angulaire = 1,22 x λ / D


ρ linéaire : taille de la tache de diffraction en mm
ρ angulaire : angle apparent de la tache de diffraction en radians
λ : longueur d'onde de la lumière en mm
F : focale de l'instrument en mm
D : diamètre de l'instrument en mm

Par ailleurs, depuis la formule de calcul du ρ angulaire, en prenant comme valeur 0,56.10-3 pour λ (0,56 μm étant la longueur d'onde moyenne de la lumière visible) et en convertissant l'unité de radians en secondes d'arc, on peut écrire :

ρ angulaire = 141 / D

Par exemple, pour un télescope de 200 mm de diamètre, ouvert à F/D = 6, la tache de diffraction au foyer aura un rayon de : ρ = 1,22 x 0,56.10-3 x 6 = 0,0041 mm, soit 4,1 μm (toujours en prenant 0,56 comme longueur d'onde moyenne dans le visible).
Cela donnera en mesure angulaire pour ce même télescope : ρ = (1,22 x 0,56.10-3 / 200) x 3600 x 180 / π (ou plus simplement 141 / 200 !) = 0,705".
Notons qu'il ne s'agit pas de la valeur du rayon du disque d'Airy, mais celle du rayon du premier anneau obscur, c'est à dire la distance depuis le pic central jusqu'au premier minimum. Ainsi, 2 étoiles espacées de 2ρ, n'auront pas leurs disques d'Airy tangents, et visuellement on continuera à percevoir du noir entre les 2 pour des valeurs bien inférieures. Par exemple, à l'oculaire d'une lunette de 130, où ρ ≈ 1,08", sur une double équilibrée de mag 6, on percevra sans ambiguité du noir entre les 2 disques d'Airy si le couple est séparé de 1,6" (1,5ρ), et la sensation visuelle de voir les 2 disques tangents se situera environ à 1,3" (1,2ρ).

En conséquence :
- Dans le cas d'une utilisation en imagerie (au foyer de l'instrument et sans oculaire), la taille de la tache de diffraction d'une étoile ne dépend que de l'ouverture (rapport F/D).
- En visuel, à grossissement égal, les étoiles paraissent plus fines dans l'instrument de plus grand diamètre.
- Pour avoir un disque d'Airy plus grand, il suffit de diaphragmer l'instrument.
- La résolution est meilleure dans les courtes longueurs d'ondes (bleu et UV) que dans les longues (rouge et IR).



8) Calcul du pouvoir séparateur théorique d'un instrument :

Le pouvoir de résolution, ou pouvoir séparateur, est la distance minimale qui doit exister entre 2 points contigus pour qu'ils soient correctement discernés au travers d'un système optique.
La diffraction limite ce pouvoir de résolution puisque les images d'objets ponctuels ne sont plus ponctuelles. Ainsi, si deux détails d'un objet sont trop proches, leurs taches de diffraction se chevauchent et il devient impossible d'obtenir des images séparées de ces détails.
Dans des conditions d'observation parfaites, on considère habituellement qu'on peut séparer deux étoiles de même éclat écartées de 0,85 rayon de la tache de diffraction (λ = 0,56 µm). En reprenant la dernière formule ci-dessus, 0,85ρ correspond à 120 /D. Par conséquent la résolution d'un insturment s'obtient par la relation :

R = 120 / D

R : pouvoir séparateur en secondes d'arc
D : diamètre de l'instrument en mm

Par exemple, un télescope de 200 mm a un pouvoir séparateur de 120 / 200 = 0,6".
Cette formule donne une approximation de la résolution d'un instrument pour une longueur d'onde située dans le visible.
En observation planétaire (où l'on a affaire à des objets étendus et non des sources ponctuelles), la perception de certains détails inférieurs au pouvoir séparateur de l'instrument est malgré tout possible, s'il s'agit d'éléments fortement contrastés. C'est le cas par exemple de la division de Cassini (0,75" dans les anses) qui est visible dans une lunette de 80 mm (R = 1,5").
Pour comprendre cette notion, il faut penser que la surface est un facteur qui intervient dans la visibilité, comme le contraste. Aussi, si l'on considère 2 objets au loin, le mieux visible sera le plus grand, ou bien s'ils ont la même taille, le plus contrasté.



9) Calcul de la résolution en fonction de la distance :

On peut déterminer la taille T des détails que peut résoudre un instrument par la relation :

T = tan (R / 3600) x D

Où D est la distance de l'objet observé, et R (seconde d'arc) le pouvoir de résolution. T et D conservent la même unité.

Par exemple, un télescope de 200 mm (R = 0,6"), pourra discerner sur la Lune (D = 384000 km), des détails de : tan (0,6 / 3600) x 384000 = 1,12 km (T).
Un télescope de 1 m aura une résolution lunaire de : tan ((120 / 1000) / 3600) x 384000.103 = 223 m !


Voilà, tous à vos calculettes !



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