FORMULAIRES DE CALCUL

Vous trouverez à partir de cette page des explications etdes formules de calcul sur :


dépression del'horizon

D en radians

h = altitude en kilomètres

r = rayon terrestre (~ 6368 km)

Cette formule intègre des éléments deréfraction. Il n'est donc pas possible d'en déduiredirectement la distance à l'horizon par latrigonométrie.

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distance àl'horizon

distance en km

h = altitude en mètres

Cette formule est approximative, mais elle intègreaussi la réfraction (sans la réfraction, la constanteserait 3,57 et non pas 3,8). La précision est de quelques %.

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calcul de l'azimut, dela distance et de la ligne de visée

J'ai réalisé des calculs différents de ceuxque Michel APERIO présente sur son site, quoiqueappliqués au même triangle Canigou - centre de la Terre- point d'observation.

J'ai effectué au préalable un travail le plusprécis possible de relevé depositions géographiques. J'aiutilisé pour cela le quadrillage kilométrique LambertIII sur les cartes IGN, permettant d'avoir un positionnement au mmprès, soit 25 m sur le terrain (sauf Notre-Dame de la Garde etle Rove). Dans le cas du Canigou, j'ai doublé cesrelevés avec le quadrillage UTM fuseau 31 qui estreporté sur la dernière édition de la carte.Puis j'ai effectué les conversions vers les coordonnéespolaires à l'aide du logiciel PathFinder (traitement delevés GPS). Des divergences peuvent apparaître avecd'autres relevés, mais cette méthode a l'avantage de sebaser sur un seul système géodésiquehomogène.

L'image ci-dessus n'est qu'un résumé dufichier Excel téléchargeable,qui comprend tous les calculs intermédiaires.

Dans le fichier complet, les données non calculées(mesurées) figurent en italique :

ainsi que les valeurs de l'ellipsoïde (1/2 grand axe et 1/2petit axe).

Toutes les autres données sont calculées :


Mes résultats sont différents de ceux de MichelAPERIO, car j'ai employé des formules différentes dessiennes à certaines étapes.

Je ne retrouve pas non plus la valeur donnée par YvonGEORGELIN pour la visée directe depuis Notre-Dame de la Garde: il annonce -120 m, alors que mes calculs donnent - 200 m.Toutefois, en prenant pour rayon terrestre 6 365 300 m (valeuremployée par GUIGAY dans son article publié en 1972dans L'astronomie), je trouve bien -120 m...

Si quelqu'un trouve une erreur dans mon raisonnement, qu'il ne segêne pas pour me la signaler !

détail des calculs :

Soit le triangle :

1) Calcul de CAm le rayon terrestre au niveau du Canigou :

x = 1/2 grand axe . cos(latA)

y = 1/2 petit axe . sin(latA)

On applique Pythagore au triangle rectangle :

CAm2 = x2 + y2 => CAm

2) Calcul de b :

b = CAm + AAm

AAm est l'altitude du Canigou => b


3) Calcul de CBm le rayon terrestre au niveau du sited'observation : même chose que pour CAm => CBm


4) Calcul de a : même chose que pour b => a


5) Calcul de CM : même chose que pour CAm ou CBm, en prenantpour latitude la moyenne des latitudes de A et B : latM = (latA +latB) / 2 => CM

Attention : ne pas faire la moyenne des deux rayons terrestres,ça n'a rien à voir !


6) Calcul de l'angle p :

On travaille dans le triangle sphérique ABP, où P est le pôle nord.

cos p = cos m . cos n + sin m . sin n . cos(P)

=> p

7) Calcul du côté AB : on résout le trianglequelconque ABC

AB2 = a2 + b2 - 2.a.b.cos(p) => AB


8) Calcul de l'angle A : autre relation dans le trianglequelconque ABC

AB / sin(p) = a / sin(A) => angle A


9) Calcul de la hauteur CF : formule trigonométrique dansle triangle rectangle CAF

sin(A) = côté opposé / hypothénuse = CF/ b => hauteur CF


10) Calcul de la visée : la hauteur de la ligne devisée par rapport à l'horizon est tout bêtementCM - CF

CQFD


11) Calcul de la distance : à partir de l'angle pcalculé au 6) et du rayon terrestre moyen CM calculé au5)

distance = CM . p

p en radian !

=> distance CQFD

Dans le tableau, ce rayon moyen figure sous l'abrévationRm.


12) Calcul de l'azimuth : toujours dans le trianglesphérique ABP

cos(m) = cos(n) . cos(p) + sin(n) . sin(p) . cos(A)

=> angle A

azimuth = 360 ° - angle A CQFD

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L'ellipsoïde

Pour tous les calculs faisant intervenir le rayon terrestre(distance, visée,...), je suggère d'utiliserl'ellipsoïde de Clarke 1880 plutôt que le GRS 80utilisé par Michel APERIO.

Le GRS 80 est l'ellipsoïde de référenceutilisé dans le système géodésiqueuniversel WGS 84. Le GRS 80 donne en effet une bonne approximation dela surface moyenne de la Terre aux petites échelles. C'est laraison pour laquelle le WGS 84 a été retenu pour lessatellites GPS et le quadrillage kilométrique UTM dont laportée est mondiale.

En revanche, pour des échelles plus grandes, de nombreuxpays ont adopté un système géodésiquenational, basé sur un ellipsoïde plus adapté aupays. En France métropolitaine, l'Institut GéographiqueNational utilise le système RTF 96 basé surl'ellipsoïde de Clarke 1880 pour déterminer lescoordonnées géographiques (latitude / longitude) et lequadrillage kilométrique Lambert.

GRS 80

Clarke 1880

écart

1/2 grand axe

6 378 137 m

6 378 249, 2 m

10E-5

1/2 petit axe

6 356 752, 114 1 m

6 356 515 m

10E-5

aplatissement

1/298, 257 221 538 148 6

1/293, 466 021 293 626 910

10E-5

On constate que l'écart reste très faible, en toutcas inférieur à la précision des positionsgéographiques que nous avons pu relever, et certainementinférieur à l'écart entre l'ellipsoïde deréférence et le géoïde. Si l'utilisation duClarke 1880 est préférable sur le principe, dans lapratique elle sera nécessaire quand nous aurons relevéla position des différents sites... au 100e de mm !

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