Dossier : Matériel

La densité de probabilité donne la probabilité qu'à une mesure de se trouver dans un certain intervalle centré autour de la valeur moyenne. Par exemple écrire x ± 1s signifie que si on mesure de nombreuse fois la quantité x, les résultats se trouvent 68% du temps dans un intervalle compris entre - 1s et + 1s autour de la moyenne. A un intervalle de ± 2s correspond 95% des valeurs mesurées, et ainsi de suite. Le pourcentage d'occurrence dans un intervalle s'appelle une espérance mathématique. Le tableau suivant montre la valeur de cette dernière pour divers écart-types usuels.

Généralement l'erreur d'une mesure s'exprime à 1s (espérance mathématique de 68%). Par exemple dire qu'une étoile se trouve à 12 ± 1.2 années lumières signifie que l'écart-type est de 1.2 années lumières. Un intervalle de ±  3s (espérance de 99.7%) contient la quasi-totalité des échantillons mesurés. Pour bien appuyer ce point, on désigne un bruit à 3s par l'expression bruit crête à crête. Le bruit crête à crête vaut donc trois fois la valeur du bruit RMS.

Pour rendre plus parlant l'importance du bruit relativement au signal mesuré, il est avantageux de parler en terme de rapport signal sur bruit ou rapport S/B. Une forte valeur du rapport signal sur bruit signifie que la confiance attribuée aux valeurs mesurées est elle-même forte. Le rapport signal sur bruit est donc un outil commode pour décider si une mesure ou si un signal observé est significatif. L'expression du rapport signal sur bruit est :

Bien souvent en astronomie, on cherchera des signaux noyés dans un bruit de fond important. Il est traditionnel, mais c'est assez arbitraire, de décréter que le signal sort du bruit lorsque le premier est 3 à 5 fois plus intense que le second. Cela s'écrit S/B=3 ou S/B=5. On parle aussi de détection à 3 sigma ou à 5 sigma (3s ou 5s ). Tout ceci, transcrit dans notre hall de gare, signifie que l'interlocuteur sera audible si sa voix couvre d'un facteur 3 à 5 le fond sonore ambiant. En astronomie CCD, il sera possible d'élever le rapport signal sur bruit par des moyens aussi divers que l'accroissement du diamètre du télescope, l'augmentation du temps de pose, le choix optimal des caractéristiques du CCD, la sélection d'un bon site d'observation, le traitement optimal des images. Parfois la connaissance à posteriori des caractéristiques du signal aide à l'extraire du bruit grâce à des opérations de filtrage ou de corrélation. Ainsi, toujours par analogie, si votre interlocuteur parle français dans une gare londonienne, l'intonation du discours dans votre langue natale facilitera la compréhension. Ces considérations sont à la base de très nombreux algorithmes de traitement d'images.

Voyons d'autres définitions qu'il est bon de connaître. On appelle mode, une valeur correspondant à la densité de probabilité maximum. Parfois, il peut arriver que la courbe de densité de probabilité présente plusieurs «bosses». On dit alors qu'elle est multimodale, sinon elle est unimodale. L'expression du langage courant être à la mode découle directement de cette définition. Elle signifie que vous vous coulez dans le moule du plus grand nombre, ce qui soit dit en passant, est une sorte d'aliénation collective détestable.

La médiane est un paramètre statistique important en traitement d'images astronomiques. Pour comprendre sa signification, le plus simple est de traiter un exemple complet. Supposez que vous soyez en possession des 5 mesures suivantes d'une même quantité physique.

32 45 12 20 27

Trions ces valeurs par ordre croissant pour obtenir la séquence :

12 20 27 32 45

La valeur médiane est alors la valeur centrale de la séquence triée, soit ici 27. Si le nombre d'éléments est pair, la valeur médiane n'est pas accessible directement : Il faut procéder en calculant une moyenne. Par exemple, si l'échantillon contient les valeurs suivantes :

12 20 27 32 45 52

La médiane est ( 27 + 32 ) / 2 = 34,2.

Si la courbe de distribution est symétrique, la moyenne, le mode et la médiane sont confondus. Ce n'est plus le cas en présence d'une asymétrie, par exemple lorsque l'on calcule la distribution de l'intensité des pixels dans une image du ciel profond. La courbe de distribution s'appelle alors un histogramme. Le nombre de pixels ne contenant que de l'information provenant du fond de ciel est écrasante par rapport aux pixels recevant le signal des étoiles. Si l'objectif en traçant l'histogramme est d'estimer le niveau de fond de ciel dans l'image, le pic de l'histogramme, c'est-à-dire le mode, donnera la valeur la plus fiable, suivi par la valeur médiane puis par la valeur moyenne.

Une expérience simple permet de bien mettre en évidence l'existence du bruit dans une caméra CCD. Réalisez une première image avec un temps de pose très bref dans l'obscurité totale. Relevez l'intensité d'un pixel de coordonnées (x,y). Faites une nouvelle acquisition dans les mêmes conditions, puis notez l'intensité du même pixel (x,y). A moins d'avoir beaucoup de chance les deux intensités n'auront pas la même valeur. Recommencez cette expérience plusieurs fois, la dispersion des intensités autour d'une valeur moyenne est évidente. Dans les conditions d'acquisition de notre expérience, la valeur du bruit (son écart-type) a toutes les chances d'être semblable d'un pixel à l'autre. En revanche, pour une image donnée la manifestation du bruit de pixel à pixel n'est pas identique compte tenu de son caractère aléatoire, d'où l'aspect granuleux caractéristique de l'image. Il faut se méfier cependant des apparences, car si la différence d'intensité de deux pixels voisins dans une image peut être la signature de la présence du bruit, cela peut aussi être la manifestation d'une différence physique intrinsèque entre ces deux pixels. D'un coté l'erreur est aléatoire, de l'autre elle est systématique et donc corrigible.

Comme il est très rare qu'il n'y ait qu'une seule source de bruit dans un système de mesure, il nous faut à présent aborder le problème posé par la combinaison de bruits élémentaires. C'est en effet la combinaison adéquate de divers bruits élémentaires qui permettra de remonter à la performance d'un instrument.

Le simple fait d'additionner deux images, une opération très courante en astronomie, implique que le bruit dans le résultat sera plus important que dans les deux images prises individuellement. La même affirmation peut être strictement tenue lors de la soustraction de deux images. Si le bruit dans la première image est s 1 et si le bruit dans la seconde image est s 2, on démontre que le bruit résultant s t sera égal à la racine carrée de la somme quadratique des termes d'erreur :

Plus généralement, si nous avons n sources de bruit, correspondant par exemple à n images additionnées ou soustraites, le bruit final sera :

Tout ceci n'est correct que si les bruits sont décorrélés dans les images. L'exemple inverse serait d'additionner deux fois la même image. Dans ce cas, la structure de bruit est identique spatialement entre les deux images. Cette fois le bruit final sera la somme arithmétique du bruit des deux images et non plus la racine carrée de la somme quadratique. La différence entre ces deux situations est fondamentale et apparaît clairement si nous calculons le rapport signal sur bruit. Supposons que nous additionnons deux images ayant un niveau de bruit équivalant s mais décorrélé. Ce seront par exemple deux images distinctes acquises en séquence avec une bonne caméra CCD. Les bruits de chaque image s'additionnent quadratiquement et le bruit final est :

Le signal I de chacune des images s'additionnant arithmétiquement, le rapport signal sur bruit devient :

Le rapport signal sur bruit a donc augmenté d'un facteur 1.414 après l'addition des deux images. C'est un gain très appréciable en détection. D'une manière plus générale, il est facile de voir que si vous additionnez n images, le rapport signal sur bruit augmente de Ö n. Examinons à présent ce qu'il advient de la détectivité lorsque nous additionnons deux fois la même image. L'effet de moyenne qui est la conséquence de la décorrelation des images dans la situation précédante n'agit plus ici. Il faut se résigner à additionner arithmétiquement les bruits. En même temps, bien sûr, la quantité de signal continue à être doublée dans le résultat. Nous avons :

Le rapport signal sur bruit après addition est identique à celui des images élémentaires, donc le gain est nul. En d'autres termes, il est impossible d'accroître la qualité d'une image en multipliant tous les pixels par un coefficient (ici un facteur 2). Ca serait bien trop simple !

Une conséquence importante de la sommation quadratique de bruits élémentaires est que si un terme de bruit est nettement prépondérant par rapport aux autres, le bruit final est très proche du bruit prépondérant. C'est ce que montre l'application numérique suivante. Supposons l'addition quadratique de deux termes, l'un vaut 100, l'autre 10. Le bruit total est :

 

L'influence du terme minoritaire est totalement marginale. La leçon à tirer est que dans un système de détection, tel qu'une caméra CCD, s'il faut viser à réduire au maximum les bruits, il est parfaitement inutile de s'épuiser sur les sources minoritaires. Le corollaire est qu'une caméra CCD de qualité sera une caméra où le concepteur aura traqué les sources de bruit principales tout en laissant de coté les sources minoritaires. C'est comme cela que l'on fabrique des caméras CCD de bon rapport qualité/prix. Dans la même vaine, le fait d'utiliser une caméra CCD ayant un bruit de quelques électrons seulement (c'est une très bonne performance) dans un site subissant les assauts de la pollution lumineuse tient du gâchis et du snobisme en raison de la présence d'un bruit de grande valeur provenant du signal lui-même. Un terme élémentaire peut être considéré comme négligeable, s'il est inférieur d'un facteur 3 à 4 au terme dominant.

La sommation quadratique des bruits est applicable à l'addition ou à la soustraction des signaux. Les choses se compliquent un peu lorsque l'on divise par exemple une image par une autre. Le bruit final dépend alors non seulement du bruit élémentaire de chaque image mais aussi de la valeur du signal dans chaque image. Avec I, I1, I2 respectivement le signal moyen résultant, le signal moyen dans le numérateur et le signal moyen dans le dénominateur, on montre l'existence de la relation suivante :

 

Puisque I = I1/I2, le bruit final s sera :

Un des points à relever dans cette formule est l'importance du terme I2. Une faible valeur pour ce dernier est susceptible d'être synonyme d'un faible rapport signal sur bruit dans le dénominateur d'où un apport de bruit dans le résultat pouvant être considérable. Nous reviendrons sur cet important problème lorsque nous discuterons des bruits ajoutés lors des corrections radiométriques des images.

Dans un système de détection comme une caméra CCD, le bruit est parfaitement nuisible et nous chercherons constamment à le réduire partout où c'est nécessaire. Mais nous allons finir par une petite curiosité démontrant que dans certaines circonstances il est possible de se servir du bruit pour accroître la qualité des mesures !

La clef s'appelle résonance stochastique. Une très bonne illustration de ce phénomène se terre dans le Convertisseur Analogique Numérique (CAN) qui équipe toute caméra CCD utilisée pour l'astronomie. Le rôle du CAN est de transformer le signal issu de la caméra (des volts par exemple) en un signal numérique. Le signal de sortie se matérialise sous l'aspect de nombres entiers couvrant une échelle limitée (typiquement entre 256 et 65536 niveaux). La conséquence est qu'à un nombre donné en sortie (un pas de quantification) correspond une certaine plage de signal en entrée.

Supposons que pour obtenir en sortie un certain pas de quantification n il soit nécessaire que le signal d'entrée soit compris entre 1,1 et 1,5 V et que pour obtenir le pas suivant, n+1, il faille que le signal soit compris entre 1,5 et 1,9 V. A présent imaginez que le signal à mesurer soit de 1,3 V. Le CAN indiquera la valeur n en sortie. Faisons croître le signal jusqu'à 1,4 V. La sortie reste imperturbablement n. Notre petite variation de tension est donc indécelable.

Ajoutons du bruit au signal pour que la fluctuation qu'il induit soit de ± 0,1V à 2 ou 3s. Si la moyenne du signal d'entrée est de 1,2 V, il n'y a rien de nouveau : Nous observons toujours le nombre n en sortie. La situation est toute autre si la moyenne du signal d'entrée est de 1,3 V. La plupart du temps nous enregistrerons la valeur n, mais en raison du bruit, le signal peut parfaitement fluctuer entre 1,2 et 1,4 V, aussi nous verrons apparaître de temps à autre le pas de quantification n+1. Le bruit a donc permis d'accroître la sensibilité ! Notez, bien que le principe de la résonance stochastique ne puisse être exploité que sur des signaux très faibles vis-à-vis du seuil de détection, ce qui, dans une caméra bien conçue, ne devrait jamais être le cas.