CONFÉRENCE SUR LE CHAOS

(septembre 2004)

[1] Pendule simple,
mouvement et espace des phases

MISE EN ÉVIDENCE DU CHAOS

Nous allons tenter de classifier les types de phénomènes chaotiques - et au passage d'en montrer la richesse, voire l'universalité.

PHÉNOMÈNES PÉRIODIQUES (non chaotiques) :
a) Le pendule simple : notion d'espace des phases

Quand on ne se sert que d'un pendule simple, son mouvement obéit à des lois simples, qui ne dépendent que de la pesanteur. Ce mouvement n'est pas chaotique.
Si vous n'êtes pas convaincu(e), allez donc faire un tour au Musée des Arts et Métiers à Paris !

Seul un film pourrait montrer sa trajectoire au cours du temps. Les physiciens contournent cette difficulté en représentant non pas son mouvement, mais son comportement dans un "espace" particulier, appelé espace des phases et qui comporte autant de dimensions que de paramètres à considérer : dans le cas du pendule, c'est un espace à seulement 2 dimensions, la vitesse et la position par rapport à l'équilibre central.


Attention, l'espace des phases (ou espace des états) est une abstraction mathématique. Prenons par exemple un couple de 2 personnes, et supposons qu'on note chaque semaine :
(a) leur âge, indiqué par un nombre à virgule, et qui augmente régulièrement ;
(b) la quantité de verres de vin qu'ils ont bus dans la semaine ;
(c) leur état amoureux l'un envers l'autre sur une échelle de 1 à 10 ;
cela donne 3 nombres par personne : on est dans un espace à 6 dimensions !!! si on dessine un "point" par semaine (ayant 6 coordonnées), on verra d'un coup l'évolution du système formé par ces deux personnes au cours du temps.
Mais comme l'être humain ne peut pas voir en 6 dimensions, il se consolera avec des projections, exactement comme le cinéma projette la réalité en 3 dimensions sur un écran en 2 dimensions.

La figure [1] montre comment sont construits les points dans cet espace :

TOUS les phénomènes qui finissent par se stabiliser ont pour attracteur un POINT.

b) Autres mouvements périodiques

Les mouvements périodiques, même entretenus (comme le balancier d'une horloge) ne sont pas non plus des mouvements chaotiques.

Leur attracteur, comme dans le cas (fictif) du pendule sans frottement, est une courbe simple fermée, par exemple un cercle.

MOUVEMENTS QUASI-PÉRIODIQUES (non chaotiques)

Certains mouvements combinent des oscillations indépendantes, c'est par exemple le cas du mouvement de l'oeil avec ses saccades naturelles.

La forme de l'attracteur est alors un tore (forme de beignet troué) :

MOUVEMENTS CHAOTIQUES

On peut FORCER un pendule à avoir un comportement chaotique :

[1] Le pendule forcé [2] Son attracteur

(On peut tout simplement forcer un pendule en accrochant un 2° pendule au premier !)

Voir aussi : Résumé sur les différents attracteurs

Pour en savoir plus : http://www.cax.free.fr/chaos/chaos.html

Nous allons voir bien sûr beaucoup d'autres exemples dans cette conférence...



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© Sophie MUGNIER