Histoire
On trouve cette situation dans de nombreux cas, voir notamment la fiche sur Feigenbaum : turbulence dans les fluides, chocs des masses tournantes avec des bâtis, variation de l'amplitude des oscillations d'une boussole tournant avec frottement dans un champ magnétique variable...
Un important théorème de 1964 dû à Sharkovsky a prouvé que : «Si une fonction possède un cycle d'ordre 3, alors elle possède des cycles de tous les ordres possibles, et donc des germes turbulents».
Autrement dit : Période 3 implique chaos !
Les doublements de périodes se produisent en remontant du bas à droite vers le haut à gauche du tableau
ci-dessous. Par exemple, si on trouve un cycle d'ordre 32, on trouve aussi les cycles d'ordre 16, 8, 4, 2 et 1 :
on voit que pour le cycle d'ordre 3 on finira par avoir tous les cycles possibles.
Rappelons qu'un système est quasi-périodique quand il comporte au moins deux oscillateurs : un oscillateur de fréquence f1 et un oscillateur qui le perturbe, de fréquence f2, les deux fréquences ayant un rapport irrationnel entre elles (sinon les deux oscillateurs sont en résonance).
En 1963, théorème de Kolmogorov [4]-Arnold-Moser (KAM) : «Pour tout phénomène hamiltonien [dont l'énergie totale est conservée], dépendant d’au moins 3 paramètres physiques et soumis à un "bruit" : la fréquence d'apparition des phénomènes chaotiques est d'autant plus élevée que l'amplitude du bruit est grande».
C'est ce modèle qui est exploité : pour les variations du champ magnétique terrestre, les problèmes
de santé dus au dérèglement de notre horloge interne, et en astronomie...
Etudié par exemple par Pommeau.
Voir vidéo de l'expérience de Belousov-Zhabotinski (réaction chimique oscillante) sur le site : http://www.ac-nancy-metz.fr/enseign/physique/video/video2.htm
Elle aboutit à une organisation à la fois dans le temps et dans l'espace (figure [5]) avec deux sortes
de structures sur fond rouge :
- des ondes circulaires concentriques bleues
- des structures spirales qui tournent comme des roues de charrette autour d'un centre.
Voir aussi David Ruelle et Yoccoz dans la galerie d'exemples.