Le calcul des perturbations permit de grandes avancées en astronomie, dont la plus célèbre est sans aucun doute
la prévision qu'on découvrirait une planète au-delà d'Uranus (elle-même vue par hasard en 1781 par Herschell).
Et en effet, Johann Gottfried Galle trouva Neptune [image 1] en 1846, en suivant les calculs d'Urbain Le Verrier.
- Avec cette méthode, Laplace montre par exemple que les orbites de Jupiter et de Saturne se rapprochent puis s’éloignent
régulièrement avec une période de 800 ans. On savait donc avant le XIX° siècle que le système solaire n’est pas tout
à fait immuable même s'il paraît en équilibre stable.
- Lagrange, étudiant le cas de figure où l'un des
corps est TRÈS massif par rapport aux deux autres, trouve les 5 fameux points de
stabilité Lagrange : les astéroïdes Grecs et Troyens qui accompagnent Jupiter sont
situés sur les points L4 et L5, les plus stables de tous [image 2].
- Laplace, améliorant des calculs de Newton, réussit à ramener la différence entre la position observée de la Lune
et sa position calculée à 1/120° de degré seulement ! L'erreur persistante vient du fait que le Soleil n'exerce pas
seulement une "petite" perturbation de la trajectoire de la Lune autour de la Terre...
Dès 1877, le physicien théoricien Maxwell (qui a mis les ondes électro-magnétiques en
équation) se rend compte que la connaissance imparfaite des conditions initiales rend un
peu théorique le 1er principe : «les mêmes causes produisent toujours les mêmes
effets». Lui et Boltzmann modélisent la cinétique des gaz (animation [3]). Quand on a des milliards de
molécules, impossible de les suivre individuellement : les statistiques font une entrée
fracassante en physique - mais de nombreux savants en refusent la seule idée, par attachement au
déterminisme.
D'autant qu'avec les statistiques, l'irréversibilité fait aussi son entrée en physique,
et notamment en thermodynamique : imaginez une puce livrée à elle-même sur une case d'un échiquier,
on a des chances raisonnables qu'elle revienne sur cette même case après quelques sauts. Mais si
on a 64 puces au départ, chacune sur une case de l'échiquier, les chances de retrouver cette même
configuration est bien moindre.
1 litre de gaz parfait contient 2,7.1022 molécules.
L'entropie traduit le fait que ce litre a 1050 000 000 000 000 000 000 000 (22 zéros) états
quantiques possibles... elle mesure la quantité de hasard présente dans un système.
Autre irréversibilité : 1 litre de gaz froid + 1 litre de gaz chaud --> 2 litres tièdes (et ça marche
dans un seul sens ; en fait, selon l'hypothèse ergodique (=statistique) de Boltzmann, les deux gaz pourraient
se séparer à nouveau mais dans un temps incroyablement long. Finalement, dans tout processus physique,
l'entropie reste constante ou augmente, et si elle augmente le processus est irréversible.
Voici quelques exemples supplémentaires :
- Pensez en effet à un jeu de billard : deux coups extrêmement proches au départ
peuvent grandement diverger à l'arrivée [image 4], notamment à cause de très petites
imperfections dans la boule ou dans le bord de la table.
- Encore plus simple : imaginez un crayon en équilibre sur sa pointe et qu'on lâche (sans le
pousser) : peut-on prédire de quel côté il va tomber ?
- Pensez aussi à un ballon de baudruche que l'on dégonfle et qu'on lâche : vous ne pourrez
jamais prévoir l'endroit où il finira par se poser.
- Pensez encore à la feuille qui tombe d'un arbre en automne : pouvez-vous prévoir l'endroit où elle
atterrira ?
Il est vrai que dans les trois derniers cas on ne saurait pas traduire la trajectoire en équation simple.
Poincaré et le problème des 3 corps
L’université de Stockholm organise en
1889, pour les 60 ans du roi de Suède,
un concours sur la question et le sujet est proposé par Weierstrass :
«Pour un système quelconque de points massifs s’attirant mutuellement selon les lois de Newton, en supposant
qu’aucun de ces points ne subisse de collisions, donner en fonction du temps les coordonnées des points individuels
sous la forme d’une série uniformément convergente dont les termes s’expriment par des fonctions connues».
A cet énoncé, Weierstrass rajoute un commentaire explicatif :
«Ce problème, dont la résolution élargirait considérablement notre compréhension du système solaire, devrait
pouvoir être résolu à l’aide des méthodes analytiques actuellement disponibles.».
Un jeune mathématicien français, Henri Poincaré (1854-1912), est déclaré vainqueur du concours
malgré une erreur de raisonnement qu'il corrigera par la suite.
Il démontre alors que le problème est mal posé et qu’il n’a pas de solution.
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Raisonnement de Poincaré (vous pouvez le sauter en 1ère lecture !)
Comme Poincaré réalise très bien la complexité du problème posé par Weierstrass, il préfère se limiter
au mouvement de trois corps célestes tels que l’ensemble Soleil, Terre, Lune et son étude progresse par étapes :
1) Les équations du problème à trois corps sont non linéaires et non intégrables.
Les solutions sous forme de série ne peuvent être que particulières et inutilisables pour les prévisions à long terme.
2) Il vaut mieux chercher des solutions qualitatives par une étude géométrique dans l’espace des phases (ou des
états du système), espace abstrait à 18 dimensions (!) (3 pour les positions + 3 pour la vitesse de chacun des 3 corps).
Comme il n’est pas très facile de visualiser 18 dimensions, il procède à des "coupes" - les fameuses sections de Poincaré
(cliquez ici pour en savoir plus).
3) Poincaré simplifie le problème en supposant que l'un des trois corps, le plus massif, est immobile.
Mais même dans ces conditions, il constate que certaines positions de départ des 3 corps
entraînent des trajectoires très instables.
Il découvre ainsi qu’il y a, pour l’essentiel, et suivant les conditions initiales, deux types de solutions :
les solutions périodiques et les solutions chaotiques.
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Les travaux de Poincaré prouvent donc pour la première fois que
certains phénomènes physiques sont très sensibles aux conditions initiales.
au point que le 2° principe : «
à système simple, comportement simple» est
remis en cause.
Au passage il prouve que dans un amas, si une étoile double croise une 3° étoile, l'une
d'elles peut être éjectée du système, l'amas se contracter légèrement, et ainsi en
arriver à un effondrement.
Introduction
