CONFÉRENCE SUR LE CHAOS

Le jeune physicien Mitchell Feigenbaum (qui ressemble un peu à Beethoven, et dont la puissance de travail est proverbiale) a entendu Stephen Smale parler au cours d'une conférence d'un problème apparemment simple, le comportement d'une population si l'on ne tient compte que de deux paramètres :

1. la population de départ
2. son taux de croissance r (reproduction = taux de natalité)

Quand la nourriture est abondante, la population s’accroît ; mais alors la nourriture par individu diminue… et la situation à long terme est difficile à anticiper. Visuellement, cela donne :

Et écrit sous forme de formule (appelée équation logistique) cela donne :

pop_suiv = r • pop_préc(1 – pop_préc)

Il programme tout ça sur sa calculatrice HP65, qui est assez lente pour qu'il ait presque le temps de trouver les résultats avant elle (sic).
On a toujours 0 < pop_initiale < 1 car ce nombre représente un pourcentage de la population maximale théorique. Quand on calcule le devenir de cette population après quelques égénrations, on a plusieurs cas :

• si 1 <= r < 3 la population tend vers une limite ;
• si r = 3, le graphe commence à osciller, et il y a des bifurcations ;
• si r vaut environ 4, la séquence des populations devient chaotique (imprévisible).

Voici un exemple de ce que donne la suite sur une calculatrice graphique, et une population de départ de 0,9 : chaque ligne horizontale ou verticale représente une population p_n. On voit clairement les lignes converger vers une zone plus dense (l'attracteur).

Mais à mon avis on comprend mieux ce qui se passe avec un graphique montrant le temps en abscisse.
Voici une suite d'exemples des variations d'une population (avec une population de départ de 0,03 et r variable), faits sous Excel, et donc faciles à essayer par vous-mêmes :

Pour r = 1,2 : la population se stabilise rapidement.


Pour r = 2,9 : la population finit par se stabiliser.


Pour r = 3,1 : la population croît et décroît périodiquement.


Pour r = 3,9 : la population croît et décroît de façon chaotique.


Pour r = 4,1 : la population meurt assez rapidement.

Constantes de Feigenbaum

Feigenbaum construit ensuite un graphique qui récapitule (pour une valeur initiale pop₀ de la population donnée) son comportement c'est-à-dire la valeur-limite de la population pour les différentes valeurs de r.

On obtient toujours un diagramme du genre ci-dessous, ou diagramme de bifurcation.

• Pour r < 3 la limite est un nombre fixe unique.
• On voit que pour r > 3, la population peut avoir des devenirs très différents : souvenez-vous que pour r = 3,1 la courbe logistique oscillait entre deux valeurs : cela signifie que sa valeur limite sera soit l'une, soit l'autre de ces valeurs ! la MÊME population de départ avec un taux de natalité IDENTIQUE peut avoir 2 avenirs : c'est ce qu'on appelle une bifurcation.
• Et plus on se rapproche de la valeur 4, plus le dessin devient chaotique, c'est-à-dire plus les bifurcations (avenirs possibles) sont nombreux. Si on trace une verticale dans une zone chaotique, les points d'intersection dessinent une "poussière de Cantor". Il y a alors une infinité de devenirs possibles.
• Et pourtant même vers la droite du schéma il reste des zones d'ordre, non chaotiques, où le nombre d'avenirs est limité.

Feigenbaum mit en évidence 2 nombres, qui traduisent le fait que les branches successives de la courbe logistique se ressemblent (invariance d'échelle : souvenez-vous du préliminaire sur les fractales !).

Le premier est la contraction horizontale : d = 4,6692016090.... et le deuxième la contraction verticale : a = 2,5029078750957...

Or Feigenbaum eut la surprise de découvrir que ces deux nombres étaient en fait des constantes, qu'on retrouve dans de nombreux phénomènes physiques. Et pour commencer, il essaya des variantes d'équation logistique, avec à chaque fois un "arbre" des bifurcations présentant les mêmes caractéristiques ! (Feigenbaum l'appelle "figuier" !)

Par exemple, Feigenbaum et l'informaticien Oscar Lanford formalisèrent le chaos dans le cas des systèmes hydro-dynamiques : ils retrouvèrent les mêmes constantes, permettant de prédire si une transition de phase va ou non tourner au chaos.