CONFÉRENCE SUR LE CHAOS

L'expérience suivante, faite par Bernouilli (1700-1782) à l'occasion de recherches sur le décalage des horaires des marées, est compréhensible dès le niveau de la 6° :

Principe :

- on choisit deux nombres N₁ et N₂, égaux jusqu'à la 5° décimale :
     N₁ = 0,600000     et     N₂ = 0,600001
- on les multiplie par 2, mais on ne garde que la partie décimale du résultat :
     N₁ = 0,200000     et     N₂ = 0,200002
- on recommence :
     N₁ = 0,400000     et     N₂ = 0,400004

Tout a l'air régulier jusqu'ici (à l'étape 3).

Mais à l'étape 8 on trouve (essayez ! mais faites les calculs à la main, car les calculatrices ou ordinateurs ajoutent des erreurs de leur cru, dues au fait qu'eux non plus ne calculent pas avec une infinité de décimales) :
     N₁ = 0,600000     et     N₂ = 0,600256
et à l'étape 24 on trouve :
     N₁ = 0,600000     et     N₂ = 0,377216

Autrement dit, une très petite différence dans les nombres de départ aboutit à une très grande différence dans les nombres d'arrivée, après seulement 24 calculs très simples !

Le graphique ci-dessous montre les 30 premiers calculs ; les losanges évidés correspondent à la suite 1, et les petits losanges pleins à la suite 2 ; en abscisse (horizontalement) on a rprésenté le n° du calcul. Le décalage est très visible :