Force de la répétition [1]
FRACTALES

Résumé suffisant pour la suite

La nature est souvent fractale !

En grossier résumé, une courbe fractale est une courbe autosimilaire : si on la regarde sous différentes puissances de zoom, variables à l'infini, on ne fera pas la différence entre les différents niveaux de grossissement.

Or la nature offre de nombreux exemples assez proches de cette définition (même si l'on ne peut parler de limite infinie dans ces cas) :

Le chou-fleur est similaire aux bouquets qu'on lui arrache
De nombreuses plantes sont construites en ramifications [1] successives
On obtient de convaincantes simulations naturelles en utilisant les fractales [2][3]

Ci-dessous, un buisson construit en 3 étapes seulement vous montre la puissance d'un procédé qui consiste tout simplement à se donner une règle de dessin et à la répéter plusieurs fois :

SI VOUS VOULEZ EN SAVOIR PLUS

Les Fractales de Mandelbrot

Autour de 1975, le mathématicien Benoît Mandelbrot, partant d'une idée de Poincaré, a formalisé une nouvelle géométrie, la géométrie fractale.

Tout est parti d'une réflexion profonde sur le sujet "comment mesurer les côtes de la Bretagne ?".

Si vous la mesurez avec un décamètre, vous obtiendrez un nombre X de dam.
Si vous utilisez un mètre, vous pourrez tourner autour de détails de l'ordre du mètre, et le nombre Y de m vérifiera : 10 X < Y << 100 X !!!
Autrement dit, la côte de Bretagne n'est ni une courbe (sinon on aurait un facteur 10) ni une surface (on aurait un facteur 100), mais une "monstruosité" de dimension intermédiaire entre la dimension 1 et la dimension 2 : c'est cette dimension fractionnaire qui a donné son nom à la théorie complète.

Premières courbes fractales

Des mathématiciens du XIX° siècle et du début du XX° siècle avaient en effet déjà effleuré le sujet des courbes "monstrueuses". En [4] le flocon de Von Koch (1904), aux étapes 1-2-3-4 : voyez à quelle vitesse, en partant d'un simple triangle, et en répétant toujours la même action, on aboutit à une figure dentelée apparemment très compliquée.

Mandelbrot a prouvé que la dimension fractale de la figure obtenue en continuant le processus jusqu'à l'infini est Log(4)/Log(3), soit environ 1,2618.

En [5] la poussière de Cantor, aux étapes 1-7 : à la première étape on a un segment vertical, et à chaque étape on retire le tiers central de chaque segment de la figure précédente.

Comme cela arrive souvent en maths, Cantor était persuadé que sa poussière n'était qu'une curiosité sans utilité. Mais nous verrons plus loin qu'on la retrouve dans un certain nombre de problèmes chaotiques !
Cette "poussière" a la "puissance du continu", c'est-à-dire que malgré son aspect disséminé, la poussière est aussi dense que le segment de départ - je sais, c'est bizarre, mais après tout, l'infini est souvent paradoxal : aviez-vous remarqué qu'il y a "autant" de nombres pairs que de nombres entiers ??? En effet, il suffit d'associer à chaque nombre entier N son double 2N, et on obtient une "bijection"...

L'ensemble de Mandelbrot

Mandelbrot a donné son nom à une drôle de forme auto-similaire, que l'on retrouve extrêmement souvent dans les phénomènes fractals.

On travaille dans le plan complexe...

Soit R une valeur supérieure ou égale à 4.
Pour un point donné du plan, on a Z₀ = 0 et Z_n+1 = Z_n² + c
ce qui, traduit dans le plan réel, donne :
x_n+1 = x_n² - y_n² + x_c et
y_n+1 = i(2x_ny_n + y_c)

On itère K fois les termes de la suite (par exemple K = 16 fois) et on regarde à chaque fois si le "module" de Z_n (c'est-à-dire la racine de x_n² + y_n²) est inférieure à R.

Si c'est le cas jusqu'à la fin, on marque un pixel noir. Sinon, la couleur change selon le rang de la suite pour laquelle le module dépasse R.

Avec ce genre de programme, on obtient la figure de gauche. Mais on peut en variant les paramètres obtenir la figure du centre, très proche d'un vrai éclair (à droite), n'est-ce pas ?

Il y aurait des dizaines d'autres exemples à donner, mais je vais me contenter de vous montrer encore quelques images, toutes issues de calculs (au départ, IBM avait sponsorisé Mandelbrot pour qu'il trouve un moyen de traiter rapidement les fichiers graphiques : actuellement, les paysages de fond des jeux vidéos sont tous calculés). Si je ne vous avais rien dit, vous auriez cru qu'il s'agissait de photos, non ?