Calcul d'éphémérides dans le systéme solaire

par
Ghislain de FROMENT







Cet exposé, sans prétendre à l'exhaustivité, est destiné à présenter diverses méthodes permettant d'obtenir la position d'un astre mobile dans le systéme solaire.
 

A) Rappels et définitions

1) Repéres

Pour l'établissement d'éphémérides dans le systéme solaire, deux repéres sont d'usage courant :

Ces plans, non paralléles, se coupent selon une droite : celle ci sert à leurs orientations respectives. Sur cette droite se trouve le point vernal g, défini comme suit : c'est la direction du Soleil, vu de la Terre, lorsque, dans son mouvement apparent, il passe de l'hémisphére Sud à l'hémisphére Nord du repére équatorial.

Sous l'effet de diverses perturbations (essentiellement liées à la forme de la Terre donnant prise aux attractions de la Lune et du Soleil), ces repéres sont mobiles l'un par rapport à l'autre, ce qui donne lieu aux phénoménes de précession et de nutation.

Les perturbations d'origine planétaires induisent également une variation des éléments osculateurs des orbites. Il est, de ce fait, indispensable de préciser la date de référence des éléments et repéres utilisés.

D'autre part, la vitesse finie de la lumiére induit les phénoménes connus sous le nom d'aberration :

Ces divers phénoménes ont amené à définir plusieurs qualificatifs pour les coordonnées, afin de préciser lesquels sont pris en compte : Les coordonnées astrométriques publiées sont les coordonnées moyennes corrigées du temps de lumiére (aberration planétaire).

Le repére horizontal peut accessoirement être utilisé pour s'assurer de la visibilité locale de l'objet.
 
 

2) Eléments osculateurs

Ce sont les éléments orbitaux transmis dans les circulaires UAI :

Il est possible de trouver le demi grand axe a à la place de la distance du périhélie q [q=a.(1-e)]. En toute rigueur, on devrait trouver également la date pour laquelle sont donnés les éléments osculateurs, ce qui permettrait de donner également l'anomalie moyenne pour cette date à la place de l'instant du périhélie. En l'absence de cette information, il me semble logique de prendre l'instant du périhélie comme date pour les éléments osculateurs, en considérant qu'ils doivent être proches, par convention sinon dans les faits.
 
 

3) Loi de magnitude

Pour les cométes :

m1 = H + 5 log(D) + 2.5 G log(R)

avec :

Pour les astéroïdes :
m = H + 5 log(R) + 5 log(D) + 2.5 log[(1-G).F1+G.F2]

avec

B) Cas non perturbé

1) Orbites elliptiques

On pose : M = k.(t-T)/a.sqrt(a)

On résoud ensuite l'équation de Képler : u-e.sin(u)=M par itérations successives, en posant d'abord :
u(0) = M
puis :
u(n+1) = u(n) + [(M - u(n) + e.sin(u(n)))/(1 - e.cos(u(n)))]
jusqu'à ce que la valeur absolue de la différence u(n+1)-u(n) soit inférieure à une limite fixée à l'avance.

On passe ensuite aux quantités :

X = r.cos(v) = a.(cos(u) - e)

Y = r.sin(v) = a.sqrt(1-e*e).sin(u)

2) Orbites paraboliques

On pose l'équation : s^3 + 3.s = 3.M = 3.k.(t-T)/(q.sqrt(2.q)), que l'on résout par les quantités annexes :

On obtient ensuite : 3) Orbites hyperboliques

On pose :

M = k.(t-T)/a.sqrt(a)
avec a=q/(e-1)

On résoud ensuite l'équation de Képler : u-e.sin(u)=M par itérations successives, en posant d'abord :

u(0) = M
puis :
u(n+1) = u(n) + [(M - u(n) + e.sh(u(n)))/(e.ch(u(n)) - 1)]
jusqu'à ce que la valeur absolue de la différence u(n+1)-u(n) soit inférieure à une limite fixée à l'avance.

On passe ensuite aux quantités :

4) Passage à la position apparente

Ayant déterminé la position dans l'orbite, on passe à la position apparente par la suite de calculs :

On définit les quantités :

Puis on passe de la position dans l'orbite à la position dans le repére écliptique par les relations : On calcule ensuite la position de la Terre dans le même repére au même instant. On prend la différence (le vecteur étant orienté de la Terre vers la cométe) en tenant compte du temps de lumière entre le corps et la Terre, puis l'on transpose dans le repére équatorial.

Note : Les quantités Px', Py', Pz' et Qx', Qy', Qz' sont équivalentes aux éléments de Thiele - Innes - van den Bos utilisés dans le calcul des éphémérides d'étoiles doubles. Dans ce contexte, elles sont multipliées par le demi grand axe.

C) Cas perturbé

1) Conditions initiales

On prend comme position de départ celle correspondant à l'instant pour lequel sont donnés les éléments osculateurs. Dans le cas où cette date n'est pas donnée, on prendra, par défaut, l'instant du périhélie comme instant de référence. Outre la position initiale, il faut connaître la vitesse à l'instant origine. On obtient celle dans l'orbite par les relations :

où p est le paramètre de l'orbite, défini par : p = q.(1+e) ou p = a.(1-e^2).

On transpose ensuite ce vecteur vitesse dans le repére écliptique (ou équatorial) par des relations identiques à celles utilisées pour les positions.

2) Intégration numérique

Connaissant les conditions initiales, il est possible de passer à l'intégration numérique des équations différentielles du mouvement. Celles ci étant du second degré, sans termes dépendant de la vitesse (sauf peut être pour l'orientation instantanée de l'orbite, utile dans le cas des forces non gravitationnelles), j'utilise la méthode décrite par Runge Kutta et Nyström :

avec : où f représente le vecteur position, df le vecteur vitesse et h le pas d'intégration. k1, k2, k3 et k4 sont des vecteurs intermédiaires de travail. La valeur exacte de ce pas est fixée, au moment du calcul, de telle maniére qu'il y ait un nombre entier de pas.

Note sur les forces non gravitationnelles :

Si j'ai bien compris les articles de B.G. MARSDEN et al. dans "Astronomical Journal", les forces non gravitationnelles s'expriment sous la forme :

Ai.exp(-Bi.dt).exp(-0.5*R^2)/R^2

avec :

Je n'ai pas relevé de valeurs pour cette dernière composante dans les articles de MARSDEN : c'est pour cette raison je ne demande et n'utilise pas dans mon programme les quantités A3 et B3. Les paramètres A1, A2, B1 et B2 ne sont pris en compte que pour le principe, n'ayant pas relevé les valeurs correspondantes dans les circulaires ou messages en ma possession.