1°) INTRODUCTION

Le présent article a pour objet de présenter la manière d'obtenir les éphémérides physiques d'un corps du système solaire, qu'il s'agisse du Soleil, d'une planète ou d'un satellite. Il importe de se souvenir que l'obtention de telles éphémérides passe par le calcul des positions du corps considéré et du Soleil. S'il importe, théoriquement, de différencier les éphémérides géocentriques des éphémérides topocentriques, le seul cas pratique où il me semble y avoir lieu de "passer aux actes" est celui de la Lune, en raison de son importante parallaxe. Il importe de s'assurer que les données de départ se référent à un même repére pour un même équinoxe, sous peine d'erreurs. La réduction desdites données devra être effectuée avant toute utilisation.

Une partie de ces éphémérides peut, en fait être déduite directement des positions relatives de la Terre, du Soleil et du corps étudié, sans qu'il soit besoin de connaître les paramètres de rotation de ce dernier : l'angle de phase (et donc la fraction illuminée du disque, qui s'en déduit), ainsi que l'élongation et les quantités analogues obtenues par projection sur le plan de l'écliptique.

Je traiterai donc le sujet en trois parties : dans la première, je parlerai uniquement de ce qui peut être déterminé à partir des positions, réservant l'introduction des éléments de rotation dans la seconde. La troisième partie, tenant compte des éléments orbitaux, introduira au calcul des saisons. La géométrie vectorielle se prétant particulièrement bien au traitement de ces problémes, j'en utiliserai les méthodes tout au long de cet article. Sauf indication contraire :

• l'axe x sera orienté vers le point vernal g;
• l'axe z sera orienté vers le pôle Nord du repére utilisé (équatorial ou écliptique);
• l'axe y complétera le repére de telle manière qu'il soit trirectangle et direct;

2°) POSITION

Dans cette partie, j'utiliserai les vecteurs :

• Soleil-Planète SP (SPc par projection sur l'écliptique);
• Soleil-Terre ST (STc par projection sur l'écliptique);
• Terre-Planéte TP (TPc par projection sur l'écliptique);

Il est possible de définir :

• le diamétre apparent de la planéte f = 2*ArcSinus(rp/D) où rp est le rayon de la planéte, et D la distance à la Terre. En cas d'aplatissement, on donnera le diamétre équatorial et le diamétre polaire (Nota : si l'on souhaite une plus grande précision, il conviendra de tenir compte de la latitude du centre, cas dans lequel il faudra se reporter au paragraphe suivant)

• la parallaxe p = ArcSinus(RET/D), où RET est le rayon équatorial terrestre, exprimé dans la même unité que D. On prend généralement RET=6378.14 km, ou 6378.137 km si l'on adopte l'ellipsoïde WGS84;

• l'élongation E, distance angulaire entre le Soleil et la planéte, est donnée par :

k.sin(E) = // TS x TP // Nota : pour un choix correct du quadrant, on donnera à cette quantité (module du produit vectoriel), le signe de la composante orientée selon l'axe des pôles.

k.cos(E) = TS . TP

(l'élongation écliptique Ec est obtenue en remplaçant les vecteurs par leurs projections sur l'écliptique).

Nota : pour une raison que j'ignore, c'est l'élongation écliptique qui est utilisée dans l'Annuaire du Bureau des Longitudes, au moins en ce qui concerne Mercure et Vénus.

• l'angle de phase F, élongation de la Terre vue de la planéte, est donné par :

k.sin(F) = // PS x PT // Nota : voir la définition équivalente pour l'angle de phase.

k.cos(F) = PS . PT

(l'angle de phase écliptique Fc est obtenu en remplaçant les vecteurs par leurs projections sur l'écliptique).

• la fraction illuminée du disque : k = (1+cos(F))/2

• l'angle de position du point subsolaire q compléte les informations sur la phase. On le calcule par la procédure suivante :

On oriente le champ céleste centré sur la planéte par les vecteurs :

PN : [-cos(a).sin(d) , -sin(a).sin(d) , cos(d)]

PE : [-sin(a) , cos(a) , 0]

PT : [-cos(a).cos(d) , -sin(a).cos(d) , -sin(d)]

(a et d, position équatoriale apparente de la planéte)

On calcule ensuite, dans le même repére :

PN . PS = k.cos(q)

PE . PS = k.sin(q)

3°) ROTATION

Il est possible d'obtenir d'autres données si l'on connaît les paramétres de rotation : direction du pôle Nord de l'axe (donnée en coordonnées équatoriales dans l'"Explanatory Supplement to the Ephemeris", édition 1992) et déplacement du méridien central W.

Pour certaines planétes, il existe des données intermédiaires. Pour les planétes géantes, on définit les systémes de rotation : W1 pour les zones équatoriales et W2 pour les zones polaires (dans le visible) puis W3 pour les émissions radio électriques. W2 est absent pour Saturne, W1 et W2 sont absents pour Uranus et Neptune.

Connaissant ces paramétres, on définit les vecteurs (où a0 et d0 sont les coordonnées équatoriales du pôle Nord de la planéte) :

PX : [-cos(a0).sin(d0) , -sin(a0).sin(d0) , cos(d0)]

PY : [-sin(a0) , cos(a0) , 0]

PZ : [cos(a0).cos(d0) , sin(a0).cos(d0) , sin(d0)]

PX . PT = cos(A).cos(D) = cos(d0).sin(d)-sin(d0).cos(d).cos(a0-a)

PY . PT = sin(A).cos(D) = sin(a0-a).cos(d)

PZ . PT = sin(D) = -sin(d).sin(d0)-cos(d).cos(d0).cos(a0-a)

L = W - A - 90° pour : Mercure, Mars, Jupiter, Saturne et Neptune;

L = A - W + 90° pour :

Soleil, Lune (tradition);

Vénus, Uranus et Pluton (convention UAI pour les rotations rétrogrades);

Par les relations :

PZ . PN = cos(P).cos(D) = sin(d0).cos(d)-cos(d0).sin(d).cos(a0-a)

PZ . PE = sin(P).cos(D) = sin(a0-a).cos(d0)

PZ . PT = sin(D) = -sin(d).sin(d0)-cos(d).cos(d0).cos(a0-a)

4°) SAISONS

Il peut enfin être intéressant de connaître la saison de l'hémisphére boréal de la planéte. Ce calcul nécessite la prise en compte de la longitude du noeud ascendant W et de l'inclinaison i de l'orbite de la planéte, que l'on peut obtenir par l'intermédiaire des quantités notées p et q données par le Bureau des Longitudes dans la Connaissance des Temps entre 1979 et 1995.

Connaissant la direction du pôle en coordonnées équatoriales (a0 et d0) pour la planéte, on peut, par changement de repére, obtenir les coordonnées écliptiques correspondantes, soient l0 et b0. Connaissant les directions des pôles pour la planéte (soit PP) et pour son orbite (soit PO), il est alors possible de déterminer les deux vecteurs nécessaires à la détermination de la longitude saisonnière Ls, soit :

X = PO * PP

Y = PO * X

Il importe de ramener à l'unité les modules des vecteurs X et Y.

On a alors :

h = cos(Ls) = X . SP

k = sin(Ls) = Y . SP

5°) CONCLUSION

Cet article permet, si l'on posséde les données correspondantes, de calculer les éphémérides physiques d'une planéte à un instant donné quelconque, sans qu'il soit nécessaire d'interpoler : les publications officielles ne servent alors que de référence. Les méthodes exposées peuvent être étendues aux satellites des planétes, et même au Soleil (avec d'évidentes restrictions dans ce dernier cas).

D'autre part, si l'on connaît ou réussit à déterminer tant la position du corps que les paramétres : longitude et latitude du point ayant la Terre au zénith, angle au pôle de l'axe de rotation, et ce pour une série d'instants bien repérés, il est relativement facile de remonter aux paramétres a0, d0 et W. En effet, les produits scalaires donnés dans le paragraphe sur les rotations peuvent être assimilés à l'application de matrices de rotation, lesquelles sont inversibles par transposition.