Exposés théoriques Exposés pratiques Travaux sur le terrain

Exposés astronomiques

Parallaxe annuelle

Relation Parallaxe-distance

Interaction gravitationnelle

La limite de ROCHE

La température d'équilibre et le paramètre de rétention

La première loi de KEPLER

La deuxième loi de KEPLER

La troisième loi de KEPLER

Heure sidérale et angle horaire

 

PARALLAXE ANNUELLE

 

La Terre tournant autour du Soleil en une année, une étoile paraît ainsi effectuer, dans le ciel, une ellipse dont la dimension est d’aurant plus petite que l’étoile est plus éloignée.

En raison de la relation mathématique claire existant entre parallaxe et distance en parsecs (cf titre suivant), le parsec, est l’unité de distance la plus couramment utilisée.

Relations entre les principales unités de distance

 

a)1 a.l. = 9,46.1013km

= 0,3066 parsec

= 63240 unités astronomiques (UA) Rappel: 1 UA = distance Terre-Soleil

b)1 parsec (pc) = 3,26 a.l.

= 206265 UA

L’étoile la plus proche a une parallaxe de 0,754’’. Il s’agit de l’étoile double a Centauri, ou Toliman. Un très faible compagnon de ce système, est encore plus proche avec une parallaxe de 0,765’’, on le nomme proxima Centauri.

Proxima est donc éloigné de la Terre de .........pc.

Cette méthode repose uniquement sur des clichés stellaires et sur la trigonométrie. Or l’erreur moyenne sur la détermination des parallaxes annuelles est de l’ordre de 0,016’’; donc cette méthode ne convient plus lorsque la mesure des parallaxes atteint l’erreur moyenne (distance sup ou égale à 100 a.l.

 

Etoiles les plus proches jusqu’à une distance de 12 a.l.

 

Etoile

Constellation

Distance (en a.l.)

Proxima

Centaure (Cen)

...

Toliman

Centaure (Cen)

...

Etoile de Barnard

Ophuchius (Oph)

5,98

Wolf 359

Lion (Leo)

7,80

Sirius A/B

Grand Chien (C Ma)

8,57

Groombridge 34 A/B

Andromède (And)

11,28

Procyon A/B

Petit Chien ( C Mi)

11,41

 

Exercice: remplir les deux premières cases.(s’aider de la formule du chapitre suivant)

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RELATION PARALLAXE DISTANCE

 

La parallaxe annuelle d’une étoile est définie comme l’angle q. Comme cet angle est très petit, on peut lui appliquer la relation des triangles étroits:

(1)

(avec d = distance Terre-Soleil = 1,5.1011m = 1,58.10-5a.l.)

ainsi:

D en a.l. (2)

 

On remarque immédiatement le facteur 3,26. Si on divise à gauche et à droite de l’équation par 3,26, on obtient D’ = 1/q. Soit 1 par seconde d’arc; c’est l’origine du parsec. Il vient automatiquement que 1 parsec (pc) vaut 3,26 a.l. D’ en parsec(s).

Problème corrigé

Un télescope est capable de mesurer l’angle q de la parallaxe annuelle jusqu’à la limite de 1/10.000 de degré. A quelle distance maximale une étoile peut-elle se situer pour que l’on puisse mesurer l’éloignement à l’aide de ce télescope?

(on rappelle que 1°= 3600 secondes d’arc)

Réponse

D’après la formule (2)

3,26/D = 10-4 degrés

Sachant que 1° = 3,6.103 secondes d’arc

Il suffit de multiplier à gauche et à droite de cette dernière équation par 10-4 pour faire la correspondance entre ° et seconde d’arc soit:

10-4degré = 0,36 secondes d’arc

On applique la formule (2):

3,26/0,36 et on trouve environ 9 a.l.

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INTERACTION GRAVITATIONNELLE

La seule force de gravitation sensible sur la Terre est celle exercée par la Terre elle-même. Tout corps à la surface de la Terre est soumis à une force proportionnelle à sa masse, force qu’on appelle son poids P.

P = m.g (g constante de gravitation)

L’attraction gravitationnelle que la Terre exerce sur un corps situé à sa surface est égale à:

 

avec G cte de gravitation= 6,67.10-11

 

L’assimilation de cette force à la force de pesanteur montre que l’intensité de pesanteur g s’exprime en fonction de la masse de la Terre:

 

Fa = P = m(corps).g

 

En simplifiant par m(corps) à gauche et à droite on obtient:

(rappels: rayon de la Terre: 6,4.106 m , et masse de la Terre: 6.1024 kg)

 

Donc: g = 9,81 m/s².

La mesure de l’accélération de la pesanteur à la surface de la Lune est :

Le calculer si m (Lune) = 7,35.1022 kg et rayon (Lune) = 1,74.106m

S’arrêter ici pour les calculs

Le rapport entre l’accélération de la pesanteur à la surface de la Terre et celle à la surface de la Lune est égal à ........., ce qui nous permet de dire que l’accélération de la pesanteur est ....... fois plus faible sur la Lune que sur la Terre.

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LA LIMITE DE ROCHE

Définition: lorsque la différence d’accélération gravitationnelle atteint le même ordre de grandeur que la gravitation propre du satellite, celui-ci perd sa cohésion gravitationnelle et risque de voler en éclat. En 1849, Edouard-Albert ROCHE évalua la distance en deçà de laquelle cela risque de se produire est donné par l’équation:

d = 2,45 x (rM / rm)1/3 x R

R = rayon de la planète

r(de M ou m) = masses volumiques respectivement de la planète et du satellite.

 

Masses volumiques et densités des planètes du système solaire

 

Planète

Masse volumique r en kg /m3

densité

Mercure

5.400

5,4

Vénus

5.200

5,2

Terre

5.520

5,52

Mars

3.900

3,9

Jupiter

1.300

1,3

Saturne

700

0,7

Uranus

1.600

1,6

Neptune

2.300

2,3

Pluton

2.000

2,0

 

 

Dans le cas du système Terre-Lune, cela donne d = 18.000 km (20 fois moins que le rayon de l’orbite lunaire)

P1) calculer la limite de Roche pour la Lune en supposant que celle-ci est en orbite autour de Mars (rép: 8,74.103 km)

P2) calculer la limite de Roche pour un objet ganymédien (r = 1900 kg / m3) (par exemple une grosse comète) approchant de la Terre. (rép: 2,23.104 km)

P3) calculer la limite de Roche autour de Saturne dans les cas suivants:

a) un objet ganymédien (rép: 1,04.105 km)

b) un objet tellurique (r = 3500 kg / m3) (rép: 8,50.105 km)

c) situer la position des anneaux de Saturne par rapport aux résultats obtenus en a) et b).

(Les anneaux sont situés sur une bande large distante du centre de la planète de 70.000 à 140.000 km)

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LA TEMPERATURE D’EQUILIBRE ET LE PARAMETRE DE RETENTION

Plan:

la température d’équilibre

la vitesse moyenne des molécules d’un gaz

le paramètre de rétention

A) La température d’équilibre

a) la température d’équilibre de la Terre

Elle réfléchit 35% de l’énergie incidente : son albédo A = 0,35 et elle émet de la lumière comme un corps noir. La température d’équilibre sera:

avec Teq en kelvins (K) et L en luminosités solaires

b) cas général d’une planète hypothétique en orbite autour d’une étoile quelconque:

L reste en luminosités solaires, les distances resteront en UA.

B) La vitesse moyenne des molécules d’un gaz

En introduisant ce chapitre, on peut se demander si l’atmosphère d’une planète fuit-elle ?

La vitesse moyenne d’un gaz en m/s est donnée par la formule:

Exercice: calculer la vitesse moyenne d’une molécule d’O2 et d’une molécule d’H2 à la température moyenne de la Terre (T = 293 K)

C) Le paramètre de rétention

Pour savoir si la gravitation de la Terre est capable de retenir un gaz donné, il faut comparer la vitesse des molécules de celui-ci à la vitesse de libération (vitesse minimale requise pou qu’une particule se libère à jamais d’un champ de gravitation.

On estime qu’un gaz donné ne restera prisonnier de l’atmosphère planétaire que si la vitesse de libération est plus grande que la vitesse moyenne de ses molécules:

R = paramètre de rétention = Vlib / Vm sup à 10

Problème : (****)

Soit une planète hypothétique en orbite à la distance D autour d’une étoile A0

a) trouver les valeurs extrèmes de D pour une température de surface conforme aux hommes (entre 10 et 40°C)

(On rappelle que la planète équivaut à la Terre avec une atmosphère dont l’effet de serre augmente la température de 40°C par rapport à la température d’équilibre, A = 0,35)

(On rappelle aussi Lum (A0) = 60 Lsolaires).

b) calculer la durée d’une année de la planète hypothétique (3e loi de Képler)

(On rappelle que Masse (A0) = 3 Msolaires).

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LA PREMIERE LOI DE KEPLER

Enoncé: Les planètes décrivent autour du Soleil des orbites en forme d’ellipse. Le Soleil n’est pas au centre de l’ellipse, mais sur le côté, en un point nommé foyer F.

 

F et F’ foyers de l’ellipse avec F = endroit où se place le Soleil.

Une ellipse peut être plus ou moins aplatie, selon le rapport entre la distance des deux foyers et la longueur PA; ce rapport s’appelle l’excentricité e.

e = FF’/PA

(FP : distance au périhélie; FA : distance à l’aphélie; PA = 2a)

Remarque: si e = 0, F et F’ sont confondus, FF’ = 0 et l’ellipse est un cercle.

Excentricités des planètes du système solaire:

Planète

excentricité e

Mercure

0,206

Venus

0,007

Terre

0,017

Mars

0,093

Jupiter

0,048

Saturne

0,056

Uranus

0,047

Neptune

0,009

Pluton

0,248

Exemple: pour la planète Mars, on a a = 1,52 UA et e = 0,093, calculer la distance Mars-Soleil au périhélie.

S’arrêter ici pour les calculs:

On voit immédiatement que la première loi de KEPLER donne les distances des planètes par rapport au Soleil.

Calculer la distance à l’aphélie de la planète Mars en UA puis en km.

Exercices:

1) Quelle est la distance entre les deux foyers de l’orbite de Jupiter sachant que a(Jupiter) = 5,20 UA et e = 0,048 .; puis déterminer sa distance à l’aphélie.

2)Saturne a un périhélie de 9,01 UA et un aphélie de 10,07 UA; calculer a (demi grand-axe) et l’excentricité de son orbite e.

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La deuxième loi de KEPLER

 

Elle étudie la vitesse d’une planète au périhélie et à l’aphélie.

La deuxième loi s’exprime comme suit:

Le rayon vecteur planète-Soleil balaie des aires proportionnelles au temps mis pour les balayer.

Soit DA = la distance de la planète à l’aphélie.

Soit DP = la distance de la planète au périhélie

F = foyer = Soleil; on peut écrire:

DA = FA = (1 + e)x a

DP = FP = (1 - e)x a

avec e = excentricité et a = demi-grand axe de l’ellipse.

De part la loi des aires des triangles balayés par la planète:

DA = base du triangle

Distance parcourue = vitesse x temps = vA x Dt = hauteur du triangle

vA constante durant l’intervalle considéré

L’aire du triangle: (base x hauteur)/2 = (DA x vA x Dt)/2. ceci pour l’aphélie

L’aire du triangle = (DP x vP x Dt)/2.

Ces deux aires de part la deuxième loi de KEPLER sont égales (à des Dt égaux) et on obtient finalement:

vAxDA = vPxDP

Cette expression peut se mettre aussi sous la forme:

On introduit d’autre part une vitesse moyenne (v moy)qui se trouve entre la vitesse à l’aphélie et la vitesse au périhélie:

avec T période en s; a demi grand-axe en m; e excentricité

On tire finalement:

vP = v(moy) x (1+e)

vA = v(moy) x (1 - e)

On en conclut que la vitesse au périhélie est plus grande que celle à l’aphélie.

Exercices:

1)La comète de HALLEY a une orbite fortement excentrique: son périhélie est à 0,53 UA du Soleil et son aphélie à 35,1 UA. Si la comète se déplace à 56 km/s au périhélie, quelle est sa vitesse à l’aphélie?

 

2)Calculer la vitesse de la Terre à l’aphélie et au périhélie (e = 0,0167)

(éléments de réponse: a = 1 UA à convertir en m; T = 365,25 jours à convertir en s; calcul de la vitesse moyenne puis calcul de vA et vP)

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La troisième loi de KEPLER

Enoncé de la troisième loi:

Le carré de la durée de la révolution est proportionnel au cube du grand axe de l’orbite: soit pour simplifier:

 

T² = K.a3

Si la première loi de KEPLER donne des renseignements sur les distances, la deuxième loi sur les vitesses, la troisième loi donne des renseignements sur les masses des corps pris en compte.

La troisième loi généralisée de KEPLER peut aussi être écrite comme suit:

Remarques: si T, a et Mc dans le système S.I., alors K = 5,92.1011s².kg/m3.

Si T en année, a en UA, et Mc en masses solaires, alors K = 1.

Exercice: les observations de GALILEE montrent que Ganymède tourne autour de Jupiter en 7,16 jours sur une orbite (a = 1,07.106 km); quelle est la masse de Jupiter? (on supposera que la masse de Ganymède est négligeable par rapport à celle de Jupiter).

 

La troisième loi de KEPLER appliquée aux systèmes d’étoiles doubles (partie la plus complexe)

On a vu précédemment que un corps était prépondérant en masse autour duquel un corps de masse négligeable était en orbite.

Pour les système d’étoiles doubles, les deux étoiles ont des masses de même ordre de grandeur.

 

Système double: deux étoiles de masse m1 et m2: elles tournent autour d’un centre de masse commun proportionnellement plus près de l’étoile la plus massive et la formule devient:

 

T² = K.a(total)3/M(système) M(système) = m1 + m2

 

T = période de révolution des étoiles autour du centre de masse

Si orbites circulaires: a(total) : distance entre les deux étoiles

K = 5,92.1011s².kg/m3

La masse d’une étoile est inversement proportionnelle à sa distance du centre de masse. Si a1 et a2 les demi-grands axes des orbites (orbites circulaires) on a :

 

m1/m2 = a2/a1

Exemple: l’étoile la plus brillante Sirius est en fait une étoile double. Vue de la Terre, d(a(tot))= séparation angulaire de 7’’5. La période de révolution est de 49,9 années. L’étoile Sirius A est 2,44 fois plus rapprochée du centre de masse du système que Sirius B. Sachant que le système est distant de 8,64 a.l.; quelle est la masse de chacune des composantes du système?

1) calculer a(tot) en mètres (formule de la distance cf parallaxe)

2) remettre T en s

3) K prend alors sa vraie valeur et on calcule la masse du système en kg

4)mA = 2,44.mB

On résout ensuite le système d’équations:

Msystème = mA + mB

mA = 2,44.mB

Et on trouve:

Sirius B = 1,8.1030 kg

Sirius A = 4,49.1030 kg

Cette méthode est applicable pour les binaires visuelles (bien séparées)mais non applicable pour les binaires spectroscopiques.(il faut obligatoirement passer par les vitesses)

Pour ces binaires spectroscopiques, on peut écrire:

m1/m2 = a2/a1 = v1/v2

 

Exemple: si on prend le couple spectroscopique g Per, les deux étoiles ont des vitesses qui sont v1=15,1 km/s et v2=8,66 km/s. La période de révolution est de 14,65 années (T= 14,65a). On demande pour chaque étoile:

-le demi-grand axe de l’orbite (en m)

-la masse

éléments de réponse: les orbites sont circulaires : rappel a=T.v/2p

remettre T en seconde; calculer a(total) = a1 + a2 puis la masse du système.

calculer enfin la masse de chaque composante.

Exercices (****)

1)Le système binaire visuel alpha du centaure est situé à 4,3 a.l. de nous. Les deux étoiles sont séparées de 17,6’’, elles mettent 80 ans pour accomplir une période. Si le rapport entre leur masse est de 1,23, déterminer:

leur masse respective

rayon de chacune de leur orbite

2)La nature binaire spectroscopique de l’étoile Capella (a Aur):

-étoile la plus rapide: (Ha l = 656,5 nm) se trouve éloignée de 0,089 nm de sa valeur normale)

-l’autre étoile: l’écart de la même raie est de 0,083 nm

-T système = 104 jours

Pour chaque étoile, déterminer:

la vitesse orbitale

le rayon de l’orbite

la masse

Exercices de révision(**)

3)Les galaxies de type Sc1 dans l’amas d’Hercule ont en moyenne une intensité de 1,6.10-8 sir. A quelle distance se trouve l’amas d’Hercule? (les galaxies de type Sc1 ont une luminosité de 2,5.109 luminosités solaires)

4)Une céphéïde de type I de la galaxie M33 a une période de 46 jours et une intensité moyenne de 8.10-9 sir. Quelle est la distance de M33?

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HEURE SIDERALE ANGLE HORAIRE

Si l’heure solaire ou heure TU est basée sur le Soleil, on doit trouver une autre heure qui elle est basée sur les étoiles.

On utilise le point vernal qui donne la position du Soleil à l’équinoxe du printemps.

Le 21 Mars, on doit ajouter 12 h à l’heure solaire pour aboutir à l’heure sidérale. Donc pour midi solaire, l’heure sidérale est 12 + 12 = 24h ou 0h sid.

Au cours de l’année, on doit tenir compte du fait que l’horloge sidérale avance de 4 minutes par jour. Le 22 Mars, on devra ajouter 12h04min à l’heure solaire pour trouver l’heure sidérale:

h sid (sidérale) = h solaire (ou TU) + C

 

Connaître l’heure sidérale nous permet de déterminer quelle partie du ciel est actuellement au dessus du méridien de l’observateur.

Date

Heure solaire

Heure sidérale

Correction C

21 Mars

12h

0h

12h

22 Mars

12h

0h04min

12h04min

21 Juin

12h

6h

18h

21 Septembre

12h

12h

0h

21 Décembre

12h

18h

6h

L’angle horaire, l’ascension droite et la culmination

A la culmination d’un astre, l’ascension droite (A.D.) = heure sidérale, et l’angle horaire est donné par la formule:

A.H. = A.D. - heure sidérale

 

Signification de cet angle horaire: c’est le temps qu’il faut pour arriver à la culmination (si A.H. positif). Si A.H. négatif, l’astre à dépassé sa culmination.

A la culmination: A.D. = heure sidérale

 

Exercice: Un astronome amateur veut observer l’étoile Spica (a Vir) dont les coordonnées célestes sont A.D. = 13h22 et d = -11°. Il utilise le télescope C8 à la Madeleine (situé à 49° de latitude N). A quelle heure solaire Spica culminera-t-elle dans la nuit du 28 au 29 Avril? et qu’elle est sa culmination a? (on rappelle que a = (90° - L) + d.).

A la culmination, A.D. = Heure sidérale = 13h22

C = 12h le 21 mars. Le 28 avril (38 j plus tard), la correction sera de 38x4 min soit 152 min soir 2h32 min ajouté à 12h soit 14h32. Comme nous sommes dans la nuit du 28 au 29 (14h36), la moyenne est de 14h34 pour la correction.
C = 14h34.

On applique ensuite la formule: 13h22 = h sol + 14h34 soit h sol = - 1h12

ce qui correspond à 24h00 - 1h12 soit:

h sol ou TU = 22h48

Pour l’altitude de Spica:

a = 90° - L - 11° = 30°

a = 30°

___________________________________

Exercices :

1) calculer l’angle horaire du centre de la galaxie (A.D. = 17h45) au même moment? Représenter graphiquement ce que voit l’observateur (vers le sud).

2) A quelle heure solaire la galaxie d’Andromède culmine-t-elle (A.D. = 0h40’) dans la nuit du 25 au 26 octobre?

3) On veut observer Sirius (A.D. = 6h43) vers minuit TU. Quel jour de l’année choisira-t-on pour le faire?

4) Calcul de l’angle horaire d’Antares (a Sco) à minuit TU, le 24 Juin sachant que A.D. = 16h26’ ; conclusion?

5) Altitude maximale de Sirius (d = -16°) à La Madeleine (49° L Nord)? A partir de quelle latitude, Sirius est invisible ?

6) Quelle est la meilleure saison pour observer la constellation d’Orion (A.D. = 6h) en début de soirée ( vers 21h) ? Quel sera le jour exact ?

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