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La science du chaos

Les cascades de Proxy Falls dans le Three Sisters Wilderness, Willamette National Forest. Document Superstock.

Le chaos dans les systèmes inertes et vivants (I)

Observons une cascade qui plonge des hauteurs d'une falaise pour former un torrent en contre-bas. Près des berges couvertes de mousses, au détour d'un méandre on observe un courant régulier, traversé ci et là par de petites ondes ou des structures imbriquées plus complexes. Près des rochers on observe des turbulences, un exemple particulier de phénomène où règne un régime chaotique. On observe ainsi que le même système physique peut présenter à la fois un comportement simple et complexe.

Les systèmes auto-organisés et vivants évoluent selon les mêmes lois physiques et par conséquent ils peuvent subir les mêmes lois physiques.

Ceci nous offre déjà une première explication des phénomènes biologiques car ceux-ci peuvent tirer partie de l’auto-organisation et du chaos comme le fait la matière inerte.

Les systèmes auto-organisés

Alan Turing, le père de l’informatique donna le premier exemple de la façon dont la brisure de symétrie d’un système homogène pouvait apparaître en étudiant la structure spatiale des réactions chimiques. Il imagina l’expérience suivante.

Prenons un récipient dans lequel nous mélangeons deux substances de concentrations différentes. Le taux de concentration et la vitesse des deux réactions évolue en fonction du temps, la probabilité d’obtenir une certaine concentration obéissant à une fonction simple du premier degré.

Outre son côté extraordinaire, la réaction récurrente de Belousov-Zhabotinsky est une véritable horloge chimique.

Alan Turing démontra que pour des concentrations identiques au départ, la concentration et la vitesse de réaction de l’une des deux substances tombaient rapidement à zéro; il existait en fait un état d’équilibre temporaire.

Dans le cas de la réaction récurrente de Belousov-Zhabotinsky (BZ) cette brisure de la symétrie temporelle est provoquée par des concentrations bien précises des substances mais dans d’autres expériences il peut s’agir d’une agitation moléculaire induite par la température.

Ainsi lorsque la réaction BZ[1] franchit une densité critique, sans qu’on l’ait agité le système passe tout d’un coup dans un état de non-équilibre, devient rouge et dessine des structures en forme d’ondes circulaires concentriques. Deux minutes après il vire au bleu et ainsi de suite de façon rythmée, d’où son nom d’”horloge chimique”. Ce phénomène de bistabilité est une fonction qui dépend de l’histoire antérieure du système, c’est l’hystérèse.

Ce phénomène spontané d’échange d’information fut mis à profit par les biologistes, tel Meinhardt et Gierer pour expliquer la structure périodique des feuilles des végétaux. Ils considéraient le bourgeon terminal à l’instar d’une structure auto-organisée contenant les deux types de substances X et Y en concentrations bien définies. Lorsqu’une excroissance apparaît sur une branche et qu’un certain seuil de concentration des substances est atteint, la croissance de l’ancienne branche est inhibée au profit de la nouvelle. Ce type de réaction chimique auto-organisée et temporaire peut également expliquer la forme des zébrures sur le pelage des zèbres ou des scalaires et quantité d’autres phénomènes biologiques.

En particulier, il faut citer la découverte en 1987 par J.Martiel et A.Goldbeter[2] du phénomène d’agrégation des colonies de cellules de Dictyostelium discoideum, une espèce d’amibe de moisissure qui formaient des ondes concentriques et spirales analogues à la réaction BZ lorsqu’elles se formaient sur une surface d’agar. Un traceur coloré permettait d’observer que les amibes se dirigeant vers le centre des structures formaient un long fil spiralé clair tandis que celles qui restaient immobiles formaient le “fond” du décor, plus foncé.

En fait en l’absence de nourriture, ces amibes adoptent un nouveau modèle d’organisation pour survivre. Elles synthétisaient une substance baptisée cAMP (adénosine monophosphate cyclique) et ce de façon périodique. Lorsque cette substance diffuse dans le milieu extracellulaire, la cAMP atteint la surface des cellules voisines ce qui permet aux autres cellules de se diriger vers la région de forte concentration en cAMP. Etant donné que la concentration des cellules augmentent près du centre d’émission de cAMPC, le mouvement des cellules s‘amplifie et s’auto-accélère dans une réaction exothermique.

Selon lMeinhardt de l'Institut Max Planck, c’est ce mouvement qui crée cette structure spiralée caractéristique. Il obéit au même principe que la réaction BZ. Ainsi se forme une boucle de rétro-action très semblable à la catalyse chimique qui accélère les hétérogénéités initiales dues à l’émission de cAMP par les premières cellules. Cette réaction peut elle-même augmenter sa propre production de cAMP à partir de la conversion d’ATP (le réservoir d’énergie de la cellule) en cAMP, mais ce mécanisme reste mal compris.

Un autre exemple typique d’émergence d’une structure auto-organisée apparaît dans les organismes pluricellulaires, en particulier dans les colonies d’amibes. Nous connaissons tous les amibes sous forme d’entité individuelle. Mais dans certaines conditions elles peuvent se rassembler en grands nombres et former un être complexe ressemblant à un ver dont la structure est non linéaire.

Fourmi rouge de la sous-espèce formica grossie 10x. Document Dennis Kunkel.

Dans le cas des fourmis, une longue observation permet de découvrir que pendant un certains temps les colonies en quête de nourriture suivent certaines pistes puis les abandonnent, rebroussent chemin, etc.

En fait les premières fourmis qui trouvent de la nourriture abandonnent derrière elles des phéromones qui suscitent l’attirance de leurs congénères. Au fil du temps la piste odorante se renforce si bien que la plupart des fourmis trouveront la source de nourriture qu’elles emporteront dans la fourmilière. Elles auront toutes déposé leurs phéromones sur la nouvelle piste qui se renforcera. Lorsque la source de nourriture sera épuisée, les fourmis exploreront les alentours et déposeront de moins en moins de phéromones sur l’ancienne piste. Graduellement la structure auto-organisée s’estompera jusqu’à disparaître.

Le même phénomène s’applique au vol groupé des étourneaux ou aux bancs de poissons qui demeurent soudés dans tous leurs mouvements, obéissant aux mêmes lois complexes de la dynamique : chaque animal prit séparément obéit à des lois relativement simples mais c’est l’ensemble des individus qui crée ces étonnants systèmes auto-organisés que l’on trouve dans la nature.

Les systèmes vivants

Nous savons que dans les systèmes dynamiques peuvent coexister des sous-structures chaotiques. Maintenant la question est de savoir quel rôle peut jouer le chaos dans les systèmes vivants.

Les méthodes récentes de la dynamique non linéaire ont permis de mieux comprendre le comportement de nos organes, en particulier du coeur et du cerveau. Si l’on mesure par exemple l’évolution d’une quantité en fonction du temps on peut dresser un portrait du système dans l’espace des phases et étudier sa dynamique. A partir de telles séries temporelles plusieurs paramètres peuvent être mesurés, tel la dimension fractale du système, l’exposant de Lyapunov ou l’entropie de Kolmogoroff. Ces méthodes non invasives peuvent s’appliquer en médecine en apposant simplement quelques électrodes à certains endroits précis des organes à ausculter. Prenons deux exemples, l'étude du rythme cardiaque et l'activité du cerveau.[3]

L'activité cardiaque

C’est ainsi que l’on a découvert que l’activité cardiaque n’est pas régulière et présente un comportement chaotique. En effet son rythme est sensible aux conditions initiales et à la dimension fractale de son attracteur qui est basé sur la dynamique cardiaque. On a découvert que plus le coeur bat régulièrement par exemple moins il est capable de s’adapter. C’est dans ces conditions que survient la crise cardiaque.

Le rythme cardiaque. Dessin de Robert Finkbeiner.

La dynamique de l'activité cardiaque se définit par 4 variables.

Le chaos cardiaque présente une dimension fractale élevée, de l’ordre de 3.25, ce qui signifie que nous avons besoin d’au moins 4 variables pour décrire ce système. L’étude de la dimension fractale des cas pathologiques permet donc aux spécialistes de savoir si la personne a déjà eu un infarctus. Mais en présence de certaines pathologies cardiaques, la dimension fractale peut également diminuer et le rythme peut se régulariser, d’où l’intérêt de comparer la dimension fractale du système au rythme cardiaque.

La variabilité normale du coeur, c’est-à-dire l’intervalle entre deux battements n’est jamais régulier. Chez les jeunes très athlétiques par exemple, ces irrégularités sont très importantes alors qu’elles sont beaucoup plus faibles chez les personnes du troisième âge. On observe aussi que chez certains malades, le faible développement des irrégularités est parfois le signe d’une pathologie très sévère.

Ce comportement chaotique du coeur est très étonnant et soulève une question essentielle sur le rôle constructif que joue le chaos en biologie. En fait le système cardiaque ne pourrait pas survivre sans le chaos car c’est justement sa puissance d’auto-organisation qui permet au système de s’adapter.

Il ne faut pas concevoir le coeur uniquement comme une pompe. Il est également contrôlé par le système hormonal, le système nerveux qui contrôle nos émotions, la pression sanguine, etc. Il s’agit donc d’un système multivariables. Nous savons bien que lorsque nous courrons ou sommes surpris notre coeur palpite beaucoup plus rapidement et provoque une série d’effets secondaires souvent incontrôlables. Même la façon dont nous respirons influence notre rythme cardiaque. Le coeur est donc sous l’influence de très nombreux facteurs. Les mathématiques nous disent que lorsque nous sommes en face d’un système d’au moins trois variables non linéaires et interdépendantes, le chaos surgit. Il serait donc tout à la fois et incompréhensible et merveilleux qu’un système aussi complexe que le coeur, dépendant d’autant de facteurs ne soit pas sous l’influence d’un attracteur chaotique.

Notre coeur doit être un organe très flexible pour s’adapter aux conditions continuellement changeantes de notre vie quotidienne. Il doit en même temps suivre les besoins en oxygène de notre organisme lorsque nous faisons des efforts violents, mais il doit également réguler son rythme pour ne pas provoquer de catastrophes. Nous savons qu’un attracteur chaotique se caractérise par un nombre très élevé de trajectoires périodiques instables, similaires à nos conditions de vie. C’est probablement la raison pour laquelle le travail cardiaque se doit de suivre le profil d’un attracteur chaotique pour survivre dans cet environnement complexe.

L'activité du cerveau

L’activité neuronale du cortex semble également relever du chaos. Cela ne signifie pas que le cerveau est le siège d’un désordre total, mais bien au contraire qu’il dépend d’un système d’organisation très complexe sensible aux conditions initiales. Ceci explique pourquoi le cerveau comme le coeur sont capables de s’adapter très rapidement aux circonstances ou de changer rapidement d’état.

Malgré plus d’un siècle de recherches, il est encore très difficile de comprendre comment le cerveau assure ses différentes fonctions. Les modèles dynamiques du cerveau, ce que l’on appelle les systèmes informatiques neuronaux sont aujourd’hui étudiés avec la plus grande attention et ce n’est que tout récemment que les chercheurs ont démontré que le chaos joue un rôle dans l’organisation du cerveau.

On peut suivre l’activité globale du cerveau sur un électroencéphalogramme (EEG). On implante des électrodes sur la voûte crânienne et l’on mesure l’activité électrique du cerveau. Cette technique est très ancienne et fut utilisée pour la première fois par Berger. Il pensait qu’en analysant les EEG ont pouvait connaître les pensées des individus. Il en était à ce point convaincu qu’il refusa toujours qu’on enregistre son EEG. Aujourd'hui nous ne pouvons toujours pas lire la pensée humaine, mais l’EEG est devenu le fleuron des outils d’études cliniques. Il est notamment utilisé pour poser des diagnostiques au sein des laboratoires du sommeil.

La dimension fractale de l'EEG d'un sujet en train de respirer une odeur. Loin de ressembler à un cycle limite, sa dimension fractale est élevée.

L’électroencéphalogramme représente une série temporelle qu’il est possible d’analyser dans l’espace des phases au moyen de techniques particulières qui mettent en évidence la structure chaotique de son attracteur.

En 1985, les biologistes ont pu montrer que les différentes activités électriques du cerveau présentaient différents types d’attracteurs dont la dimension fractale put être mesurée. Un patient ayant les yeux ouverts présente un EEG de basse amplitude et de haute fréquence. L’attracteur correspondant a une dimension élevée. Lorsque les yeux sont fermés, le profil des ondes change immédiatement, l’amplitude devient plus élevée et la fréquence diminue. Nous sommes en présence des fameuses ”ondes alpha”. L’activité cérébrale est beaucoup plus régulière et l’attracteur correspondant présente une structure beaucoup mieux définie. En phase de veille, lorsque nos perceptions cognitives diminuent, l’activité cérébrale se caractérise également par une amplitude élevée et une fréquence plus basse, qui se rapproche des ondes alpha.

Dans la phase de sommeil dite paradoxal, durant laquelle nous pouvons avoir des activités cognitives internes, ce sont les rêves, les ondes électriques retrouvent un profil proche de celui que nous avons lorsque nous avons les yeux ouverts. Les signaux sont de faible amplitude et de haute fréquence. La dimension fractale augmente à nouveau.

Chez l’individu normal la dimension fractale est la plus petite durant le sommeil profond. Mais il existe un certain nombre de pathologies intéressantes. Il existe une forme d’épilepsie appelée “petit mal” durant laquelle les signaux du cerveau présentent une activité étonnamment régulière. Durant ces crises qui ne durent que quelques secondes, l’EEG de ces patients se caractérise par une grande amplitude mais le patient perd toute ses capacités cognitives. Dans ces situations bien particulières il semble que le cerveau fonctionne comme un tout cohérent. L’attracteur de cet état est très structuré, presque réduit à un cycle limite un peu brouillé. La dimension fractale de cet objet est également très basse, similaire à l’attracteur étrange de Lorenz, un système se définissant par trois variables.

Si cette crise d’épilepsie ne dure que quelques secondes, il existe une autre maladie, le syndrome de Creutsfeldt-Jakob dont l’origine est virale qui est capable de détruire les neurones du cerveau et plonge finalement le malade dans un coma fatal. Un cas typique est celui d’un patient dont on avait enregistré l’EEG durant deux jours, jusqu’à sa mort. Son tracé était très régulier mais en contrepartie la victime n’avait plus la moindre aptitude motrice ou cognitive lorsque son cerveau produisait ces signaux. Le système présentait un attracteur chaotique de très faible dimension mais malgré tout supérieure à celle de l’attracteur de l’épilepsie.

Ainsi si l’on passe des attracteurs d’un patient ayant les yeux ouverts à celui du sommeil paradoxal, à celui de l’épilepsie et du coma, on peut en conclure que la puissance cognitive augmente avec la dimension fractale et tend à disparaître lorsque la dimension fractale diminue. On peut donc dire que l’activité cérébrale du cerveau calque en quelque sorte l’activité cardiaque. En conclusion en biologie la régularité semble être un signe pathologique.

Cela dit, nous ne savons toujours pas quel est le rôle du chaos. Le cerveau comme le coeur tirent parti du chaos. Les biologistes pensent que le chaos est utilisé par le cerveau afin d’optimiser le traitement de l’information. Le cerveau doit traiter quasi instantanément un nombre considérable d’informations afin de choisir parmi toutes celles dont il dispose un état particulier qui correspond à une structure que nous connaissons, une solution qui correspond au modèle mémorisé.

Mais comment une information peut-elle être extraite d’un système chaotique ? Les réseaux neuronaux constitués de deux systèmes superposés ont permis de découvrir qu’un modèle simplifié du cerveau, ne contenant que le cortex et le thalamus présentait toutes les caractéristiques d’un oscillateur chaotique dans le temps et dans l’espace.

Un signal extérieur appliqué sur le premier réseau stabilise les signaux d’entrées ayant des orbites périodiques instables. Le second réseau neuronal est ainsi en mesure de discriminer différents états et de véhiculer une information. Ainsi on peut penser que dans le cerveau, le chaos est un moyen très utile pour traiter l’information, ce serait peut-être la composante essentielle de sa méthode de travail. Un système chaotique est en effet très flexible et passe très rapidement d’une orbite à une autre. C’est donc un moyen excessivement rapide pour passer d’un état à un autre. Cela s’applique aux systèmes qui évoluent en fonction de paramètres de bifurcations ou au monde de la biologie qui produit toujours de nouvelles espèces, de nouvelles enzymes ou de nouveaux récepteurs qu’il faut préserver de la destruction.

Dans le système chaotique le plus simple, la question fondamentale est de savoir s’il contient un nombre infini d‘orbites périodiques instables. Si c’est le cas, cela signifierait que ce système dispose d’un nombre infini de moyens de stabilité, qu’il présente un nombre infini de comportements, à l’inverse du cercle limite qui ne présente qu’un seul degré de liberté ou du tore qui se définit par deux degrés de liberté. Un attracteur chaotique est d’une riche extrême et si l’on parvient à le contrôler ont pourrait entrevoir ses immenses facultés. C’est pourquoi on peut dire que le chaos siège dans le cerveau car cela fait de lui un instrument très puissant.

Le chaos peut donc avoir un rôle constructif, rendant les systèmes vivants plus adaptés à leur environnement. La nature est également concernée par le chaos lorsqu’elle s’en sert dans une fonction constructive et que nous l’utilisons pour bâtir des systèmes artificiels.

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[1] Il s’agit de l’oxydation de l’acide citrique ou d’un mélange d’acide sulfurique, d’acide malonique et de sulfate de cérium par des ions de bromates (Br03-). Des colorants bleus et rouge marquent les ions acides et basiques - A.Winfree, Scientific American, 230, 1974, “Rotating Chemical Reactions”, p82-95.

[2] Martiel J. et Goldbeter A., Biophysical Journal, 52, 1987, p807.

[3] Froms Clocks to Chaos: The Rythms of Life, L.Glass/M.Mackey, Princeton University Press, 1988 - L.Glass et M.Mackey, Science, 197, 1977, p287 - M.Guevara et al., Science, 214, 1981, p1350 - J.Milton et al., Journal of Theoretical Biology, 138, 1989, p129 - L.Olsen et W.Schaffer, Science, 249, 1990, p499 - M.R. Guevara & L. Glass. Phase locking, period doubling bifurcations and chaos in a mathematical model of a periodically driven oscillator: a theory for the entrainment of biological oscillators and the generation of cardiac dysrhythmias, J. Math. Biol., 14, pp. 1--23, 1982. - D. di Bernardo, M. G. Signorini & S. Cerutti., A model of two nonlinear coupled oscillators for the study of heartbeat dynamics, Int. J. Bifurcation and Chaos, 8, Vol. 9, pp. 1975--1985, 1998. - M. G. Signorini, S. Cerutti & D. di Bernardo. Simulations of heartbeat dynamics: a nonlinear model, Int. J. Bifurcation and Chaos 10, Vol. 8, pp. 1725--1731, 1998.


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