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La science du chaos

Le chaos dans le système solaire (I)

Le chaos se manifeste dans de nombreux systèmes inertes et vivants, mais le domaine le plus inattendu dans lequel il se manifeste dans toute son ampleur est le système solaire. 

Tous les corps, du plus petit au plus gros, d’apparence stable ou périodique présentent à un moment ou un autre un comportement chaotique. C'est l'ensemble de ces phénomènes que nous allons décrire.

Dans l’antiquité, l’observation des mouvement réguliers des étoiles “errantes” devant le firmament des “étoiles fixes” suscita la fascination des astronomes et des mathématiciens. L’astronome français Jacques Laskar du Bureau des Longitudes de Paris nous rappelle que pour Hipparque et Ptolémée, le modèle idéal était une combinaison de mouvements circulaires uniformes, les épicycles, qui étaient ajustés sur des siècles afin d’épouser du mieux possible la course apparente des planètes : il fallait avant tout “sauver les phénomènes”. Graduellement l’astronomie devint prédictive, même si les observateurs sentirent que leurs modèles devaient continuellement être ajustés.

De 1609 à 1618 Kepler fixa la trajectoire des planètes : ayant assimilé les leçons de Copernic et loin des préoccupations du monde catholique, il plaça le Soleil au centre de l’Univers. En se basant sur les précieuses observations de Tycho Brahé il montra que les planètes décrivaient des ellipses autour du Soleil. Au terme d’une révolution, chacune d’elle se retrouvait à sa position de départ et retraçait la même ellipse. Bien que séduisante par sa simplicité, cette vision d’un système solaire parfaitement stable dans lequel toutes les orbites étaient périodiques ne resta pas très longtemps à l’écart des défis.

Portrait de Newton dessiné par A.Renshaw en 1960 et scanné par T.Lombry

Ce croquis de Newton très rarement publié fut réalisé par A.Renshaw à partir des peintures de Kneller. Document scanné par l'auteur et publié avec l'aimable autorisation de Random House, Inc. Droits réservés.

En 1687 Newton publia sa loi de la gravitation universelle. Bien qu’elle était restreinte aux interactions entre les planètes et le Soleil, sa théorie pouvait expliquer la phénoménologie de Kepler.

Si on ne considère qu’une seule planète en orbite autour du Soleil, on retrouve bien le mouvement de Kepler qui s’effectue le long d’une ellipse dont le Soleil occupe l’un des foyers. La loi de la gravitation de Newton étant une loi physique, elle est sensée avoir une portée universelle. Cela signifie que si Jupiter par exemple est attiré par le Soleil, il suit un mouvement elliptique. Mais en même temps il est attiré par Saturne. On a donc une force nouvelle qui s’exerce sur Jupiter qui va détruire la belle régularité de l’orbite de Kepler qui ne sera plus une ellipse invariante fixe.

Aujourd’hui, la loi de Newton n’a plus un statut très enviable en mécanique céleste car les astronomes contemporains se demandent si celle loi est vraiment suffisante pour tenir compte de tous les mouvements des corps que l’on observe dans le système solaire. En utilisant la loi de Newton, les astronomes sont à peu près sûr que le nouveau modèle dynamique ne sera pas celui de Kepler, car l’ellipse ne peut plus être fixe. Il faut en fait introduire des perturbations sur ces ellipses fixes.

Ainsi se pose réellement le problème de la stabilité du mouvement car si ces perturbations sont suffisamment fortes elles peuvent détruire la stabilité du système solaire. La masse des planètes étant beaucoup plus petite que celle du Soleil, la force perturbatrice est proportionnellement beaucoup plus petite que la force perturbatrice qui la fait tourner autour du Soleil, de l’ordre d’un millième.

La question fondamentale est donc de savoir si le système solaire est stable sur une durée infinie ou sur la durée de son espérance de vie. A l’époque de Newton ce n’était pas du tout évident. Même Newton était persuadé que les perturbations entre les planètes allaient détruire la stabilité du système. Pour Newton, le système solaire évoluait en fonction de la force de la gravitation universelle, mais petit-à-petit des perturbations détruiraient sa stabilité, si bien que Dieu devait de temps en temps remettre les planètes en place. Ceci n’est pas du tout l’idée que l’on se faisait d’un mouvement totalement stable pour l’éternité.

Pierre Simon de Laplace

Le problème de la stabilité du système solaire apparu réellement lorsque Edmund Halley démontra, après avoir analysé les observations Chaldéennes transmises par Ptolémée voici 2000 ans, que Saturne s’écartait du Soleil alors que Jupiter s’en rapprochait. En extrapolant purement ces observations, on trouva qu’il y a six millions d’années d’ici Jupiter et Saturne se situaient à la même distance du Soleil. Le problème de la stabilité était donc une question essentielle.

Au XVIIIe siècle Laplace[1] espérait trouver son "équation du monde" qui disait-il, "embrasserait dans la même formule les mouvements des plus grands corps de l'Univers et ceux du plus léger atome". Il reprit l’une des observations de la comète de Halley qui précisait : "1 mars 228 avant JC à 4h23 du matin, temps moyen de Paris, Saturne était observée “deux doigts” en-dessous de Gamma de la Vierge". Partant des observations contemporaines, Laplace espérait calculer ses éphémérides à rebours dans le temps en utilisant la loi de Newton pour arriver à l’observation réalisée 2000 ans plus tôt.

La variation des orbites planétaires fut telle que pour espérer trouver la position de Saturne dans le ciel, Laplace dû faire appel à de Lalande pour introduire des termes “séculaires” artificiels dans ses tables d’éphémérides. Mais pouvait-on considérer ces termes comme faisant partie de la loi de Newton ? La question demeura ouverte jusqu’à la fin du XVIIIe siècle, lorsque Lagrange et Laplace parvinrent à formuler correctement l’équation du mouvement.

Le portrait du système

Pour déterminer le mouvement d'une planète ou d'une particule dans l'espace, nous savons depuis Descartes et Newton que nous devons connaître ses trois coordonnées de position (en réalité le solide n'est pas symétrique et nous devons tenir compte de 6 variables: 3 précisent la position du centre de gravité par rapport au référentiel x,y,z et 3 autres son orientation) et les trois composantes de sa vitesse (c'est-à-dire sa dérivée par rapport au temps). Ceci nous donne ce qu'il est convenu d'appeler six "degrés de liberté". Dans le système solaire, il existe neuf planètes et quantité d'autres objets. Le mouvement d'une planète devrait tenir compte des interactions de tous ces corps, soit au moins 9 x 6 degrés de liberté... Limitons-nous pour cet exercice aux mouvements d'une particule représentée par un point. Il symbolisera ce qu'il est convenu d'appeler notre "portrait du système". A un instant donné, le portrait se trouve dans un état dynamique particulier, dénommé "espace des phases". Sa mesure se détermine en multipliant la variation de position par la variation de la quantité de mouvement du corps (son impulsion).

Les points de Lagrange

Les astéroïdes Troyens résident sur les célèbres points de Lagrange L4 et L5 de part et d'autre de Jupiter, une zone de stabilité gravifique qui rassemble à ce jour plus de 2500 objets dont certains individus ont plus de 15 km de diamètre. En l'an 2000 Wyn Evans et Serge Tabachnik[11] de l’Université d’Oxford ont simulé le mouvement des planètes inférieures sur 100 millions d’années et ont démontré que de tels pièges à gravité n’existent pas seulement autour de Jupiter, mais également autour de Mars, Vénus, de la Terre et dans une moindre mesure autour de Mercure. A gauche, la section de Poincaré montrant les zones de résonances et les zones chaotiques (librations). Au centre, les lignes de contours du potentiel effectif induit par l'énergie des corps liés gravitationnellement et de la force centrifuge autour des points de Lagrange L1 à L5. Les flèches rouges indiquent un gradient de potentiel attractif, les flèches bleues un gradient de potentiel répulsif. A droite, une vue simplifiée des points de Lagrange par rapport à l'orbite de la Terre. Documents Kazuyuki Tanaka, Xander89/Wikipedia et ESA Science.

Lagrange partit du fait que le mouvement d’une planète restait proche de l’ellipse de Kepler pendant une courte période de temps, s’offrant ainsi la possibilité d’utiliser cette ellipse comme base d’un système de coordonnées. Lagrange écrivit les équations différentielles qui gouvernent les variations du mouvement de l’ellipticité sous les effets des perturbations provoquées par les autres planètes, inaugurant les méthodes de la mécanique céleste traditionnelle. Les travaux de Laplace[2] et de Lagrange[3] convergèrent sur ce point et ils purent enfin calculer les variation séculaires, c’est-à-dire les variations à long terme du demi grand-axe des planètes sous les effets des perturbations des autres planètes. Leurs calculs démontrèrent qu’en utilisant les termes du premier ordre de leurs masses respectives, ces variations s’estompaient. S.Poisson[4] et S.Haretu[5] démontrèrent par la suite que ce résultat restait vrai jusqu’au second ordre des masses planétaires, mais pas jusqu’au troisième.

Ce résultat semblait contredire les observations effectuées par Ptolémée dans l’antiquité mais en examinant les perturbations périodiques existant entre Jupiter et Saturne, Laplace découvrit un terme quasi-résonant (2l Jupiter - 5l Saturne) dans leurs longitudes. Ce terme donne à la longitude de Saturne une amplitude de 46’50” avec une période de 900 ans. Ceci explique pourquoi les observations effectuées en 228 avant notre ère et celles de 1590 puis 1650 pouvaient donner l’impression d’incorporer un terme séculaire.

En utilisant la même théorie, Laplace fut à même de retrouver les observations de Ptolémée avec une précision inférieure à une minute d’arc, sans ajouter de termes additionnels à ses calculs. Il montra que la loi de Newton se suffisait à elle-même pour expliquer le mouvement des planètes tout au long de l’histoire, et cet exploit intellectuel s’ajoute sans doute en partie pour confirmer le déterminisme de Laplace.

Le travail de Laplace concernait seulement une approximation linéaire du mouvement séculaire des planètes, l’origine des mouvements planaires et circulaires était un point fixe elliptique dans l’espace des phases séculaire. Mais en 1856, dix ans après avoir découvert Uranus, LeVerrier[6] conclut qu’il fallait absolument tenir compte de termes d’ordres supérieurs sans quoi les calculs de Laplace et de Lagrange "ne pourraient pas être utilisés sur une période de temps indéfinie". LeVerrier défiait ainsi les mathématiciens futurs de trouver les solutions exactes, sans approximations. La difficulté posée par les “petits diviseurs” montrait que la convergence des séries dépendait des conditions initiales, et que la preuve de la stabilité du système solaire restait un problème ouvert.

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[1] P.S.Laplace, "Essai philosophique sur les probabilités", 1814, Rééd.Gauthier-Villars, 1921.

[2] P.S.Laplace, “Oeuvres Complètes”, IX, p325; XI p49, Gauthier-Villars, 1895.

[3] J.L.Lagrange,“Oeuvres Complètes”, VI, p255, Gauthier-Villars, 1869.

[4] S.C.Poisson, Journal de l’Ecole Polytechnique, VIII, 1809, p1.

[5] S.C.Haretu, Annales de l’Observatoire de Paris, XVIII, 1885, I, p1.

[6] U.LeVerrier, Annales de l’Observatoire de Paris, II, 1856, Mallet-Bachelet, Paris.


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