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La science du chaos

La diffusion chaotique des orbites planétaires (IV)

Il fallut attendre 1987 et la disponibilité d’ordinateurs suffisamment puissants pour que G.Sussman et J.Wisdom[19] du MIT découvrent la réponse en laisser travailler le Digital Orrerey, un ordinateur vectoriel à traitement parallèle, durant 4 mois. Ils se limitèrent également aux planètes extérieures afin de réduire le pas d’intégration et calculèrent le mouvement de Jupiter, Saturne, Uranus, Neptune et Pluton pendant 874 millions d’années.

Ils découvrirent finalement que le mouvement de Pluton n’était pas régulier. Pour deux conditions initiales très voisines, les deux solutions divergeaient exponentiellement avec un temps caractéristique de l’ordre de 20 millions d’années. C’était le signe que Pluton subissait un mouvement chaotique : l'exposant de Lyapunov était de l'ordre de 1/20 millions d'années, c'est-à-dire qu'il est multiplié par 3 tous les 20 millions d'années.

A gauche, variation séculaire de l'excentricité de l'orbite de Pluton. Le demi-grand axe a été porté à 0.3 UA pour déterminer la largeur de la zone chaotique. A droite, l'excentricité actuelle de l'orbite de Pluton réside dans une zone fortement chaotique qui explique l'instabilité de son orbite. Documents BDL/J.Laskar.

Mais Pluton reste une petite planète dont la masse est dérisoire par rapport à celle du Soleil (1.3x10-7); il n'entraîne pratiquement pas d’instabilité macroscopique dans le reste du système solaire, qui apparaît relativement stable dans ces études.

L'année suivante, le consortium européen du projet "Long-stop" confirma ces résultats sur un ordinateur CRAY[20]. J.Laskar[21]étudia le même problème en partant d’une idée tout à fait différente. Il essaya de tenir compte de tous les développements qui avaient été réalisés par Laplace, LeVerrier et Poincaré sur les séries de perturbations et de malgré tout les utiliser dans une nouvelle approche du problème. Bien sûr, si on n’utilise que les séries de perturbations on ne peut obtenir que des solutions régulières mais l’idée est d’utiliser ces séries afin de soustraire du problème toutes les séries régulières.

Dans l’ensemble des mouvements planétaires, il y a les mouvements rapides des planètes autour du Soleil et les mouvements de précession de ces orbites qu’avait découvert Laplace. Les mouvements de précession des orbites sont des mouvements qui ont période de l’ordre de 100000 ans alors que les mouvements planétaires sont de l’ordre de l’année. L’idée de Laskar était donc d’utiliser ces séries pour supprimer tous les mouvements rapides des planètes et ne conserver ensuite que les mouvements lents de précession des orbites.

A gauche, variation de l'excentricité de l'orbite de Mercure comparée à celle des autres planètes. A droite, variation de l'excentricité de l'orbite de Mercure en fonction de petites fluctuations des conditions initiales. A long terme ces fluctuations peuvent provoquer la collision de Mercure avec Vénus et entraîner son éjection hors du système solaire. Documents BDL/J.Laskar.

Pratiquement cela signifie que l’on prend les équations du mouvement de Newton, auxquelles on ajoute les correctifs relativistes que l’on développe ensuite en séries et que l’on somme. On obtient une expression finale de 150000 termes environ qui, partant d’une seule page d'équations rempli à présent quelque 800 pages de polynômes ! Ceci représente un système “simplifié” car à présent les périodes fondamentales de ce système d’équation sont de l’ordre de 100000 ans. Ce système est a priori instable et si l’on essaye de prolonger les séries de perturbations sur ce système, différents problèmes surgissent. Il faut donc s’arrêter à ce stade et étudier ce système de façon numérique.

Mais au lieu d’utiliser un pas de 0.5 jour on peut utiliser un pas beaucoup plus long, de 500 ans pour toutes les planètes, ce qui nous donnera une position tous les 500 ans. Ainsi pour connaître le mouvement des planètes sur 200 millions d’années il suffira de faire tourner l’ordinateur vectoriel durant quelques heures.

Cette méthode a permis de démontrer que le mouvement des planètes, et en particulier celui des planètes inférieures Mercure, Vénus, La Terre et Mars avait un temps caractéristique de l’ordre de 5 millions d’années.

Cela signifie que si l’on a deux solutions initialement proches, leurs trajectoires vont s’éloigner, non pas linéairement, mais de façon exponentielle. Ainsi si nous avons une incertitude de 15 mètres sur la position actuelle de la Terre, au bout de 10 millions d’années nous auront une erreur de 150 mètres sur sa position. En soi cette valeur est dérisoire et aucune éphéméride ne pourrait jamais prétendre avoir une telle précision, qui est tout à fait suffisante. Mais si on prolonge les calculs sur 100 millions d’années on aura une incertitude de 150 millions de km, c’est-à-dire égale à la distance qui nous sépare du Soleil et on ne pourra plus situer la Terre sur son orbite. Nous voilà donc confronter à une limite pratique qui nous empêche de prédire précisément le mouvement des planètes. Tout se passera bien si nous nous limitons à une dizaine de millions d’années, mais sur 100 millions d’années nous sommes incapables de prédire son avenir.

Nous sommes dans l’impossibilité de calculer cette position aujourd’hui, mais nous le saurons également dans 1000 ans ou dans 10 millions d’années. 15 mètres représente en fait la perturbation engendrée par le passage d’un astéroïde. Si nous désirons garder une telle précision à très long terme, il faudrait inclure dans notre modèle tous les objets engendrant des perturbations de l’ordre de 15 mètres, autant dire les centaines de milliers de corps qui peuplent le système solaire, astéroïdes, comètes, satellites gardiens, et fragments de toutes sortes. Si on veut aller encore plus loin, passer d’une précision de 15 mètres à 15 microns, au lieu d’avoir une erreur de 150 millions de km au bout de 100 millions d’années, on aura une erreur de 150 millions de km au bout de 160 millions d’années; on n’aura donc pas changé grand chose et cela représente donc vraiment une limite pratique de nos capacités à prévoir l’avenir des mouvements du système solaire.

Cette erreur de 150 millions de km ne signifie pas pour autant que la Terre ne suit pas son orbite de façon régulière. Le mouvement de la Terre se caractérise par deux variables, l’une dite de distance, l’autre d’action et par une troisième variable angulaire qui caractérise la position de la Terre sur son orbite. Ce que l’on perd dans cette divergence exponentielle c’est en fait l’orientation de l’orbite dans l’espace. L’orbite ne se sera pas déformé mais on perd en premier lieu sa position angulaire, ce qui provoque cette incertitude de 150 millions de km au bout de 100 millions d’années.

En intégrant ces variations sur plusieurs milliards d’années, on remarque que l’incertitude est régulière et ne bouge pas pour les grosses planètes, dont l’orbite ne subit presque aucune diffusion. Pour les planètes inférieures ce n’est pas du tout pareil. Pour la Terre et Vénus on observe que la diffusion est modérée. L’excentricité actuelle de la Terre est de l’ordre de 1.7 % avec une valeur maximale dans un modèle régulier Laplacien qui peut atteindre 6 %. Par diffusion l’orbite de la Terre peut atteindre une excentricité de quelque 8 % sur une période d’environ 5 milliards d’années. Mars présente une excentricité beaucoup plus forte, qui peut atteindre 10 % dans un modèle régulier Laplacien. Sur 5 milliards d’années son excentricité pourrait doubler, atteignant 20 % et peut-être plus par l’effet de la diffusion. Dans le cas de Mercure, la diffusion est tellement forte qu’elle pourrait quitter son orbite. En fait, l’excentricité maximale de Mercure est d’environ 24 % dans un modèle Laplacien et pourrait au bout de 5 milliards d’années atteindre l’unité. En s’allongeant énormément l’orbite de Mercure pourrait donc croiser celui de Vénus et suite à une rencontre rapprochée, on pourrait assister à l’éjection de la planète.

Y aurait-il donc une limite dans la prédiction des mouvements planétaires ? Ne serait-il plus possible de déterminer la trajectoire de la Terre dans le futur où loin dans le passé ? J.Laskar confirme que toutes les planètes sont extrêmement sensibles aux conditions initiales et rendent impossible toute prédiction au-delà de 100 millions d'années environ. La planète la plus perturbée est Mercure, les effets de sa dynamique chaotique étant clairement visible au-delà de 400 millions d’années[22].

A gauche illustration des fluctuations stables du demi-grand axe d'un corps orbitant dans la Ceinture des astéroïdes comparée à droite à des fluctuations chaotiques. Document Zoran Knezevic, Obs.Astron.Belgrade.

J.Wisdom de MIT mesura à son tour l’excentricité d’un astéroïde situé dans la lacune 3/1 de la Ceinture d’astéroïdes sur un intervalle de plus de 2 millions d’années. Alors que son excentricité moyenne égale 0.08, à intervalles réguliers, une dizaine de fois en 2 millions d'années, son excentricité dépasse 0.3. Des graphiques simulant la section de Poincaré correspondante indiquent que le tore qui contient les trajectoires a la forme d'une goutte et que des zones chaotiques de son orbite pourraient engendrer de telles fluctuations. On retrouve également ce comportement chaotique chez les satellites de forme irrégulière[23] et dans les lacunes de Kirkwood (1867) qui ne sont pas distribuées aléatoirement dans la ceinture des astéroïdes[24].

Un peu découragé par cette incertitude à long terme, J.Laskar[25] conclut : "nous sommes loin du centre stable, et plutôt dans la zone chaotique entourant une île [...]. Répondre à une telle question est cependant envisageable, mais nécessitera encore de nombreuses années de recherche".

En 1994 eut lieu à Paris le XIe ICMP Colloquium qui rassembla pendant quatre jours les spécialistes mondiaux de la mécanique céleste et du chaos. J.Laskar[26] était présent et résuma en quelques mots quelle était son impression après avoir étudié pendant 10 ans la dynamique du système solaire : "Le chaos à grande échelle est présent partout dans le système solaire. Il joue un rôle majeur dans la construction de la ceinture des astéroïdes et dans la diffusion des comètes à partir des régions externes du système solaire. Toutes les planètes inférieures ont probablement connu un comportement chaotique de leur obliquité à grande échelle durant leur histoire.[...] L’organisation des planètes dans le système solaire semble être fortement en relation avec ce comportement chaotique, situé de tout temps dans un état de stabilité marginal [...]".

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[19] J.Wisdom, Icarus, 72, 1987, p241 - G.Sussman et J.Wisdom, Science, 241, 1988, p433.

[20] Carpino, A.Milani et A.Nobili, Astronomy and Astrophysics, 181, 1987, p182 - A.Nobili, A.Milani et M.Carpino, Astronomy and Astrophysics, 210, 1989, p313.

[21] J.Laskar, Icarus, 88, 1990.

[22] J.Laskar, Symposium IAU 152, Ferraz-Mello eds., Kuwer, Dordrecht, p1. - A.Dahan et al., “Chaos et Déterminisme”, Seuil, 1992.

[23] J.Wisdom, Icarus, 58, 1984, p137 - J.Wisdom, Astronomical Journal, 94, 1987, p1350 - J.Klavetter, Astronomical Journal, 97, 1989, p570.

[24] J.Wisdom, Icarus, 56, 1983, p51.

[25] La Recherche, N°Spécial "La science du désordre", N°232, 22, 1991, p582.


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