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Les constantes capricieuses de la physique

Les constantes fondamentales

G, c, h, e, k,... sous l'apparence anodine des lettres de l'alphabet, les constantes jouent un rôle fondamental en science. On constate en effet qu'elles sont utilisées dans beaucoup d'équations. Intéressons-nous à la question de savoir si toutes sont vraiment fondamentales et si la science ne pourrait pas s'en passer.

Toutes les constantes de la nature représentent-elles bien des paramètres fondamentaux et constants ? Où ne seraient-elles pas plutôt des "artefacts" liés à la manière dont nous les avons mesurées ? En répondant à ces questions, nous comprendrons mieux comment fonctionne l'Univers et ses lois.

Prenons un exemple très simple, la molécule d'eau. Du temps d'Archimède, sa masse volumique représentait certainement d'une des quatre constantes fondamentales de la nature au même titre que la terre, l'air ou le feu. L'évolution des sciences nous a appris que les caractéristiques de l'eau dépendaient non seulement de la température ou de la pression mais surtout de ses propriétés atomiques (les masses et le nombre d'atomes formant la molécule d'eau) et moléculaires (les affinités chimiques). Plus récemment, on a découvert que ses propriétés dépendent elles-mêmes de la masse et de la charge de l'électron ainsi que de la constante de Planck. En revanche, la vitesse de la lumière est passée du cadre de paramètre attaché à un milieu (l'éther) à celui de constante fondamentale en raison de sa dépendance structurelle de l'espace-temps. En d'autres termes, il peut arriver que ce soit le contexte historique et épistémologique qui déterminent le caractère fondamental ou non d'une constante. Mais ce n'est pas toujours le cas.

Une analyse détaillée passe invariablement par un traitement mathématique mais l'essentiel de l'argumentation peut être expliqué de manière non formelle.

Définitions

Définissons tout d'abord quelques termes au risque de semer la confusion dans les esprits. En physique, on décrit un phénomène par une loi, une équation mathématique. Son expression est d'ordinaire constituées de deux types de quantités :

- des variables ou grandeurs physiques, telles que la masse, la vitesse, etc décrivant l'état du système et qui peuvent varier au cours du temps

- des paramètres indépendant de la loi, qui restent donc constants au cours de l'évolution du système, ce sont les constantes. Toutes n'ont pas le même statut, certaines sont fondamentales et font partie des propriétés intrinsèques du système (la viscosité de l'eau par exemple). En revanche, d'autres paramètres doivent être mesurés car rien ne permet de les calculer (la vitesse de la lumière par exemple).

La question est maintenant de savoir si nous pouvons construire une théorie, la plus générale possible, capable d'expliquer la valeur des constantes fondamentales... La question est ouverte.

Une unité permet de comparer une caractéristique d'un objet à celle d'un objet étalon. Ainsi un objet qui mesure 2 mètres de longueur signifie qu'on peut reporter 2 fois l'étalon métrique dans sa longueur. Si on étend cette mesure à une surface ou un volume, il n'est pas nécessaire d'introduire de nouvelles unités car l'équation aux dimensions des trois objets s'exprime toujours en mètres.

Une dimension exprime la caractéristique physique liée à chaque étalon de référence (longueur, masse, temps, charge, etc.). On peut ainsi exprimer une grandeur physique par rapport aux sept unités de base du Système international (SI) dont les unités les plus connues sont le mètre (m), le kilogramme (kg) et la seconde (s). Nous devons y ajouter l'ampère (A) qui permet de mesurer le courant électrique, le kelvin (K) pour mesurer la température, la mole (ou nombre d'Avogadro, N) pour mesurer la quantité de matière et le candela (Iv) pour mesurer l'intensité lumineuse. Ces sept étalons de mesure sont définis chacun par une dimension fondamentale. La dimension de l'unité de longueur s'écrit [L], le temps [T], etc. La vitesse qui s'exprime par exemple en kilomètres par heure a pour dimension une longueur divisée par un temps. Son équation aux dimensions s'écrit [V] = [L]/[T], autrement dit sa dimension vaut [L]/[T] ou encore [L]*[T-1]. Dans le système MKSA, l'ampère, la mole, le kelvin et le candela peuvent être dérivés des trois autres unités, le mètre, le kilogramme et la seconde.

La question est donc de savoir s'il est encore nécessaire d'utiliser les trois dimensions fondamentales pour exprimer toutes les quantités physiques... Ici aussi la question est ouverte mais bien malin celui qui pourrait considérer toutes les constantes comme des facteurs de conversion. On y reviendra.

Suivant l'idée introduite par Max Planck, les constantes sont divisées en deux groupes :

- les constantes dimensionnées telles que G, c, h, la viscosité cinématique, etc

- les constantes sans dimension, comprenant toutes les autres.

Les constantes dimensionnées ne revêtent pas toutes la même importance et peut être divisées en plusieurs catégories :

- les constantes caractérisant les propriétés d'un phénomène particulier (la masse de l'électron, etc)

- les constantes caractérisant les propriétés d'une classe de phénomènes (la constante cosmologique, etc)

- les constantes caractérisant des lois universelles, dites fondamentales (G, c et h). Leur modification entraîneraient non seulement un réétalonnage de nos systèmes d'unités mais un bouleversement de nos concepts.

Notons que certaines variables, comme l'écoulement d'un fluide (le mach) ne sont pas des constantes mais sont sans dimension. Même chose pour la viscosité. Ce n'est pas une constante, ni même la viscosité cinématique qui est sans dimension.

Un héritage encombrant

Pourquoi avons-nous inventé des unités comme le mètre, le kilogramme ou la seconde ? Historiquement, il s'agissait de trouver une méthode pour comparer les mesures disparates entre elles en utilisant un nombre réduit d'étalons de référence. Un lingot de plomb bien poli et peint peut ressembler à un lingot d'or, mais si leur masse est exprimée en kilogrammes et leur taille en fraction de mètre, nous obtenons un moyen commode pour évaluer leur masse volumique respective et dénoncer les tentatives d'escroquerie.

Malheureusement en l'espace de quelques siècles, les physiciens et les chimistes essentiellement, ont inventé des centaines d'unités différentes dont plusieurs dizaines rien que pour décrire les différentes formes d'énergie : erg, joule, eV/c2, sans parler des Watt, Hertz et autre température électronique. Heureusement, on peut aisément passer d'un système d'unité à un autre en utilisant un facteur de conversion. Voyez par exemple comment convertir des énergies en fréquences, des keV en Hertz.

Avec le temps évidemment, certaines unités furent redondantes, pensez aux degrés Fahrenheit et Celsius; elles existent parce qu'à l'époque de leur invention soit personne ne savait qu'elles étaient redondantes soit parce qu'un gouvernement décida de simplifier son système de mesure (référence à des états de la matière standards, décimalisation d'un système hexagésimal, etc).

Les exemples les plus célèbres sont la masse, l'énergie et le moment (linéaire ou angulaire). Newton ne connaissait pas l'équivalence entre la masse et l'énergie. De son temps, c'est à peine si on se déplaçait en calèche et on n'avait pas encore la notion d'accélération et de freinage brutaux comme nous l'expérimentons tous lorsque nous roulons en voiture ou prenons l'avion. L'énergie était encore considérée comme une force vitale ou d'essence divine avant qu'on ne se rende compte qu'il s'agissait d'une propriété de la matière. Ces concepts furent longtemps traités comme des choses différentes avant d'être finalement systématisées dans des unités standards comme le kilogramme et le joule.

L'analyse dimensionnelle

Quand nous voulons décrire un objet ou définir son état, nous faisons appel à différentes grandeurs physiques, des paramètres, qui nous permettent de le qualifier : on parle de distance parcourue, d'énergie cinétique d'un mobile ou de température de l'air.

Au cours de physique, chacun de nous a appris qu'un résultat exprimé en mètres n'était pas équivalent à une mesure exprimée en kilogrammes. Cette distinction est très utile pour vérifier l'exactitude d'un résultat, effectuer les simplifications, les montées ou descentes d'indices qui s'imposent.

Les physiciens utilisent une notion qu'on appelle "l'équation aux dimensions" pour déterminer la ou les unités dans lesquelles doit être exprimé le résultat d'un calcul. Il s'agit d'une expression algébrique qui décrit les grandeurs fondamentales du phénomène. Nous allons utiliser cette méthode pour analyser l'expression des constantes fondamentales de la nature.

La meilleure façon d'aborder le sujet est de commencer par la vitesse de la lumière, la constante fondamentale qui réside au coeur de la théorie de la relativité restreinte d'Einstein.

Imaginons que nous émettions un éclair lumineux dans l'espace et mesurions la distance d que l'onde a parcourue dans le temps t. Cela s'écrit d = ct, où c est cette fameuse constante valant 299792.458 km/s. Mais d'où vient c ?

Le temps et la distance impliqués dans cette relation sont, dans un sens fondamental, de véritables grandeurs physiques, des paramètres "réels" : ils sont directement mesurés et ne peuvent pas être réduits à une expression plus simple. Mais la constante c a été inventée de manière à établir un rapport, une relation entre d et t. Ainsi que nous l'avons dit, on utilise c parce que nous percevons la distance et le temps comme des concepts différents. 

A partir des dimensions [L] pour la distance et [T] pour le temps, si nous voulons établir une relation d'égalité entre ces deux quantités, nous sommes obligés d'introduire une quantité de dimensions [L]/[T]. On appelle cette quantité, la vitesse de la lumière, c.

Constante et facteur de conversion

C'est l'invariance de la vitesse c la lumière dans l'ensemble des espaces (x,y,z) qui permet de définir un espace (x,y,z,ct) euclidien à 4 dimensions dont le temps. Dans ce point de vue, on peut dire que c est juste un facteur de conversion. Ainsi que nous l'avons expliqué en relativité à propos du concept des quatre dimensions, quand on parle de "5 secondes" par exemple en termes relativistes, on peut l'exprimer comme étant 5 "unités de longueur à quatre dimensions". C'est équivalent à 15x108 mètres et le facteur de conversion c n'a pas plus de signification que celui que nous utilisons pour convertir les miles en kilomètres (en multipliant les miles par 1.609). On se débarrasse ainsi de c.

Prenons un autre exemple. Il concerne cette fois une grandeur physique (et non pas une constante universelle) que connaissent les électriciens ou les radioamateurs, la permittivité du vide, ε qui est une mesure de la manière dont l'espace vide transmet le champ électrique. Au fil des années, cette quantité est apparue puis a disparu de l'électromagnétisme, selon les conventions métriques et ce à quoi les physiciens rigoureux voulaient que leurs équations ressemblent. Aujourd'hui, le SI est d'application. Dans ses unités, la loi de Coulomb qui décrit la force entre deux charges électriques q1 et q2, séparées d'une distance d se lit F = q1q2/4εd2. Epsilon apparaît ici parce que nous considérons la charge comme un concept différent de la masse, de la longueur et du temps. Si on le souhaite, on peut utiliser l'ancien système CGS basé sur le centimètre, le gramme et la seconde, ou la plus ancienne unité électrostatique. Dans ce cas, la loi de Coulomb s'écrit simplement q1q2/d2.

Nous avons perdu ε. En fait nous utilisons la charge qui, dans ces unités, a pour dimensions [M1/2][L3/2]/[T]; il n'y a pas de dimension distinctive pour la charge. Il s'agit plutôt d'un facteur de conversion concernant le choix des unités et nous pouvons très bien effectuer des calculs impliquant l'électromagnétisme sans tenir compte de la permittivité ε.

Peut-on décrire les autres constantes et paramètres de manière similaire ? Qu'en est-il par exemple de la constante de la gravitation G, qui vaut 6.67408 x 10-11 m3/kg.s2 selon le CODATA (2014), plus connue sous la forme CGS : 6.674 x 10-8 cm3/g.sec2) ? On peut parvenir au même résultat, mais c'est un peu plus compliqué.

La loi de l'attraction universelle de Newton fait intervenir la constante G telle que la force d'attraction F entre deux masses sphériques m1 et m2 est G = Gm1m2/d2.  Donc un objet de masse m1 présente une accélération a = F/m1 = Gm2/d2. Nous percevons la masse comme étant différente de l'espace et du temps et elle est quantifiée dans les dimensions de [M]. Ainsi, avec trois concepts différents dans notre équation (l'accélération impliquant la longueur et le temps), nous avons besoin d'une constante plus complexe. En termes d'analyse dimensionnelle, G présente les dimensions [L3]/[M][T2].

Un concept ayant les mêmes dimensions, mais comprenant c, est devenue la théorie de la relativité générale d'Einstein, qui est une théorie de la gravitation dont la théorie de Newton est un cas limite.

Peut-on se débarrasser de G ? Si nous remplaçons [L3]/[M][T2] par ses valeurs invariantes ([h] = [M]*[T] = 1 et [c] = [L]/[T] = 1), par substitution on obtient [G] = [L2]. Bien qu'il ne soit pas invariant, on découvre que la quantité GM/d2 comprend les mêmes dimensions de longueur que ct.

Notons que si au lieu d'utiliser des masses ponctuelles, on raisonne en terme de milieu continu, de champ, on peut introduire la notion de potentiel de la gravitation φ = - GM/r. Il s'agit d'un invariant dont la dérivée n'est autre que sa force. Mais revenons à la formule standard.

En posant G = 1, l'unité de masse est fixe. Mais contrairement à c, ou longueur et durée (temps) sont synonymes, il n'y a pas de définition correspondant à la masse en terme de longueur. Pourquoi ? Parce que Newton ne connaissait pas la relativité générale ni les trous noirs !

En effet, aujourd'hui nous savons que le rayon de Schwarzschild d'un trou noir décrit une relation bien précise entre sa masse, le rayon de l'horizon et la vitesse de la lumière :

Dans cette approche, en considérant que G = 1 et c = 1, pour une masse M, Rs = 2M ce qui nous permet de relier la masse à la longueur. C'est ainsi qu'on peut dire que si le Soleil devenait un trou noir, il présenterait un rayon de Schwarzschild de 3 km. Si nous sommes cohérents, cela signifie également que nous pouvons traiter les masses en termes de longueurs et donc que l'expression suivante est exacte : le Soleil-trou noir présente une masse de 3 km.

On peut dès lors en conclure que la seule raison d'utiliser G dans n'importe quelle formule est dans le but de convertir une unité dans une autre du fait que jusqu'à l'époque d'Einstein, on ignorait la relation fondamentale existant entre la distance et la masse. Pour nous débarrasser de G, il nous a simplement suffit de définir des unités arbitraires telle que Rs = 2M, une des nombreuses substitutions qu'affectionnent les mathématiciens. Comme le disait le théoricien William McCrea[1] au cours de sa conférence Milne en 1986, la constante G apparaît seulement dans les équations si nous traitons la masse d'une manière différente de la longueur. Comme c, il s'agit d'une constante de conversion et rien de plus.

En résumé, par un choix judicieux d'unités, nous pouvons pratiquement réduire n'importe quelle constante à 1. Mais il n'est pas possible de choisir un ensemble cohérent d'unités dans lesquelles toutes les constantes valent 1. Par exemple, il est impossible de définir simultanément G = 1 et h = 1. C'est un exemple de la partie émergée de l'iceberg de l'incompatibilité entre la physique quantique et la relativité générale. Comment résoudre ce problème ?

Prochain chapitre

L'échelle de Planck

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[1] William McCrea, Quarterly Journal of the Royal Astronomical Society, Vol.27, p137.


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