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Du corps noir aux étoiles

Le diagramme H-R des étoiles proches.

Les lois de l'évolution stellaire (II)

En présentant les étoiles dans le diagramme H-R, Hertzsprung et Russell découvrirent que pour une classe spectrale déterminée (B ou M par exemple) ou une même température effective, il existe des étoiles très lumineuses (géantes) et d'autres peu lumineuses (naines). Inversement, elles se regroupent également en fonction de leur luminosité, indépendamment du type spectral (géantes bleues, géantes rouges, etc).

Grâce à ces travaux on peut en déduire plusieurs relations qui nous permettent de mieux comprendre les phénomènes qui relient la luminosité des étoiles à leur température, leur couleur, leur taille et leur masse. Ces relations vont nous servir d'introduction à l'article décrivant la vie des étoiles.

Voyons tout d'abord quatre lois générales.

1. La loi de Planck

Cette loi fondamentale de la physique régit l'émission de tout objet naturel, raison pour laquelle on la retrouve dans quantité de traités discutant du rayonnement des corps.

L'émittance Ml d'un corps noir est liée à sa luminance ou quantité d'énergie (clarté). Elle dépend donc de sa longueur d'onde l et de sa température T :

avec h la constante de Planck = 6.62606876x10-34 J.s,  k la constante de Boltzmann = 5.670400x10-8 J.K-4.m-2.s-1, c la vitesse de la lumière = 299792458 m/s et T la température en Kelvin. Le dénominateur caractérise le comportement d'un gaz de photons qui obéit à la statistique de Bose-Einstein.

Mλ s'exprime en W/m3.sr et mesure la puissance spectrale totale rayonnée par unité d'angle solide de surface, π est un facteur de normalisation.

Ainsi, pour une longueur d'onde et une température données, un objet présentera un spectre d'énergie identique à celui du corps noir indépendamment de sa nature.

Toutefois, la plupart des corps existant sur Terre, y compris l'atmosphère et la Terre dans son ensemble, émettent moins d'énergie que le prévoit la loi de Planck et ce à toutes les longueurs d'onde. Dans ce cas on parle de l'émission d'un "corps gris". Notons qu'il absorbe totalement le rayonnement infrarouge. Cette émissivité inférieure à 100 % explique notamment pourquoi on peut voir un corps gris par réflexion qui, autrement, absorberait tous les rayonnements.

En corollaire, dans les limites du spectre visible, l'émission thermique d'un corps porté à une température T est assimilée en première approximation à celle d'un corps noir porté à la température de couleur Tc. Généralement, en raison de la présence de raies d'absorption, Tc < T.

L'émissivité est le rapport entre l'émittance d'un corps gris et l'émittance d'un corps noir porté à la même température. Un corps présentant une forte émissivité (98-100 %) est considéré comme un corps noir. Ainsi la présence de neige notamment aux pôles est un important facteur de réflexion de l'énergie solaire. 

Un corps peut présenter une forte émittance mais une faible émissivité. Ainsi, dans le cas des nuages (cumulus éclairés par le Soleil), leur émissivité est d'environ 98%. L'émissivité de la neige, de la glace ou de l'eau peut atteindre 99% pour une émittance de 221 Wm2. L'émissivité tombe à 40 % dans le cas du sable du Sahara alors que son émittance vaut 246 Wm2.

La loi de Planck s'applique à une unité de surface. Pour calculer la puissance rayonnée par une étoile, il faut intégrer l'émittance du corps noir sur toute sa surface :

P = 4πR2σT4

avec σ = 5.7x10-8 W/m2.K4, la constante de Stefan et T la température en Kelvin.

On constate que cette puissance varie comme R2 ce qui signifie qu'un petit changement d'énergie (de luminosité) va entraîner une forte augmentation du rayon de l'étoile. De même, le facteur T4 signifie qu'un petit changement de température va provoquer une forte augmentation de sa puissance. Ainsi, à température constante, si le Soleil devenait 2 fois plus grand il deviendrait 4 fois plus lumineux ! A rayon constant, s'il devenait 5 fois plus chaud (~30000 K), il deviendrait 625 fois plus lumineux et passerait de la magnitude -27 à -34 !

Ces deux facteurs, R et T, nous permettent donc déjà de dire que la variation du taux de combustion de l'énergie des étoiles va entraîner l'apparition d'une grande diversité d'étoiles, tant en taille, qu'en luminosité ou en couleurs. On y reviendra.

2. La loi des gaz parfaits

A mesure qu'une étoile s'échauffe, grandit et devient plus lumineuse, sa pression interne suit la loi des gaz parfait :

PV = nRT

où les deux facteurs les plus importants sont P la pression et T la température, n étant la quantité molaire de matière, V le volume de gaz et R une constante (elle remplace en réalité le k dans PV/nT=k).

On peut en déduire qu'à température constante, le volume d'un gaz est inversement proportionnel à la pression (P=1/V). De même, à pression constante, le volume d'un gaz est directement proportionnel à sa température absolue (V~T) ainsi qu'au nombre de molécules (V~n).

Ces relations nous permettent de conclure que lorsque la pression interne d'une étoile contre-balance sa force de gravité, elle se trouve en état d'équilibre hydrostatique. Concètement cela signifie que l'étoile est dans une phase stable. Quand elle vient de sortir de son cocon protostellaire, à partir de ce moment elle prend une forme sphérique et entame sa progression sur la Séquence principale.

Cela ne veut pas dire qu'en dehors de cette phase d'équilibre l'étoile va prendre une autre forme. Etant donné son énorme masse, la force de gravité va toujours lui donner une forme sphérique mais sa pression de radiation par exemple peut durant un certain temps dépasser la force de gravité et forcer l'expansion de ses couches superficielles ou l'éjection de matière de sa surface. C'est notamment ce qui explique sa transformation en étoile géante, les vents violents qui émanent des étoiles géantes bleues ou l'explosion des supernovae. On reviendra sur tous ces événements dans d'autres articles.

3. La relation Puissance-Température, P T4 ou loi de Stephan

Si on se rappelle de l'effet du tison, en observant que le rayonnement émis par un corps chaud est plus important à toutes les longueurs d'ondes que celui émis par un corps plus froid, on en déduit que sa luminance (sa clarté ou luminosité) dépend de sa température.

Cette observation permet de conclure que la puissance totale rayonnée par le corps noir par unité de surface (émittance en W/m2) est proportionnelle à la quatrième puissance de sa température absolue.

P = σT4

avec σ = 5.7x10-8 W/m2.K4, la constante de Stefan et T la température absolue en Kelvin.

En d’autres termes, à surface égale, si la température du Soleil avait été de 9000 K (1.56 fois plus élevée) il aurait émis 6 fois plus d’énergie.

4. La relation Luminosité-Température ou loi de Wien

Une seconde loi générale mérite notre attention. On constate que lorsque la température d'un objet augmente, sa courbe de luminance (luminosité) se décale vers les courtes longueurs d'ondes, c'est la loi de Wien qui est dérivée de la loi de Planck.

Selon la loi de Wien, λmax T = Cte = 0.2884 cm/K, qui est plus claire sous la forme suivante :

T (K) = 0.002884 / λ (m)

La longueur d'onde correspondant au maximum d'énergie est inversement proportionnelle à la température du corps émetteur. Concrètement, sachant que le Soleil présente un rayonnement maximum à 500 nm (λmax = 5x10-7 m) on peut déterminer qu'il présente une température effective d'environ 5760 K, il nous paraît jaunâtre.

En pratique, cette loi nous dit que les étoiles plus chaudes que le Soleil émettront à de plus courtes longueurs d'ondes et seront donc bleutées tandis que les plus froides nous paraîtront orangées.

Rien qu'à travers ces deux lois, on comprend déjà que la couleur des étoiles et leur durée de vie peuvent être influencées par leur température effective. En effet, froides, elles rayonneront faiblement et consommeront donc peu de combustible. En revanche, très chaudes, elles consommeront rapidement leur capital d'énergie et ne pourront donc pas survivre très longtemps.

Deux autres lois nous permettent de mieux comprendre les caractéristiques des étoiles et vont confirmer les idées que nous venons d'émettre.

5. La relation Taille-Luminosité des étoiles, L R2

Si deux étoiles ont le même type spectral mais une luminosité intrinsèque différente, par exemple Sirius (23 L) et Déneb (50000 L), cela s'explique uniquement par leur différence de rayon. En effet, à température constante la luminosité d'un astre varie comme le carré de son rayon, obéissant à la loi de Planck :

L = 4πR2σT4eff

avec σ = 5.7x10-8 W/m2.K4, la constante de Stefan.

Ainsi que nous l'avons dit, pour une même température, si l'étoile devient deux fois plus grande, elle va briller quatre fois plus, raison pour laquelle toutes les étoiles géantes scintillent au firmament.

A première vue Sirius diffère peu de Déneb en terme de magnitude apparente (mv = -1.46 pour Sirius et +1.26 pour Déneb), de classe spectrale (A1 V et A2 Ia), d'indice de couleur ((B-V) = 0.00 et 0.09) et de température effective (10500 K et 8500 K). Bref toutes deux sont des étoiles brillantes "on ne peut plus blanches" et a priori de même taille.

Or un petit calcul permet de constater que si Sirius présente un rayon d'environ 1.7 R, Déneb est une étoile supergéante d'environ 300 R ! De ce fait sa magnitude absolue est l'une des plus élevées, -8.73, alors que Sirius brille à peine à la magnitude absolue de +1.41. Les apparences sont trompeuses.

A tester : La relation Luminosité-Rayon-Température

Un applet Java préparé par S.Morgan, U.Northern Iowa

La relation Température-Taille-Luminosité

Document T.Lombry

Température relative

Rayon relatif

Luminosité relative

1
1.5
2
1
1
2

1

1

1

2

4

2

1
5
16
4
16
64

6. La relation Masse-Luminosité des étoiles, L M4

Tant que les étoiles évoluent sur la Séquence principale leur luminosité est proportionnelle à leur masse, obéissant à la relation :

L M4

Ceci a une conséquence sur la durée de vie des étoiles. Imaginons deux étoiles, A et B, évoluant sur la Séquence principale mais dont l'une est deux fois plus massive que l'autre.

L'étoile A "pesant" 2 M dispose de deux fois plus d'hydrogène que l'étoile B. Ayant plus de combustible, on peut penser que l'étoile A vivra plus longtemps que l'étoile B et restera donc plus longtemps sur la Séquence principale. Or en réalité on constate que c'est le contraire qui se produit ! Pourquoi ?

Il faut bien interpréter la relation L M4. Elle signifie dans notre exemple que l'étoile A, plus massive, va briller 24 soit 16 fois plus que l'étoile B. Or toute réaction requiert de l'énergie proportionnellement au travail développé. Dans ce cas-ci, durant la même période, l'étoile A perdra donc 16 fois plus de combustible que l'étoile B, en d'autres termes elle consomma ses réserves 16 fois plus vite. Globalement elle restera sur la Séquence principale 16 moins moins longtemps que l'étoile plus légère.

En résumé, plus l'étoile est lumineuse (ou plus elle est massive) plus rapidement elle consomme son combustible et plus tôt elle quitte la Séquence principale pour devenir une étoile géante et terminer ensuite sa vie.

Les quelques lois que nous venons de décrire résument tout le principe du diagramme H-R et la vie des étoiles. Nous détaillerons les détails des ces théories dans d'autres articles de ce dossier.

Pour plus d'informations

Sur ce site

Corps noir, luminosité et spectre

L'évolution stellaire en quelques formules

Une façon de vivre propre aux étoiles

La température de couleur des étoiles

La vision des couleurs

Download (dont quelques articles historiques à télécharger)

Articles et applets Java

Some paradoxes, errors, and resolutions about human vision, D.Lynch et al. (PDF de 127 KB)

Black Body Radiation, MHHE/McGraw-Hill

Planck Law Radiation Distributions, Mike Guidry

La relation Luminosité-Rayon-Température, S.Morgan

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