La cosmologie quantique

Les classes d’équivalences d’histoires (IV)

Comment peut-on savoir où le Soleil sera demain ? Les lois de la physique nous permettent de prédire l'évolution d'un système : la loi de la gravitation, les lois de Kepler et une projection adéquate nous permettent de déterminer l'évolution du Soleil. Mais ces seules lois ne sont pas suffisantes pour déterminer précisément l'emplacement du Soleil sur la voûte céleste à un instant donné. Ses mouvements dépendent de sa vitesse et de sa direction à un moment déterminé, ce qu'on appelle les "conditions initiales" du mouvement de ce corps. Ces paramètres se sont avérés de la plus haute importance non seulement en mécanique céleste pour déterminer par exemple l'évolution du système solaire à très long terme mais également en thermodynamique pour déterminer par exemple l'évolution du climat.

Plus près de nous, en sport, si nous pouvons mettre une balle au panier ou dans les filets, c'est parce que nous avons évalué avec précision la trajectoire du ballon à partir de conditions initiales, la force et la direction, qui sont rassemblées dans notre tir au but à travers notre coup de poignet ou notre coup de pied.

En fait, sans le savoir nous avons appliqué le "principe de moindre action" que nous avons entrevu dans la théorie du champ. Quand un pilote de course veut connaître la trajectoire idéale de sa Formule 1, il calcule le produit de la vitesse de sa voiture par l'élément infinitésimal de trajectoire, c'est l'action, ce qui revient à calculer l'intégrale des trajectoires possibles (intégrale du Lagrangien) au cours du temps. La solution est une trajectoire qui file en ligne droite autant que faire se peut et qui sert la corde dans les tournants, quitte à laisser un peu de gomme sur le macadam. La cosmologie décrit l'Univers de la même manière, si ce n'est que la gomme est représentée par la matière laissée au cours son l'évolution.

Donnez-moi ses conditions initiales dit le physicien et je vous prédirai l'évolution du monde ! Dans le cas de l'Univers, ses conditions initiales sont celles du Big Bang; elles représentent les conditions aux limites du système. Si vous représentez l'univers dans un plan, vous devez préciser les conditions aux limites de cet espace. Cela devient utopique dans le cas de notre univers qui s'étend à l'infini ou qui évolue dans le temps imaginaire des fonctions d'ondes.

Nous sommes confrontés au même phénomène si nous essayons de déterminer la trajectoire d'une particule. La physique quantique et ses lois probabilistes nous disent qu'il nous est impossible de connaître en même temps avec toute la précision requise sa vitesse et sa position car le résultat sera toujours entaché d'une incertitude.

D'un autre côté il faut bien expliquer le mouvement déterminé des objets macroscopiques dont les trajectoires obéissent aux lois classiques de Newton.

Dans les années 1950, le physicien Richard Feynman de Caltech avait imaginé une méthode de calcul pour résoudre ces difficultés : les "classes d’équivalences d'histoires", théorie pour laquelle il partagera le prix Nobel de Physique en 1965 avec Julian Schwinger et Sin-Itiro Tomonaga. Après avoir décrypté des codes secrets allemands et l'écriture maya, le génial professeur avait encore fait une découverte !

Feynman suggéra qu'au lieu d'imaginer le mouvement des particules en terme de fonction d'onde ou même de trajectoire unique, il était plus simple de considérer toutes les trajectoires ou fonctions d'ondes possibles allant d'un point A à un point B. Si on considère toutes les trajectoires spatio-temporelles possibles, la probabilité qu'elle suive une trajectoire déterminée revient à additionner toutes les amplitudes et toutes les phases de l'onde entre A et B. En interférant les unes avec les autres, la plupart des ondes vont s'annuler tandis qu'un certain nombre vont se renforcer. Le résultat est une onde corrélée à toutes les trajectoires individuelles, la plus probable d'entre toutes. En d'autres termes, c'est celle où nous avons toutes les chances de trouver la particule, elle correspond donc bien à sa trajectoire. 

En pratique, cette méthode consiste à affecter à chacune des trajectoires possibles une amplitude complexe, puis à sommer toutes ces amplitudes de façon à obtenir l'amplitude de probabilité du phénomène, c'est-à-dire la valeur du carré du module du nombre complexe. La sommation de tous les histoires possibles correspond ainsi à l'élimination par intégration des variables non suivies.

Cette méthode d'intégration complexe des classes d'équivalences d'histoires s'applique à n'importe quel système tant que nous pouvons déterminer tous ces états internes. Génial, vraiment génial !

Comment peut-on appliquer ce concept à l'Univers ? C'est la question à laquelle ont essayé de répondre Stephen Hawking et son ami James Hartle. Le but est de savoir, parmi les différentes classes d’équivalences d’histoires possibles, disons les différentes histoires de l’Univers pour simplifier, quelle est la probabilité que l’une ou l’autre séquence ait lieu. En d’autres termes, si A et B sont deux évolutions de l’Univers possibles, la probabilité que l’une des deux histoires se réalise est la probabilité de A plus la probabilité de B. Les résultats possibles sont mutuellement exclusifs et toujours exhaustifs : un seul Univers doit émerger et le résultat doit se produire. Comme au tiercé, tous les turfistes attendent un résultat et un seul cheval doit gagné. C’est la même chose dans l’approche probabiliste des conditions d’émergence de l’Univers.

D’un autre côté, comme à la roulette où il faut choisir au moins une couleur entre rouge et noir, on ne peut attribuer de probabilité, en général, qu’à des paires d’histoires de l’Univers. Si par malheur les histoires interfèrent entre elles, alors on ne peut plus calculer leur probabilité. Mais étant donné qu'il a toujours des gagnants aux jeux de hasard, notre Univers a donc quelques chances également de sortir vainqueur. La preuve, nous sommes là pour nous poser la question. L'idée marche donc bien !

Pratiquement, une histoire d'Univers présente une séquence d’événements complets. Mais il est impossible, en vertu des relations d’incertitude, de préciser la position et la quantité de mouvement de toutes les entités de l’Univers, ni même de l’une d’entre elle. Nous devrons donc être plus sélectifs et ne prendre par exemple en considération que les états les plus représentatifs. Cette contrainte nous permet déjà de dire qu’une éventuelle "Théorie de Tout" ne pourra jamais englober tous les phénomènes et n'aura jamais qu'une valeur statistique. Nous y reviendrons.

Une classe d’histoires ne représente que les ensembles d’histoires qui partagent les mêmes éventualités possibles, par exemple, la détermination exacte de la position de tous les corps qui peuplent l’Univers ou le résultat précis d'une réaction dans des conditions d'expériences déterminées. Mais faut-il pour cela déterminer tous les instants pour chaque entité, et à ces instants considérer les interactions avec tous les corps de l’Univers ? A priori, même par intégration, cette tache nécessiterait de connaître la constitution de tout l'Univers !

On peut en effet ne considérer que les entités qui conduisent à l’Univers "gagnant" et ignorer certains événements non significatifs (qui seront sursommés dans l’opération de sommation). Deux classes d’histoires de ce type forment ce que les mathématiciens appellent des classes d’équivalences d’histoires ou "coarse grain stories", qui donna le néologisme "agraidissement".

Pour déterminer la probabilité de trouver l'Univers dans un état particulier à partir d'un état antérieur, nous devons donc calculer son histoire idéale à partir de toutes les histoires théoriquement possibles de l'espace et du temps. C'est que l'on appelle la "fonction de transition".

Murray Gell-Mann participa au développement de cette théorie et nous explique ce concept de manière très imagée. Ce calcul revient à effectuer un "survol", c’est-à-dire voler en ignorant les détails du terrain. Ainsi dans la prédiction du mouvement des planètes du système solaire, on représente les planètes par leur seul centre de masse ponctuel. Les dimensions du système se voient ainsi réduites drastiquement.

On élude ainsi les histoires non significatives car la somme de toutes les interférences constructives et destructives qui ont lieu entre paires d’histoires ne laissent qu’une petite probabilité d’existence, positive, négative, voire nulle. Si la valeur est nulle, toutes les histoires décohèrent, c’est-à-dire qu’elles donnent lieu à de véritables probabilité.

Ainsi, quand le photon interfère avec lui-même dans l’expérience des deux fentes de Young, l’interférence des deux histoires ne permet pas de lui assigner de probabilité. Et la question de savoir par quelle fente est passé l’électron n’a donc plus de sens, comme si "le cheval n'avait plus de cote" nous dit Gell-Mann en souriant.

Calculer l'intégrale de ces classes d'histoires équivaut donc à calculer une fonction d'onde sommée sur une certaine classe d'histoires du système. Les histoires se matérialisent (se réduisent) au moment où l'on connaît la valeur de la fonction d'onde. Celle-ci étant unique on peut alors remonter le temps et déterminer la classe d'histoires qui doit être sommée. De cette façon, les nombres complexes associés aux histoires de l'Univers sont définis par les seules lois de la physique. La particularité de cette méthode complexe d'intégration est de tenir compte, rappelons-le, de toutes les histoires possibles contenues dans le système.

Calculer cette intégrale équivaut à résoudre l'équation de Schrödinger. C'est une solution quantifiée qui généralise son application à l'Univers tout entier. Car résoudre l'intégrale des histoires du système équivaut bien à résoudre l'équation de Wheeler-DeWitt. Bien sûr la précision de cette solution dépend du nombre et du choix des classes d'histoires que l'on somme. Hartle et Hawking suggèrent que cette solution n'est possible que si on considère l'intégrale de toutes les géométries de l'espace-temps qui n'ont pas de limites, mis à part le temps présent qui reste ouvert et sans frontières définies.

Le théorème de l'Univers sans bord

Dans l'approche classique de la théorie unifiée des champs, si l'Univers est bel et bien issu d'une seule fonction d'onde, nous pouvons alors nous demander comment l'Univers a-t-il commencé et en quoi consistait son état initial ? "Non, jamais nous dit Hawking, car il nous faudrait pour cela connaître les conditions limites en vigueur au bord de l'univers, c'est-à-dire aux frontières de l'espace et du temps". Si cette frontière était un point, d'accord, nous pourrions aller voir ce qu'il y a au-delà de cette frontière, mais si cette frontière de l'espace-temps prend les formes d'une singularité comme dans le modèle cosmologique Standard, on ne peut pas résoudre l'équation de Wheeler-DeWitt. C'est ici que la méthode de Feynman apporte un réel plus car elle accepte plusieurs histoires et pas uniquement celles prévues par la physique classique ou la relativité générale.

En 1983, Stephen Hawking[9] et James Hartle ont imaginé un modèle dans lequel l'Univers n'a pas de limite ni dans l'espace ni dans le temps. Comme évoqué, ils appelèrent ce modèle, "l'univers sans bord" (no-boundary universe). Dans ce cas, que devient la singularité initiale ? A question pertinente, théorie tout aussi subtile. Comme tout le monde, Hawking et Hartle ont été confrontés au "temps zéro", la limite temporelle que représente l'instant du Big Bang. Si nous voulons comprendre comment cet événement est survenu, nous devons pouvoir le calculer, le prédire. Or, le temps classique de la physique nous empêche d'y accéder. Ils ont donc postulé quecet espace-temps se déterminait dans un temps imaginaire, celui des mathématiques. Voilà un concept original qui mérite deux mots d'explications.

Si on essaye de se représenter le temps imaginaire dans un plan, il s'agit d'une nouvelle dimension perpendiculaire au temps réel. Si l'axe du temps réel s'écoule horizontalement, le temps imaginaire s'écoule verticalement. Selon Hawking, d'un point de vue mathématique, "cette notion de temps imaginaire permet non seulement de décrire des phénomènes déjà observés mais également des phénomènes que nous sommes incapables de mesurer dans un cadre classique". En relativité générale par exemple, les corps peuvent subir des déformations spatiales dans les trois dimensions mais le temps réel évolue toujours vers le futur. En revanche, en physique quantique, le temps imaginaire de la fonction d'onde peut s'accroître ou diminuer. On peut donc changer de direction non seulement dans l'espace mais également dans le temps. "Puisque le temps imaginaire est à angle droit du temps réel nous dit Hawking, il se comporte comme une quatrième dimension spatiale. Il ouvre donc sur un éventail de possibilités beaucoup plus riches que la voie fermée du temps réel ordinaire, qui peut seulement avoir un commencement ou une fin ou tourner en rond; et c'est bien en ce sens imaginaire que le temps a une forme".

Ce temps imaginaire ne contredit pas le théorème de la singularité classique mais l'adapte. Hawking nous demande d'imaginer cet espace-temps évoluant dans un temps imaginaire comme une sphère, qui est aussi la topologie la plus simple.

Plutôt que de tomber dans une singularité initiale, ce modèle permet à l'Univers de se "recourber" graduellement telles les lignes de longitudes près des pôles, le temps prenant graduellement la forme de l'espace. On évite ainsi de s'enfoncer dans le piège d'un cône de plus en plus étroit. L'histoire de l'Univers commencerait au "Pôle Sud" qui, comme nous le savons, est une région de l'espace tout à fait accessible à notre connaissance. En revanche, se poser la question de savoir ce qu'il y avait "avant" le commencement n'a aucun sens, comme de se demander ce qu'il y a "au-delà" du Pôle Sud. Noter le mélange indifférent des notions de temps et d'espace. "Avant" et "au-delà" sont synonymes et présentent un caractère symétrique.

En revanche, s'il s'avère que ces histoires contiennent des singularités, les lois de la physique ne permettraient pas de déterminer leur probabilité, et il s'agirait de conditions initiales instaurées par un facteur extérieur, tel que Dieu. Aussi, tant que ce facteur peut être écarté des solutions, les cosmologistes peuvent questionner l'Oracle de la nature et s'interroger sur le passé de l'Univers.

A voir : Before the Big Bang 5 : The No Boundary Proposal

Précisons bien que selon cette théorie, cela ne veut pas dire que l'Univers est issu d'une histoire unique. Au contraire, comme l'approche probabiliste le démontre, s'il existe une histoire de l'Univers plus probable que les autres, c'est bien que ces dernières ont existé et ont été prises en compte pour que notre univers émerge de cette mousse gravito-quantique... C'est en ce sens que l'Univers est constitué d'histoires ou de mondes parallèles chers aux scénaristes de science-fiction. Seule différence, en cosmologie quantique, ces univers parallèles ne sont pas de la science-fiction, ils existent car ils sont étayés par les lois on ne peut plus fiables des statistiques et selon Hawking on pourrait confirmer l'existence de ces multivers dans le rayonnement cosmologique gravitationnel à 1 K qui baignerait l'univers. Ceci dit, tous les physiciens théoriciens ne sont pas de cet avis. L'avenir sera juge.

Dans l'approche des classes d'équivalences d'histoires de Feynman, le vaste Univers que nous voyons devient le résultat de l'ensemble des lancers au hasard de dame Nature dont les résultats moyennés peuvent faire l'objet de prédictions : c'est pourquoi les systèmes macroscopiques obéissent aux lois classiques. En revanche, à l'échelle subatomique comme un instant après le Big Bang, où l'Univers était au moins 20 ordres de grandeur plus petit que la taille d'un proton, tout était encore plongé dans l'indétermination quantique où les fluctuations du vide et la supersymétrie régnaient en maîtres.

C'est ainsi que la solution de l'équation de Wheeler-DeWitt permet à l'Univers sans limite et sans bord de devenir ce qu'il est à partir de rien. En fait il obéit à son tour à l'effet tunnel mais dont le développement est en quelque sorte inversé. Du fait qu'il s'agit d'une fonction d'onde sans limite, l'Univers a une forte probabilité d'obéir aux lois classiques - grande taille et faible densité - plutôt que d'obéir à l'effet tunnel ordinaire dans lequel il n'existe pas de transition de la dimension zéro à la grande taille, où l'Univers a toute les chances de rester confiner et de contenir une densité d'énergie très élevée.

Autrement dit, à la condition que l'Univers n'ait pas de limite et en tenant compte de l'effet tunnel, la fonction d'onde unique de l'Univers a pu apparaître spontanément dans le vide quantique parmi une infini d'autres solutions moins probables. Ce modèle obéit à la cosmologie classique dès qu'il a franchit le seuil des 10^-43 s et 10^-33 cm environ, ce qui est en parfait accord avec les observations. En- deçà de ces dimensions, nous sommes à l'échelle de Planck, la fonction d'onde indique que l'espace-temps classique n'existe pas. D'autres théories cependant (comme les supercordes) permettraient d'explorer ces dimensions.

Dernier chapitre

De l'utilité du temps imaginaire