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La diversité des étoiles

Document T.Lombry.

L'évolution stellaire en quelques formules

Nous avons décrit l'évolution stellaire dans les articles consacrés à la vie des étoiles et à leur diversité mais de manière littéraire et sans faire beaucoup faire référence aux lois qui régissent leur évolution si ce n'est en rappelant quelques formules comme la relation masse-luminosité par exemple dans l'article consacré au corps noir.

Pour le lecteur qui souhaite en savoir un peu plus, nous allons à présent détailler quelques grandes lois qui nous permettent d'affirmer que les étoiles évoluent bien comme nous les avons décrites.

Le drame central de la vie d’une étoile est une bataille constante entre la pression et la gravité. Nous pouvons exprimer ce phénomène en définissant l’équation d’équilibre hydrostatique d’une masse distribuée dans un volume sphérique :

P représente la pression de la matière à la distance radiale r, qui dépend de la densité r de masse et de la constante de la gravitation G. L’équation (2) définit la quantité de matière contenue dans ce rayon r.

Si on suppose que les étoiles, malgré leurs tailles et leurs masses différentes présentent le même profil radial, en utilisant l’équation d’état P = P(r, T) et la dérivée des équations (1) et (2), on obtient les expressions suivantes :

M ∝ rc R3   (3)                 Pc ∝ Gm2/R3   (4)                Pc ∝ GM2/3 rc4/3     (5)

 R et M représentent le rayon et la masse stellaire totale, l‘indice “c” indiquant qu’il s’agit de la valeur centrale.

Dans une jeune étoile l’équation d’état est approximativement celle d’un gaz idéal non dégénéré : P µ rT. L’expression équivalente du gaz dégénéré d’une étoile naine blanche devient :

P  =  1/5 (3π2)2/3 (h2/me)(NA Ye)5/3r5/3   =   k r5/3

Les symboles NA et Ye font respectivement référence au nombre d’Avogadro et au nombre d’électrons par baryon (protons et neutrons), les autres symboles ont leur signification habituelle.

Avec les équation (3) (4) et (5) et l’équation d’état non dégénérée nous trouvons que :

rc  ∝  Tc3/G3/M^2

Tc  ∝  GM/R

sc  ∝  K1 Ln(M2/Tc3/2) + K3

(6)

(7)

(8)

 sc est l’entropie par baryon, habituellement exprimée en unités de la constante de Boltzmann k, K1 et K3 sont des constantes. L’entropie d’un gaz non dégénéré est également une fonction de la quantité T/r3/2 mais, dépendant d’une fonction linéaire plutôt que logarithmique, l’entropie vaut évidemment zéro lorsque la température est nulle.

On peut par ailleurs utiliser le théorème du viriel bien connu lorsqu’il s’agit d’étudier l’effondrement des structures cosmiques :

3 (γ - 1)U + W = 0

Il relie l’énergie totale U d’une étoile à son énergie gravitationnelle totale W, donné par l’expression -K4GM2/R. On obtient ainsi une expression de l’énergie de liaison totale ET d’une étoile en termes de son rayon et de sa masse :

 

L’équation (9) nous permet de dire que la perte d’énergie d’une nouvelle étoile de masse M provoque une diminution de son rayon R, d’où résulte une augmentation de la densité centrale rc (équation 3) et une augmentation de la température qui règne dans le noyau (équation 6).

Un coup d’oeil à l’équation (8) et en substituant à la température centrale Tc, la température d’ignition des réactions thermonucléaires Ti, on découvre qu’il existe une masse stellaire critique au-delà de laquelle l’entropie centrale sc est suffisante pour que le noyau atteigne la température Ti avant qu’il soit dégénéré. Cette masse critique pour atteindre la Séquence principale est de 0.08 M ou 87 fois la masse de Jupiter.

L’équation (8) suggère que seules les étoiles les plus massives démarrent avec suffisamment d’entropie pour déclencher les étapes successives de leur évolution. Cela se produit lorsque le noyau est suffisamment éloigné de la dégénérescence pour que les équations (6) et (7) s’appliquent. La masse totale de l’étoile déterminera alors jusqu’à quel stade le noyau évoluera en direction du fer et à quel moment la combustion thermonucléaire du noyau s’arrêtera. L’enveloppe des étoiles prend ainsi une structure en “pelure d’oignon”, chaque enveloppe concentrique étant constituée par les éléments créés lors des différentes étapes de la combustion.

Voilà pour les généralités.

Pour plus d'informations

Lois de conservation et théorème du viriel

Cours d'astronomie (PDF, Cours C4), F.Combes, Obs.de Paris-Meudon

Astronomie, Astrophysique, A. Acker, Dunod, 2005/2013.

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