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Cet ouvrage est le fruit de longues recherches effectuées par Newton à propos d'une question qui l'avait longtemps tracassée et qui restait en suspens : comment l'attraction s'exerçait-elle entre la Terre et les objets ? Pour Newton, la question est de savoir pourquoi un mobile se maintient sur une trajectoire, comment "sait-il" à chaque instant où il doit aller ? Le calcul différentiel En 1663, vingt et un ans avant l'Allemand Gottfried Wilhelm, baron de Leibniz, à l'âge de 20 ans Newton invente pour les besoins de sa théorie la "méthode des fluxions" dont il parlera à son professeur de mathématiques Isaac Barrow au Trinity College. Plus tard Leibniz l'appellera le "calcul différentiel". Cette méthode permet à Newton de calculer à chaque instant les accroissements infiniment petits des variables et se rapproche du principe d'inertie. Voilà semble-t-il une idée géniale pour déterminer la trajectoire d'un astre ! Et de fait. Le calcul différentiel permet de considérer une trajectoire quelconque comme une succession infinie de segments de droites. Sur ces segments élémentaires, le mouvement est rectiligne et uniforme, que Galilée considérait comme "imprimé de façon indélébile" dans le mobile.
dans laquelle nous retrouvons la loi de l'inertie si l'accélération est nulle. Enfin il pose dans une troisième loi : "A toute action s'oppose une réaction de force égale, de même direction mais de sens contraire". Cela est tellement évident, que sans cette loi nous serions condamnés au repos. C'est ce principe qui propulse les avions à réaction. Newton appliquera cette dernière loi en imaginant une voiture propulsée par la vapeur. Les lois du mouvement de Newton expliquent le mouvement des corps à condition de connaître la force qui agit sur eux. Dans la formule différentielle présentée ci-dessus, lorsque l'intervalle de temps dt tend vers zéro, la force "motrice" résultante est toujours perpendiculaire à la corde qui sous-tend l'arc de la trajectoire. Dans le cas de la Lune, cette force est dirigée vers le centre de la Terre. A la limite, cette force se confond avec la force d'attraction. Newton finit par explorer le champ bien complexe de l'attraction qui s'exerçait entre la Terre et les objets. En 1543, Copernic avait déjà franchi un premier pas essentiel en stipulant que "le Soleil se situait au centre de l'orbe des astres." En 1609, Kepler avait démontré que les planètes se déplaçaient autour du Soleil sur des orbites elliptiques, mais il était incapable d'en apporter la preuve formelle. Vers 1685, le savant italien Bullialdus suggéra que l'attraction exercée par la Terre sur les objets variait en fonction du carré inverse de la distance qui les séparait de la Terre (en 1/r2). Mais lui non plus ne put le démontrer.
C'est parvenu à ce point de l'histoire qu'Edmund Halley reconnut que l'originalité et la richesse du savoir du simple et timide professeur ne devaient plus rester dans l'ombre. Devant ses insistances, Newton accepta d'approfondir le sujet. Il entama une correspondance avec l'Astronome Royal Flamsteed pour obtenir des données sur la grande comète de 1680, sur les satellites de Jupiter, sur les marées et les positions de la Lune. Il en déduisit que le mouvement circulaire était un mouvement continu et accéléré, l'accélération étant perpendiculaire à la vitesse, finalisant cinquante ans de tâtonnement par Galilée, Descartes, Huygens et Hooks en découvrant la Loi de l'inertie. Finalement il découvrit que toutes ces forces pouvaient s'expliquer en assumant que toutes les masses contenues dans l'univers (alors limité au système solaire jusque Saturne) s'attiraient mutuellement par l'effet de la gravitation.
Les Principia Au cours de la rédaction des "Principia", Newton voulut exposer sa "Loi Universelle" mais comme tout bon scientifique il se rendit compte qu'il devait d'abord exposer bien d'autres notions de mécanique avant de s'attaquer au vif du sujet. C'est ainsi que dans le Livre I des "Principia", Newton s'emploie à donner les définitions des termes qu'il sera amené à utiliser par la suite : la notion de force, d’espace, de temps, etc. Ceci terminé, il expose de manière très simple ses trois Lois du mouvement, posant les fondements de la dynamique : la loi d'inertie, le rapport de proportionnalité entre le changement de la quantité de mouvement et la force, et l’égalité entre l’action et la réaction.
Le Livre II traite du mouvement des corps solides et liquides dans les milieux résistants, posant les bases de l’hydrodynamique. Il expose également sa théorie de la propagation des ondes et propose une méthode pour déterminer la vitesse du son dans un milieu élastique en fonction de la densité et de la pression. Sa formule est exacte. Grâce à ses démonstrations il parvient à démontrer que la théorie des tourbillons de Descartes est fausse. Toutefois il maintient encore l'existence d'un fluide céleste (l'éther) dans lequel les planètes et les comètes évoluent et découvre que ces astres sont soumis à une force qui obéit à une loi en carré inverse. Enfin, dans le Livre III intitulé "Sur le système du monde", Newton applique tout ce qu'il a développé théoriquement dans le premier tome. A partir des Lois de Kepler, en faisant l'hypothèse (vous avez bien lu) qu'il existe une force d'attraction universelle, il s'en sert pour expliquer pratiquement n'importe quelle forme de mouvement : celui des marées, des mouvements planétaires, des satellites de Jupiter, des comètes ou celui de la Lune. Enfin il pose dans une troisième loi : "A toute action s'oppose une réaction de force égale, de même direction mais de sens contraire". Cela est tellement évident, que sans cette loi nous serions condamnés au repos. C'est ce principe qui propulse les avions à réaction. Newton appliquera cette dernière loi en imaginant une voiture propulsée par la vapeur. Afin de vérifier la portée générale de sa théorie, Newton finit par explorer le champ bien complexe de l'attraction qui s'exerçait entre la Terre et les objets, en particulier le cas du système Terre-Lune qui résista longtemps à son analyse.
Quels sont éléments de solution dont dispose Newton ? Il comprend à présent ce que représente l'inertie, il sait que la vitesse instantanée est synonyme d'accélération et que l'attraction suit une loi en carré inverse... L'attraction universelle Selon Maître John Conduitt[1], assistant de Newton lorsqu'il fut nommé directeur de la Monnaie Royale, Newton inventa la loi de la gravitation le jour où il vit une pomme tomber d’un arbre et qu'il se demanda si cette force ne pouvait pas s’étendre jusqu’à la Lune. Si l'expérience est sans doute apocryphe bien qu'il y ait eu et survivent toujours des pommiers dans le jardin de Woolsthorpe (voir plus bas), Newton réfléchit longtemps au sujet de la Lune et à la façon dont elle tournait autour de la Terre. Pourquoi grand dieu ne s'écrase-t-elle pas sur la terre ?... Etant enfant, Newton se rappelait qu'en jouant avec une balle fixée au bout d'une ficelle, en la faisant tourner en cercle autour de lui, il savait que s'il lâchait la ficelle, la balle s'envolait au fond du jardin. En regardant la Lune, il se demanda si elle aussi n'était pas rattachée par un fil invisible à la Terre, sans lequel elle s'envolerait dans l'espace ? Galilée avait écrit que tout corps continuait à se déplacer en ligne droite si aucune force extérieure n'était appliquée sur lui. Et si cela s'appliquait aussi à la Lune ? Avec cette fameuse anecdote de la pomme qu'il vit tomber, Newton conçoit que la cause du mouvement est de même nature que la pesanteur. La force résultante de cette attraction doit être déterminée par la position des autres masses qui se trouvent dans son voisinage. En effet, la force d'attraction qui unit la pomme ou la Lune à la Terre dépend non seulement de leur masse mais aussi de leur distance au centre de la Terre. Jouant avec des trajectoires orbitales et des segments de droite, Newton sait d'expérience qu'il peut trouver la solution grâce au formalisme des mathématiques. C'est ainsi qu'à partir des lois du mouvement et de la loi en carré inverse, Newton pense qu'il peut décrire la force d'attraction. Pour
vérifier son intuition, Newton effectua des calculs complexes basés sur les estimations des géographes,
mais il dut reconnaître que ses valeurs ne s’accordaient pas avec sa théorie,
“et il fut forcé
d’admettre qu’à la force de pesanteur devait se mêler cette
force que la Lune aurait si elle était emportée dans un
tourbillon...”. Son intuition était exacte.
Il avait trouvé par lui-même qu'il y avait une égalité numérique entre la
masse et l'inertie d'un corps, mais ne pouvant expliquer le pourquoi de cette
égalité ni la cause de cette attraction, il est contraint de reprendre l’idée des
tourbillons de Descartes et introduisit une
erreur qui alla gâcher toute l’élégance et la simplicité de sa
théorie originale. Mais il ne s'avoua pas vaincu pour autant.
A gauche, la version manuscrite
et la première copie latine des "Principia"
écrite en 1686. Document Slate. A droite l'explication
de la mise en orbite extrait du "Treatise of the System of the World" de Newton écrit vers 1680. En
prenant une comparaison avec le lancement des boulets de canon,
Newton parvient à expliquer la mise en orbite de la Lune. Le
boulet de canon retombe sur Terre dit-il, parce que la force
d'inertie qui le propulse est contrecarrée par la gravitation. Si
la Lune ne tombe pas sur la Terre, c'est parce que d'un côté
chaque seconde la Lune est attirée vers la Terre sous son propre poids,
mais d'un autre côté son inertie lui impose de suivre une
trajectoire rectiligne. Il en résulte une trajectoire autour de
la Terre dans laquelle la force d'inertie compense la force de pesanteur
: "Avec assez de vitesse explique-t-il,
le projectile ne frappera plus la terre du tout, mais tombera vers
la terre aussi rapidement que la courbure terrestre s'éloignera
de lui. Sans aucune résistance de l'air au-dessus de l'atmosphère
pour le ralentir, le projectile voyagera pour toujours sur une
orbite circulaire (ou elliptique) autour de la terre". En
lançant leurs fusées et leurs navettes, les agences spatiales
n'ont fait qu'appliquer ses concepts : aller toujours plus vite
pour tomber plus loin que la pomme.... Si
vous me demandez pourquoi ce pommier n'attire pas le pommier d'à côté,
je vous répondrai qu'il l'attire de la même façon, mais leur masse
respective est tellement insignifiante que leur force d'attraction est
quasi nulle. C'est pour cela aussi qu'un insecte peut tomber de très haut
sans se casser une patte ou se briser l'abdomen. Tout ce qu'il me faut
poursuit Newton, pour calculer cette force est la distance qui sépare le couple en interaction.
Cette force doit décroître en fonction inverse du carré de la
distance. Si "r" est le rayon de la Terre et "d" l'altitude d'un projectile en
orbite, la force de gravité "g" qu'il subit comparée à celle
régnant à la surface de la Terre vaut : g
= r2/(r
+ d)2 Newton
pensait que la force de gravité serait rapidement insignifiante dans
l'espace. Mais sur l'orbite d'un satellite situé vers 600 km d'altitude, sa force vaut
encore 83% de celle régnant à la surface de la Terre : (6400)2/
(6400+600)2
= 0.83 g. A cette force s'ajoute l'effet de la force
centripète. Le
pommier de Woolsthorpe duquel, selon la légende, tomba une pomme qui permit à Newton de faire la relation avec le mouvement
de la Lune. Nous
pouvons vérifier l'hypothèse de Newton d'une autre manière. Sachant que
la Lune est 60 fois plus éloignée du centre de la Terre que la pomme (le
rapport de la distance Terre-Lune sur le rayon de la Terre vaut ~60), son attraction doit être 3600 fois plus
faible. Si un objet tombe en chute libre sur Terre et parcourt 9.81 mètres en une
seconde, la Lune tombe également vers la Terre dans le même rapport,
précisément en suivant la loi 1/r2,
soit 9.81/602
= 2.7 mm/s2. La loi en carré inverse sera vérifiée en 1671 lorsque Picard
mesurera avec précision le rayon de la Terre. Ainsi,
Newton avait la confirmation de la réalité de sa théorie. Exprimée de manière concise, sa loi de la gravitation stipule : "Tout
corps matériel dans l'univers attire tout autre corps avec une force
directement proportionnelle au produit de leurs masses et inversement
proportionnelle au carré de leur distance" :
G
est un facteur de proportionnalité, c’est la constante de la gravitation
qui vaut 6,672x10-8
cm3/g
sec2.
Le signe négatif est facultatif mais signifie que cette force est
attractive. Avec
un constante de la gravitation si petite, on ne peut pratiquement pas
mesurer cette force entre deux pommiers, mais Newton est persuadé qu'à
grande échelle, entre deux corps très massifs comme le couple Terre-Lune
ou mieux encore entre la Terre et le Soleil, 340000 fois plus massif que
la Terre, l'attraction est suffisamment forte pour qu'il soit possible de
la mesurer. Avec
le recul, on constate une fois de plus qu'une formule permettait à
l'homme de découvrir quelque chose qu'il ignorait sur l'univers. Décidément
les mathématiques recèlent un pouvoir "magique" pour peu qu'on
puisse les comprendre et interpréter ses résultats. On reviendra sur ce
pouvoir inattendu avec les travaux d'Einstein. Mis
à part quelques astronomes érudits, ses auditeurs ne réalisèrent jamais
combien ce qu'il venait d'énoncer était important. La loi de l'inertie
découverte par Galilée prenait un nouveau sens et sera énoncée par
Newton comme la "Première loi du mouvement". Elle nous dit que
l'accélération des objets n'est provoquée que par la masse qu'ils
contiennent, au facteur de distance près. Aussi,
elle ne se limite plus à la chute de la pomme ni même à la Terre mais englobe tous les objets du ciel, donnant une
portée universelle et cosmique à sa loi de l'inertie. Elle s'énonce en
ces termes : "Les mouvements relatifs des corps se trouvant dans un référentiel donné
sont les mêmes, que ce référentiel soit immobile ou animé d'un
mouvement uniforme". Sa
loi explique les mouvements orbitaux indépendamment
du mouvement de la Terre et des autres corps, comme une simple force entre
deux corps, une interaction à laquelle s'ajoute la notion d'inertie. Reconnaissons
que cette idée est géniale ! Nous sommes en 1687, Newton vient d'inventer la Loi de l'attraction
universelle ! Newton.
Document U.Kyoto. Prochain
chapitre Simultanéité
et principe de causalité [1]
Keynes MS, Manuscrits de Newton, Bibliothèque du King’s College,
Cambridge, 130.4, pp10-12. R.Westfall,
“Newton”, Flammarion, 1994. |
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