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En hommage à Newton

La loi de l'attraction universelle (III)

Aux yeux de Newton, la physique de Galilée n'expliquait pas la chute des boulets de canon et plus généralement la chute des corps, dont l'effet avait permis à Galilée de poser sa loi. Aussi massifs soient-ils, tous les objets accélèrent avec la même constante : sur Terre, une plume et morceau de plomb tombent avec la même accélération de 9,81 m/s à chaque seconde. Newton est convaincu de pouvoir expliquer le phénomène d'accélération par rapport à un mouvement relatif, un espace physique de référence qui conserve les propriétés du système d'inertie. Comment va-t-il s'y prendre ?

Nous devons pour cela ouvrir son principal ouvrage, les Principia pour comprendre sa méthode de travail.

Cet ouvrage est le fruit de longues recherches effectuées par Newton à propos d'une question qui l'avait longtemps tracassée et qui restait en suspens : comment l'attraction s'exerçait-elle entre la Terre et les objets ?

Pour Newton, la question est de savoir pourquoi un mobile se maintient sur une trajectoire, comment "sait-il" à chaque instant où il doit aller ?

Le calcul infinitésimal

En 1663, vingt et un ans avant l'Allemand Gottfried Wilhelm, baron de Leibniz, à l'âge de 20 ans Newton invente pour les besoins de sa théorie la "méthode des fluxions" également appelée le calcul infinitésimal dont il parlera à son professeur de mathématiques Isaac Barrow au Trinity College. Plus tard Leibniz l'appellera le "calcul différentiel".

Cette méthode permet à Newton de calculer à chaque instant les accroissements infiniment petits des variables et se rapproche du principe d'inertie. Le calcul infinitésimal ou différentiel permet de considérer une trajectoire quelconque comme une succession infinie de segments de droites. Sur ces segments élémentaires, le mouvement est rectiligne et uniforme, que Galilée considérait comme "imprimé de façon indélébile" dans le mobile.

Portrait de Newton réalisé entre 1715-1720. Extrait de M.Keynes, "Iconography of Sir Isaac Newton", X (huile sur toile de 1250x990 mm).

Newton chercha une relation pour définir le mouvement des corps sur ces petits intervalles de temps. Il dénommera cette cause extérieure, la "force motrice", définie comme le produit de la force (F) exercée sur le mobile pendant l'intervalle de temps (dt). Sa variation provoque le changement de mouvement (m dV) :

F dt = m dV

A la limite, dans son acceptation mathématique, dV/dt représente l'accélération instantanée du mobile, a. Ceci conduit Newton à formuler une seconde loi de la dynamique : "Si un corps est mis en mouvement par une force extérieure, il se déplace dans la direction de cette force avec une accélération directement proportionnelle à la force et inversement proportionnelle à la masse du corps." Cette loi se traduit par la formule bien connue :

F = m a

dans laquelle nous retrouvons la loi de l'inertie si l'accélération est nulle.

Enfin il pose dans une troisième loi : "A toute action s'oppose une réaction de force égale, de même direction mais de sens contraire". Cela est tellement évident, que sans cette loi nous serions condamnés au repos. C'est ce principe qui propulse les avions à réaction. Newton appliquera cette dernière loi en imaginant une voiture propulsée par la vapeur.

Les lois du mouvement de Newton expliquent le mouvement des corps à condition de connaître la force qui agit sur eux. Dans la formule différentielle présentée ci-dessus, lorsque l'intervalle de temps dt tend vers zéro, la force "motrice" résultante est toujours perpendiculaire à la corde qui sous-tend l'arc de la trajectoire. Dans le cas de la Lune, cette force est dirigée vers le centre de la Terre. A la limite, cette force se confond avec la force d'attraction.

Newton finit par explorer le champ bien complexe de l'attraction qui s'exerçait entre la Terre et les objets.

Portrait de Edmund Halley alors qu'il était Astronome Royal à l'Observatoire de Greenwich réalisé en 1721 ou peu avant par Richard Phillips. Document NPG.

En 1543, Copernic avait déjà franchi un premier pas essentiel en stipulant que "le Soleil se situait au centre de l'orbe des astres."

En 1609, Kepler avait démontré que les planètes se déplaçaient autour du Soleil sur des orbites elliptiques, mais il était incapable d'en apporter la preuve formelle.

Vers 1685, le savant français Ismail Bouillaud (appelé Bullialdus) suggéra que l'attraction exercée par la Terre sur les objets variait en fonction du carré inverse de la distance qui les séparait de la Terre (en 1/r2). Mais lui non plus ne put le démontrer. 

Sir Christopher Wren, Robert Hooke et Edmund Halley, tous trois membres de la Royal Society, considéraient que cette idée pouvait être exacte.

Mais loin de maîtriser aussi bien les mathématiques que Newton, Halley suggéra à ses amis de demander à leur collègue ce qu'il en pensait. Un jour de 1684 donc, à la question de Halley "Quelle serait l'orbite d'une planète qui serait attirée par le Soleil avec une force en proportion inverse du carré de son éloignement par rapport au Soleil ?" Newton lui répondit sans même hésiter: "Une ellipse". Halley lui demanda comment il le savait. "Je l'ai calculé" lui répondit-il, prêt à recommencer sa démonstration !

En fait à l'époque, âgé de 40 ans, Newton touchait à toutes les sciences mais ses manuscrits étaient incomplets, dispersés entre les mathématiques, l'optique et la mécanique. Il n'avait communiqué ses dernières découvertes à personne, les jugeant incomplètes, ce qu'elles étaient effectivement. Il sortait également d'une longue période de recherches en alchimie et sur la religion qui avait débutée vers 1670. On en reparlera.

De Motu aux Principia

Son intérêt pour l'alchimie étant un peu passé de mode, Newton reprit ses recherches en mécanique céleste et publia en 1684 un petit manuscrit intitulé "De motu corporum in gyrum", "Du mouvement des corps en orbite" qu'il transmit à la Royal Society. Le texte étant révolutionnaire, on appela d'urgence Newton à Cambridge.

Portrait de Newton réalisé en 1706 par William Gandy. L'original semble perdu. Il n'en reste qu'une lithographie du XIXe siècle. Collection David Eugène Smith/U.Columbia 

C'est parvenu à ce point de l'histoire qu'Edmund Halley reconnut que l'originalité et la richesse du savoir du simple et timide professeur ne devaient plus rester dans l'ombre.

Devant ses insistances, Newton accepta d'approfondir le sujet. Il entama une correspondance avec l'Astronome Royal Flamsteed pour obtenir des données sur la grande comète de 1680, sur les satellites de Jupiter, sur les marées et les positions de la Lune. Il en déduisit que le mouvement circulaire était un mouvement continu et accéléré, l'accélération étant perpendiculaire à la vitesse, finalisant cinquante ans de tâtonnement par Galilée, Descartes, Huygens et Hooks en découvrant la Loi de l'inertie. Finalement Newton découvrit que toutes ces forces pouvaient s'expliquer en assumant que toutes les masses contenues dans l'univers (alors limité au système solaire jusque Saturne) s'attiraient mutuellement par l'effet de la gravitation.

Newton consacra un an et demi à coucher ses découvertes sur le papier puis envoya une version latine de son manuscrit à la Royal Society en 1686, dont voici le sommaire. Mais elle refusa de le publier sous prétexte qu'elle n'avait pas assez d'argent.

Halley fut mis au courant. Il avait été impressionné par "De Motu", mais il fut écrasé par le savoir de Newton quand il lut cet avant-projet des "Principia".

Convaincu de l'importance capitale de ces travaux, Halley corrigea ses épreuves puis enverra ses derniers errata à Newton. Bon à publier, il lui avancera l'argent et la fit paraître à ses frais. L'histoire nous dit qu'il ne reçut aucun remerciement de la part de Newton, bien que des années plus tard, en 1704, il le recommandera avec succès comme Professeur Savilien de Géométrie à l'Université d'Oxford. Halley succèdera à Flamsteed en 1720 en tant qu'Astronome Royal à l'Observatoire de Greenwich. Nous lui devons des travaux statistiques et le calcul de la période de la célèbre comète de Halley.

En quoi les "Principia" étaient-ils si différents des autres ouvrages de l'époque ? Ouvrons précautionneusement cet ouvrage historique divisé en trois livres et lisons-le afin de comprendre sa méthode de travail.

Les Principia

Au cours de la rédaction des "Principia", Newton voulut exposer sa "Loi Universelle" mais comme tout bon scientifique s'adressant au public il se rendit compte qu'il devait d'abord exposer les notions de base de mécanique avant de s'attaquer au vif du sujet.

C'est ainsi que dans le Livre I des "Principia", Newton s'emploie à donner les définitions des termes qu'il sera amené à utiliser par la suite : la notion de force, d’espace, de temps, etc. Ceci terminé, il expose de manière très simple ses trois lois du mouvement, posant les fondements de la dynamique : la loi d'inertie, le rapport de proportionnalité entre le changement de la quantité de mouvement et la force, et l’égalité entre l’action et la réaction.

Les trois lois du mouvement

1. La loi de l'inertie

Tout corps persévère dans l'état de repos ou de mouvement uniforme en ligne droite dans lequel il se trouve, à moins que quelque force n'agisse sur lui, et ne le contraigne à changer d'état.

2. L'action est associée à la variation de la quantité de mouvement

Les changements qui arrivent dans le mouvement sont proportionnels à la force motrice et se font dans la ligne droite dans laquelle cette force est appliquée.

3. La loi de la conservation de la quantité de mouvement

Les actions réciproques de deux corps l'un sur l'autre sont toujours égales et dirigées en sens opposés.

Ensuite, pour décrire les conséquences des lois du mouvement il devait utiliser des mathématiques de base plutôt que le calcul infinitésimal qu'il avait inventé bien plus tôt afin que les lecteurs le comprennent à partir des seules mathématiques qu'ils connaissaient. Malgré cette prudence de bon aloi, les "Principia" restent difficiles à comprendre pour un non spécialiste.

Le Livre II traite du mouvement des corps solides et liquides dans les milieux résistants, posant les bases de l’hydrodynamique. Newton expose également sa théorie de la propagation des ondes et propose une méthode pour déterminer la vitesse du son dans un milieu élastique en fonction de la densité et de la pression. Sa formule est exacte. Grâce à ses démonstrations il parvient à démontrer que la théorie des tourbillons de Descartes est fausse. Toutefois il maintient encore l'existence d'un fluide céleste (l'éther) dans lequel les planètes et les comètes évoluent et découvre que ces astres sont soumis à une force qui obéit à une loi en carré inverse.

Dans le Livre III intitulé "Sur le système du monde", Newton décrit les "Phénomènes", c'est-à-dire les observations astronomiques en appliquant tout ce qu'il a développé théoriquement dans le premier tome. Il commence par rappeler les lois de Kepler puis fait l'hypothèse (vous avez bien lu) qu'il existe une force d'attraction universelle qu'il utilise pour expliquer pratiquement n'importe quelle forme de mouvement : l'aplatissement du globe terrestre, les marées, les mouvements planétaires, ceux des satellites de Jupiter, des comètes ou de la Lune. Enfin, Newton pose dans une troisième loi : "A toute action s'oppose une réaction de force égale, de même direction mais de sens contraire". Ce genre de loi qu'on apprend au cours de science ou de physique vers 10-12 ans nous paraît tellement évidente que sans cette loi nous serions condamnés au repos. C'est ce principe qui propulse les avions à réaction. Newton appliquera cette dernière loi en imaginant une voiture propulsée par la vapeur.

Newton termine son livre par un Scholium général dans lequel on trouve la fameuse affirmation : "hypotheses non fingo" (je n'imagine point d'hypothèses). On y reviendra.

L'attraction universelle

La page intérieure de titre de la 80e copie de la première édition des "Principia". Celle-ci reçut l'imprimatur et fut imprimée par la société de presse Pepys le 17 juillet 1686. Documents Cambridge University Library.

Afin de vérifier la portée générale de sa théorie sur le mouvement, Newton finit par explorer le champ bien complexe de l'attraction qui s'exerçait entre la Terre et les objets, en particulier le cas du système Terre-Lune qui résista longtemps à son analyse.

Quels sont éléments de solution dont dispose Newton ? Il comprend à présent ce que représente l'inertie, il sait que la vitesse instantanée est synonyme d'accélération et que l'attraction suit une loi en carré inverse...

Selon Maître John Conduitt[1], assistant de Newton lorsqu'il fut nommé directeur de la Monnaie Royale, Newton inventa la loi de la gravitation le jour où il vit une pomme tomber d’un arbre et qu'il se demanda si cette force ne pouvait pas s’étendre jusqu’à la Lune. Si l'expérience est sans doute apocryphe bien qu'il y ait eu et survivent toujours des pommiers dans le jardin de Woolsthorpe (voir plus bas), Newton réfléchit longtemps au sujet de la Lune et à la façon dont elle tournait autour de la Terre. Pourquoi grand dieu ne s'écrase-t-elle pas sur la Terre ?

Etant enfant, Newton se rappelait qu'en jouant avec une balle fixée au bout d'une ficelle, en la faisant tourner en cercle autour de lui, il savait que s'il lâchait la ficelle, la balle s'envolait au fond du jardin. En regardant la Lune, il se demanda si elle aussi n'était pas rattachée par un fil invisible à la Terre, sans lequel elle s'envolerait dans l'espace ?

Galilée avait écrit que tout corps continuait à se déplacer en ligne droite si aucune force extérieure n'était appliquée sur lui. Et si cela s'appliquait aussi à la Lune ?

Avec cette fameuse anecdote de la pomme qu'il vit tomber, Newton conçoit que la cause du mouvement est de même nature que la pesanteur. La force résultante de cette attraction doit être déterminée par la position des autres masses qui se trouvent dans son voisinage. En effet, la force d'attraction qui unit la pomme ou la Lune à la Terre dépend non seulement de leur masse mais aussi de leur distance au centre de la Terre.

Jouant avec des trajectoires orbitales et des segments de droite, Newton sait d'expérience qu'il peut trouver la solution grâce au formalisme des mathématiques. C'est ainsi qu'à partir des lois du mouvement et de la loi en carré inverse, Newton pense qu'il peut décrire la force d'attraction.

Pour vérifier son intuition, Newton effectua des calculs complexes basés sur les estimations des géographes, mais il dut reconnaître que ses valeurs ne s’accordaient pas avec sa théorie, “et il fut forcé d’admettre qu’à la force de pesanteur devait se mêler cette force que la Lune aurait si elle était emportée dans un tourbillon...”. Son intuition était exacte. Il avait trouvé par lui-même qu'il y avait une égalité numérique entre la masse et l'inertie d'un corps, mais ne pouvant expliquer le pourquoi de cette égalité ni la cause de cette attraction, il est contraint de reprendre l’idée des tourbillons de Descartes et introduisit une erreur qui alla gâcher toute l’élégance et la simplicité de sa théorie originale. Mais il ne s'avoua pas vaincu pour autant.

Télécharger les Principa (Tome I, Livres I et II), UQAC

A gauche, la version manuscrite et la première copie latine des "Principia" écrite en 1686. Document Slate. A droite, l'explication de la mise en orbite extrait du "Treatise of the System of the World" de Newton écrit vers 1680.

Comme on le voit ci-dessus, en prenant pour comparaison le lancement des boulets de canon, Newton parvient à expliquer la mise en orbite de la Lune. Le boulet de canon retombe sur Terre dit-il, parce que la force d'inertie qui le propulse est contrecarrée par la gravitation. Si la Lune ne tombe pas sur la Terre, c'est parce que d'un côté chaque seconde la Lune est attirée vers la Terre sous son propre poids, mais d'un autre côté son inertie lui impose de suivre une trajectoire rectiligne. Il en résulte une trajectoire courbe autour de la Terre dans laquelle la force d'inertie compense la force de pesanteur : "Avec assez de vitesse explique-t-il, le projectile ne frappera plus la terre du tout, mais tombera vers la terre aussi rapidement que la courbure terrestre s'éloignera de lui. Sans aucune résistance de l'air au-dessus de l'atmosphère pour le ralentir, le projectile voyagera pour toujours sur une orbite circulaire (ou elliptique) autour de la terre".

En lançant leurs fusées et leurs navettes, les ingénieurs en astronautique n'ont fait qu'appliquer ses concepts : aller toujours plus vite pour tomber plus loin que la pomme....

Le descendant du pommier de Woolsthorpe duquel, selon la légende, tomba une pomme qui permit à Newton de faire la relation avec le mouvement de la Lune.

Si vous vous demandez pourquoi ce pommier n'attire pas le pommier d'à côté, Newton vous répondrait qu'il l'attire de la même façon, mais leur masse respective est tellement insignifiante que leur force d'attraction est quasi nulle. C'est pour cela aussi qu'un insecte peut tomber de très haut sans se casser une patte ou se briser l'abdomen.

Tout ce qu'il me faut poursuit Newton, pour calculer cette force est la distance qui sépare le couple en interaction. Cette force doit décroître en fonction inverse du carré de la distance. Si "r" est le rayon de la Terre et "d" l'altitude d'un projectile en orbite, la force de gravité "g" qu'il subit comparée à celle régnant à la surface de la Terre vaut :

g = r2 / (r + d)2

Newton pensait que la force de gravité serait rapidement insignifiante dans l'espace. Mais sur l'orbite d'un satellite situé à 600 km d'altitude, sa force vaut encore 83 % de celle régnant à la surface de la Terre : (6400)2/ (6400+600)2 =  0.83 g. A cette force s'ajoute l'effet de la force centripète.

Nous pouvons vérifier l'hypothèse de Newton d'une autre manière. Sachant que la Lune est 60 fois plus éloignée du centre de la Terre que la pomme (le rapport de la distance Terre-Lune sur le rayon de la Terre vaut ~60), son attraction doit être 3600 fois plus faible. Si un objet tombe en chute libre sur Terre et parcourt 9.81 mètres en une seconde, la Lune tombe également vers la Terre dans le même rapport, précisément en suivant la loi 1/r2, soit 9.81/602 = 2.7 mm/s2. La loi en carré inverse fut vérifiée en 1671 lorsque Picard mesura avec précision le rayon de la Terre.

Ainsi, Newton avait la confirmation de la réalité de sa théorie. Exprimée de manière concise, sa loi de la gravitation stipule : "Tout corps matériel dans l'univers attire tout autre corps avec une force directement proportionnelle au produit de leurs masses et inversement proportionnelle au carré de leur distance" :

Portrait de Newton réalisé entre 1726 par John Vanderbanck (huile sur toile de 1270x1016 mm). coill. The Royal Society.

G est un facteur de proportionnalité, c’est la constante de la gravitation qui vaut 6.67408 x 10-11 m3/kg.s2 selon le CODATA (2014). Le signe négatif est facultatif mais signifie que cette force est attractive.

Avec un constante de la gravitation si petite, on ne peut pratiquement pas mesurer cette force entre deux pommiers, mais Newton est persuadé qu'à grande échelle, entre deux corps très massifs comme le couple Terre-Lune ou mieux encore entre la Terre et le Soleil, 340000 fois plus massif que la Terre, l'attraction est suffisamment forte pour qu'il soit possible de la mesurer.

Avec le recul, on constate une fois de plus qu'une formule permettait à l'homme de découvrir quelque chose qu'il ignorait sur l'univers. Décidément les mathématiques recèlent un pouvoir "magique" pour peu qu'on puisse les comprendre et interpréter ses résultats. On reviendra sur ce pouvoir inattendu avec les travaux d'Einstein.

Mis à part quelques astronomes érudits, les lecteurs des "Principia" ne réalisèrent jamais combien ce que Newton venait d'énoncer était important. La loi de l'inertie découverte par Galilée prenait un nouveau sens et fut énnoncée par Newton comme la "Première loi du mouvement". Elle nous dit que l'accélération des objets n'est provoquée que par la masse qu'ils contiennent, au facteur de distance près. Aussi, elle ne se limite plus à la chute de la pomme ni même à la Terre mais englobe tous les objets du ciel, donnant une portée universelle et cosmique à sa loi de l'inertie. Elle s'énonce en ces termes : "Les mouvements relatifs des corps se trouvant dans un référentiel donné sont les mêmes, que ce référentiel soit immobile ou animé d'un mouvement uniforme".

Sa loi explique les mouvements orbitaux indépendamment du mouvement de la Terre et des autres corps, comme une simple force entre deux corps, une interaction à laquelle s'ajoute la notion d'inertie.

Reconnaissons que cette idée est géniale ! Nous sommes en 1687, Newton vient d'inventer la Loi de l'attraction universelle !

Prochain chapitre

Simultanéité et principe de causalité

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[1] Keynes MS, Manuscrits de Newton, Bibliothèque du King’s College, Cambridge, 130.4, pp10-12. R.Westfall, “Newton”, Flammarion, 1994.


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