En 1861, après avoir analysé les travaux de Oersted et de Faraday, Maxwell créa le concept fondamental du "champ", abandonnant celui des fluides électriques dans l'éther. Par champ, il désignait une perturbation de l'espace qui, en chaque point, est un potentiel de force indépendant des corps qui pouvaient s'y trouver. "Le champ disait-il crée une toile à travers tout le ciel".  Son effet peut être gravitationnel lorsque cette force est liée à la Terre, électrique autour d'une charge ou magnétique autour d'un courant électrique. Ces champs sont fonction du temps et sont à l’origine de l’existence des ondes. En dehors des champs, il n’y a pas de force. C'est la raison pour laquelle en dehors du champ électromagnétique d'une station de radiodiffusion, on ne capte plus du tout ses émissions.

Cette fois, Maxwell oublie définitivement les corps matériels, les particules. Le champ permet de décrire l'espace et de comprendre l'interaction entre les corps. Les "tentacules" localisées de Faraday se transforment dans l'esprit de Maxwell en un champ infini et omniprésent.

Maxwell donne une fonction à l'espace. Comme le disait Einstein, "cette théorie était fascinante. Désormais, à l'idée classique de force qui fait jouer un rôle muet à l'espace, le concept de champ consiste en un processus dans lequel les corps en interaction baignent dans l'espace. Cet espace a la propriété d'interagir avec les corps". Mais les scientifiques refusaient cette idée, l'éther ayant déjà un effet en mécanique.

Le concept de champ n’était pourtant pas une idée révolutionnaire car il existait déjà à l’époque de Newton mais il était alors considéré comme une commodité mathématique. Le champ servait à retrouver les forces qui agissaient sur une particule mais in fine tout devait s’expliquer en terme d’action à distance entre particules. Maxwell y vit une réalité, les vecteurs orientés dans l’espace représentant des choses réelles, des champs électriques et magnétiques oscillant à diverses fréquences et parfois polarisés. De nos jours on explique l'existence des particules chargées comme étant une région du champ électromagnétique à l'intérieur duquel la force est tellement élevée que l'énergie est concentrée dans un tout petit espace dont les limites s'estompent. Cette énergie se propage dans l'espace sans support.  

En 1887, le physicien allemand Heinrich Hertz améliora la définition du champ. Les termes "magnétiques" et "électriques" pouvant être échangés - ils produisaient les mêmes effets - il le nomma "champ électromagnétique". Il démontra son indépendance des lois de la mécanique, privant virtuellement l'éther de son principal effet. C'est à ce point de l'histoire que le champ devint synonyme d'énergie. Nous savons qu'en interrompant brusquement un champ électrique (mais aussi magnétique), il se produit une étincelle. Cela signifie que le champ contenait de l'énergie. Cette découverte a des implications fondamentales dans la loi de conservation de l'énergie. 

La théorie des groupes

Au XIX^eme siècle, les mathématiciens Cartan et Lie recensèrent tous les objets capables de changement (par translation, par rotation, par torsion, etc.) et d'en extraire des structures que certains essayèrent d’appliquer au monde réel. La théorie des groupes de Lie aboutit à une classification systématique des symétries, unissant de nombreux domaines des mathématiques comme nous allons le découvrir. C'est la raison pour laquelle ce concept est si souvent utilisé. 

En quelques mots et en simplifiant beaucoup la théorie, un groupe possède les propriétés d’un groupe algébrique ordinaire (il comprend une loi de composition interne telle que la commutativité, des axiomes, etc), ainsi que des propriétés géométriques différentielles (qui concernent des courbes et des surfaces de Riemann faisant intervenir le calcul différentiel).