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La physique quantique

Lignes de forces (champ magnétique) matérialisées par de la limaille de fer saupoudrée au-dessus d'un aimant

Le concept de champ

Dans le cadre de la physique moderne, le concept de champ occupe une place majeure, toute aussi importante par ses conséquences que le quantum d’action. Il intervient dans toutes les théories de la physique quantique aussi bien que dans les théories avantgardistes comme la théorie des supercordes que nous décrirons un peu plus loin, sans oublier la physique classique.

La révolution qu’entraîna l’introduction du concept de champ fut telle qu’il est nécessaire de s’y arrêter quelques instants pour en discuter afin d’avoir une idée bien claire de sa nature et de ses propriétés.

En quête d'harmonie et de symétrie

En 1861, après avoir analysé les travaux de Oersted et de Faraday, Maxwell créa le concept fondamental du "champ", abandonnant celui des fluides électriques dans l'éther. Par champ, il désignait une perturbation de l'espace qui, en chaque point, est un potentiel de force indépendant des corps qui pouvaient s'y trouver. "Le champ disait-il crée une toile à travers tout le ciel". Son effet peut être gravitationnel lorsque cette force est liée à la Terre, électrique autour d'une charge ou magnétique autour d'un courant électrique. Ces champs évoluent dans le temps et sont à l’origine de l’existence des ondes. En dehors des champs, il n’y a pas de force. C'est la raison pour laquelle en dehors du champ électromagnétique d'une station de radiodiffusion, on ne capte plus du tout ses émissions.

Le concept de champ

"Une ligne de force peut-être définie comme la ligne qui est constamment tangente à une toute petite aiguille que l'on déplace dans la direction de sa longueur". Faraday.

Champ magnétique autour d'un aimant. L'aiguille de la boussole suit les lignes de forces du champ magnétique.

Le champ magnétique (B) s'oriente toujours perpendiculairement aux lignes de forces (L).

"C'est la description des champs entre les deux charges, et non les charges elles-mêmes qui est essentielle pour comprendre leur action". Einstein.

Champ électrique entre deux particules chargées de signe opposé.

Les surfaces équipotentielles (E) sont toujours égales et toujours perpendiculaires aux lignes de forces (L) du champ électrique.

Cette fois, Maxwell oublie définitivement les corps matériels, les particules. Le champ permet de décrire l'espace et de comprendre l'interaction entre les corps. Les "tentacules" localisées de Faraday se transforment dans l'esprit de Maxwell en un champ infini et omniprésent.

Maxwell donne une fonction à l'espace. Comme le disait Einstein, "cette théorie était fascinante. Désormais, à l'idée classique de force qui fait jouer un rôle muet à l'espace, le concept de champ consiste en un processus dans lequel les corps en interaction baignent dans l'espace. Cet espace a la propriété d'interagir avec les corps". Mais les scientifiques refusaient cette idée, l'éther ayant déjà un effet en mécanique.

Champ scalaire et champ vectoriel

Champ scalaire

Champ vectoriel

Un champ scalaire n’est pas orienté par définition. Sa description ne considère que la position respective des masses ponctuelles. A l’inverse, un champ vectoriel est orienté dans l’espace-temps et, concernant la gravité, décrit la topologie de tous les points de l’espace.

Le concept de champ n’était pourtant pas une idée révolutionnaire car il existait déjà à l’époque de Newton mais il était alors considéré comme une commodité mathématique. Le champ servait à retrouver les forces qui agissaient sur une particule mais in fine tout devait s’expliquer en terme d’action à distance entre particules. Maxwell y vit une réalité, les vecteurs orientés dans l’espace représentant des choses réelles, des champs électriques et magnétiques oscillant à diverses fréquences et parfois polarisés. De nos jours on explique l'existence des particules chargées comme étant une région du champ électromagnétique à l'intérieur duquel la force est tellement élevée que l'énergie est concentrée dans un tout petit espace dont les limites s'estompent. Cette énergie se propage dans l'espace sans support.  

En 1887, le physicien allemand Heinrich Hertz améliora la définition du champ. Les termes "magnétiques" et "électriques" pouvant être échangés - ils produisaient les mêmes effets - il le nomma "champ électromagnétique". Il démontra son indépendance des lois de la mécanique, privant virtuellement l'éther de son principal effet. C'est à ce point de l'histoire que le champ devint synonyme d'énergie. Nous savons qu'en interrompant brusquement un champ électrique (mais aussi magnétique), il se produit une étincelle. Cela signifie que le champ contenait de l'énergie. Cette découverte a des implications fondamentales dans la loi de conservation de l'énergie.

Du théorème de Noether à l'espace de Fock 

Pour étudier un évènement physique dans l'espace chacun de nous sait que les quantités qu'il mesure, qu'elles soient scalaires (la masse) ou vectorielle (la vitesse) doivent être objectives, c'est-à-dire indépendantes des conditions de l'expérience. C'est le premier pas d'une démarche scientifique. Le second pas consiste à repérer les grandeurs dans l'espace en fonction d'un référentiel.

Dans la mécanique de Newton, les variables dynamiques scalaires sont invariantes par changement de référentiel : sur Terre ou dans un avion en vol, le temps s'écoule de la même façon (ce que contredit la théorie de la relativité d'Einstein).

Pour les grandeurs vectorielles, le fait de changer de référentiel modifie ses composantes, c'est par exemple la loi d'addition des vitesses. Il faut donc connaître les changements de référence qui rspectent l’invariance des grandeurs physiques

"Sur l'électrodynamique des corps en mouvement" d'Einstein, 1905. Document Lone Star.

A condition que le système soit fermé, isolé du monde extérieur, il faut qu'après ce changement de coordonnées certaines grandeurs soient conservées : l'énergie, l'impulsion et le moment cinétique. Certaines quantités sont observables (l'énergie par exemple).

En relativité restreinte cependant, certaines mesures absolues (le temps par exemple) ne sont plus observables non plus. Nous avons donc ici un raisonnement cohérent qui nous permet de poser une loi, le théorème de Noether qui sera énoncé en 1918 comme suit : "il existe une relation entre relativité, symétrie et lois de conservation". En d'autres termes, les lois de la nature sont l'expression de symétries.

Ce théorème trouve son origine dans la formulation lagrangienne. Pour déterminer la "trajectoire idéale" d'une particule, on évalue l'intégrale des trajectoires possibles (intégrale du lagrangien) au cours du temps, c'est la notion de "classes d'équivalences d'histoires" de Feynman que nous avons déjà entrevue en cosmologie quantique. On obtient ainsi une description parfaite de n'importe quel phénomène mécanique, qu'il soit à l'échelle de l'univers ou de l'atome. Ce caractère covariant joue un rôle fondamental dans la formulation des nouvelles théories.

Cet exposé serait incomplet si nous ne mentionnons pas les travaux de Euler, Lagrange, Laplace, Liouville, Poisson, Jacobi, Hamilton, Maxwell, Lorentz et Einstein. Leurs équations nous aideront à aborder les théories de symétrie.

Sans entrer dans les détails historiques et mathématiques, chacun de nous connaît le sens du mot “symétrique” et peut l'appliquer à tout système en deux ou trois dimensions. On peut appliquer cette expression mathématique à la biologie, à la botanique et à quantité d'autres domaines. 

La généralisation de la formulation lagrangienne permet d'appliquer les propriétés de symétrie à de nombreux systèmes dynamiques, en particulier à l'électromagnétisme et à la structure de l'espace-temps. Mais la découverte des constantes universelles c, h et G ainsi que des opérations appropriées sur celles-ci ont bouleversé sa généralisation en permettant de définir les unités fondamentales de la nature. Les résultats de cette troisième quantification étaient en contradiction avec la mécanique classique.

Les équations de Hamilton

A cet égard, les travaux du mathématicien irlandais William Hamilton sont considérés comme novateurs dans le cadre de la mécanique classique. En 1825, W.Hamilton et J.Fourier publièrent leurs travaux sur les fonctions périodiques après avoir étudié longuement les phénomènes ondulatoires comme la lumière, le son et le courant alternatif.

Vingt ans plus tard Hamilton considéra que les théories traditionnelles développées par Euler, Lagrange et Laplace ne permettaient plus de calculer avec précision l’état d’un système. Cette belle théorie fondée sur la connaissance préalable des variables de position et de vitesse des particules ne tenait par exemple pas compte des angles des variables, comme le moment angulaire qui apparaissait dans tous les systèmes dynamiques.

La fonction de Hamilton

La fonction de Hamilton décrit l’énergie totale d’un système en fonction des variables de quantité de mouvement (pi) et des positions (xi). Le point qui figure au-dessus des variables signifie que l’on considère la variation dans le temps (dérivée /t)

La mécanique d'Hamilton ne fait donc plus usage de telles variables. Elle ne fait intervenir que les quantités de mouvement des particules, c’est-à-dire le produit de la masse par sa vitesse et leurs positions.

L’idée d'Hamilton est de considérer que chaque particule obéit à un système de deux équations aux dérivées partielles du 1ere ordre de forme remarquable. Les fonctions inconnues sont justement les quantités de mouvement au cours du temps et les variables de position au cours du temps. L’Hamiltonien, H, qui n’est autre que l’énergie totale du système à un instant donné. Ces équations s'étendent à la relativité restreinte et servent encore de base en physique quantique pour décrire la fonction d’onde.

L'Hamiltonien permet de calculer le mouvment de n'importe quel vecteur de l'espace des phase à un instant donné. Les solutions des équations d’Hamilton définissent les coordonnées q(t) et p(t) d’un point de l’espace des phases. Joseph Liouville a démontré que le volume élémentaire d’un tube trajectoire reste constant au cours du temps si l’Hamiltonien est constant.

Qu’en est-il du champ électromagnétique, lui-même constitué de vecteurs se propageant à travers l’espace ? Grâce à Maxwell nous avons appris que les ondes se propageaient à la vitesse de la lumière et que certaines d’entre elles, à certaines fréquences, offraient les propriétés de la lumière visible.

Les équations de Hamilton permettent d'exprimer de la même façon pour exprimer les variations du champ électrique et du champ magnétique au cours du temps, et à travers eux la propagation de l’énergie. Seule différence, les équations de Maxwell sont des équations du champ, c’est-à-dire qu’elles décrivent un système représentant un milieu continu. L’espace des phases prend une dimension infinie.

Si l’espace est vide et ne contient ni charges ni courants (r=0 et j=0), les équations de Maxwell se réduisent à l’équation d’onde :

Mais les équations de Maxwell ne disent rien sur le comportement des particules elles-mêmes. Elles expriment uniquement le comportement du champ électromagnétique en fonction de particules chargées. Il faudra attendre 1895 et les travaux du physicien hollandais Hendrich A. Lorentz pour établir un nouveau système d’équations désignées sous le nom des équations du mouvement de Lorentz.

Le fait de savoir comment se déplaçait une particule chargée dans un champ électromagnétique devait rendre les prédictions très précises.

C’est à cette époque que Poincaré et Einstein discuteront d’un “principe de relativité” qui conduira à la relativité restreinte. Entre-temps Planck découvrit le quantum d’action, h, qui allait définitivement renverser les fondements de l’édifice de la physique classique.

Aux yeux des jeunes physiciens du début du XXeme siècle, il devenait absurde de considérer le monde sous deux aspects différents, l’un constitué de particules et de variables en nombre fini, l’autre constitué de champs et d’un nombre infini de dimensions. De plus, ainsi que nous l’avons expliqué plus tôt, les différents états de la matière ne trouvaient pas d’explication dans le cadre de la physique classique. Bientôt Bohr dû proposer une nouvelle hypothèse concernant la structure de la matière qui finira elle-même par être balayée par le concept ondulatoire de Schrödinger et l’équation relativiste de Dirac.

L'espace d'Hilbert

David Hilbert.

C’est le mathématicien David Hilbert, antérieurement à la théorie quantique et pour des besoins totalement différents, qui introduisit un nouvel espace dit espace d’Hilbert.

L'espace d’Hilbert est une généralisation de l'espace euclidien. Il s'en différencie par son nombre infini de dimensions. C'est aussi l’espace fonctionnel des fonctions complexes à carré sommable

L’équation d’onde de Schrödinger est liée à la fonction Hamiltonienne H sous la forme :

ou écrit de façon plus concise, 

L’espace d’Hilbert, comme l’espace euclidien, admet un produit scalaire invariant quelle que soit la base. En d’autres termes, on associe à toute grandeur mécanique observable un opérateur Hilbertien.

Si on développe l’équation d’onde, on peut démontrer qu’à toute quantité de mouvement pi correspond l’opérateur (-ih/qi). D’aucun considèrent cet opérateur comme l’une des plus belles réussites de la physique quantique qui su intégrer une fonction classique dans son formalisme.

Mais l'espace de Hilbert est un cas limite car non relativiste. Comment peut-on représenter l'état d'un champ électromagnétique infini ? Tout comme la question, la solution est très difficile.

Nous savons que les équations de Maxwell sont des équations relativistes dans lesquelles les ondes se propagent à la vitesse de la lumière mais où le temps joue un rôle absolu. Les équations de Hamilton n'ont pas ce caractère symétrique des équations de Maxwell et doivent être modifiées pour de grandes vitesses. Une façon de soulever ces difficultés est d'utiliser les transformations de Lorentz, un autre groupe d'équations covariantes qui font jouer à l'espace et au temps un rôle relatif. Bien que l'espace de Hilbert soit une description corpusculaire et ondulatoire de la matière, le champ électromagnétique contient un nombre infini de particules.

La superposition d'espaces infinis de Hilbert constitués de particules relativistes aboutit au concept très élaboré d'espace de Fock. Il traite les “ondes de matière” comme des champs discontinus plus ou moins denses. Les opérateurs assurent la création ou l'annihilation des particules, qu'il s'agisse de fermions ou de bosons. Cette généralisation quantique des concepts d'espace-temps est considérée par tous les scientifiques comme une révolution de notre approche de la réalité. Mais c'est avant tout un outil mathématique à ne pas mettre entre les mains de n'importe qui !

L’espace de Hilbert

Représentation d’une fonction d’onde dans l’espace de Hilbert : i |Y + x |Y

C’est l’équation d’un vecteur d'état à 2 pics comme il peut se présenter lorsqu’on sépare un faisceau lumineux par une lame semi-réfléchissante. Elle signifie que l’on combine linéairement un vecteur d’état complexe i|Y> avec un vecteur d’état |Y> multiplié par un nombre complexe “x”.

 Cette théorie a bien sûr été construite sur mesure, mais le concept d'espace de Fock présente un attrait tout particulier : son harmonie vis-à-vis de la physique. La première quantification réalisée par Maxwell limita la vitesse de propagation du champ électromagnétique à la vitesse de la lumière. Grâce au quantum d'action nous pouvons exprimer une seconde quantification, celle de l'opérateur Hamiltonien et bientôt on l'espère la quantification  de l'espace de Fock où l'on quantifie l'espace-temps d'Einstein, un sujet pour le moment plus ésotérique que physique !

Quant à la troisième quantification, la maîtrise de la gravitation, elle devrait aboutir à une théorie unifiée de toutes les lois de la physique, la Théorie de Tout ! Ce pari équivaut à rechercher le Sacré Graal car cette théorie doit unir la description quantifiée (discrète) et la continuité des champs. Toutes ces théories ont un point commun intemporel : l'harmonie entre sciences physiques et mathématiques. Nous reviendrons en temps utile sur la Théorie de Tout et en particulier à la fin du dossier consacré à la cosmologie quantique dont le but avoué est d'essayer d'expliquer comment l'Univers a pris naissance. Défi ou utopie, à chacun de juger, mais j'opte pour la première solution.

La théorie des groupes

Il existe une relation évidente entre les mathématiques et la physique. Depuis plus de deux milles ans, les mathématiciens ont développé des concepts tantôt abstraits, tantôt concrets et adaptés à la description de la réalité. Les idées abstraites peuvent naître du soucis d'un cadre logique, du besoin d'harmoniser les lois ou de la recherche de symétries. C'est ainsi que sont apparues la géométrie non euclidienne, l'espace de Fock, la théorie des groupes et les variétés complexes, pour citer quelques concepts qui sont utilisés en physique quantique.

La recherche de l'harmonie et de la symétrie en physique font aujourd'hui référence à la théorie des groupes. En nous replongeant dans nos anciens livres de mathématique, on apprend qu'il s'agit d'une théorie développée au XIXeme siècle par le mathématicien Elie-Joseph Cartan qui définit les transformations discrètes et continues. Ces dernières transformations furent définies par le mathématicien norvégien Sophus Lie en 1869.

Le père fondateur de cette théorie est le mathématicien français Evariste Galois, né en 1811 et mort précocement à l’âge de 20 ans. Malgré son très jeune âge il avait déjà imaginé la théorie des groupes, jugée à l’époque “incompréhensible” par Simon-Denis Poisson. Plus d’un physicien partagent encore aujourd’hui son point de vue...

Elie Cartan et Sophus Lie.

La tâche de Cartan et Lie consista à recenser tous les objets capables de changement (par translation, par rotation, par torsion, etc.) et d'en extraire des structures que certains essayèrent d’appliquer au monde réel. La théorie des groupes de Lie aboutit à une classification systématique des symétries, unissant de nombreux domaines des mathématiques comme nous allons le découvrir. C'est la raison pour laquelle ce concept est si souvent utilisé. 

Le concept de groupe de Lie est très abstrait, très complexe et sort du cadre de ce dossier. C’est une théorie qui intéresse en fait uniquement les mathématiciens, je n’en veux pour preuve que l’explication qui suit.

En quelques mots et en simplifiant beaucoup la théorie, un groupe possède les propriétés d’un groupe algébrique ordinaire (il comprend une loi de composition interne telle que la commutativité, des axiomes, etc), ainsi que des propriétés géométriques différentielles (qui concernent des courbes et des surfaces de Riemann faisant intervenir le calcul différentiel).

Il englobe donc à la fois l’étude des variétés topologiques, y compris dans le plan complexe (fonctions holomorphes) et l'algèbre de Lie qui est une algèbre ordinaire (multiplication, produit vectoriel, etc) mais qui obéit à certaines relations (relation de Jacobi, etc).

Un groupe reste un concept simple : c'est un ensemble de transformations qui est caractérisé par 3 propriétés :

- une invariance (locale ou globale)

- le fait que toute transformation doit permettre de retrouver l'état initial du système

- deux transformations consécutives doivent être équivalentes à une transformation unique.

Ces propriétés permettent d’imaginer que le changement apparent des choses peut être représenté par des invariances de symétrie.

La théorie de Lie nous dit que les groupes sont rassemblés en 7 variétés de A(n) jusque G(n), n étant un nombre entier choisi arbitrairement. Ainsi une sphère obéit à une symétrie O(3), O pour orthogonal car quel le soit l’angle sous lequel on la regarde, la sphère est symétrique par rotation dans les 3 dimensions.

A côté du formalisme extrême de la théorie des groupes et de l’algèbre de Lie, sur le plan pratique, les physiciens ont reconnu que ces concepts pouvaient les aider à résoudre les problèmes particuliers qui étaient survenus peu de temps après le Big Bang .

Ainsi, si les groupes A, B, C, D peuvent être infinis, les groupes E, F et G permettent de décrire les particules élémentaires (quarks et leptons) et leurs symétries. C’est ainsi que les physiciens ont pu interpréter la théorie des groupes de Lie.

Les groupes de Lie

A (n) = SU (n+1)

B (n) = SO (2n+1)

C (n) = SP (2n)

D (n) = SO (2n)

E (n) = E(6), E(7), E(8)

F (n) = F(4)

G (n) = G(2), SO(n)

avec,

S : Special (restreint) 

O : Orthogonal

U : Unitaire 

E : Exceptionnel

SP : Symplectique

 Jusqu’à présent, les groupes suivants ont trouvé, avec succès, une interprétation :

- U(1) est l’exemple le plus simple de symétrie SU(n) qui intègre les nombres complexes. Elle touche le photon.

- SU(2) touche le photon et le neutron.

- SU(2) x U(1) conduit à la théorie de Weinberg et Salam

- SU(3) concerne l’interaction forte des quarks

- SU(5) représente la Théorie de Grande Unification (GUT) la plus simple (électron, neutrino et 3 quarks)

- E(6) et SO(10) ont été utilisés pour construire les GUT exceptionnelles et restreintes

- E(8) et SO(32) ont été utilisés pour construire la théorie des supercordes à 26 dimensions d’espace.

Le groupe E(n) ne trouve pas d’équivalent dans la nature. C’est à l’heure actuelle une construction mathématique pure. Le groupe E(8) est le plus élevé de sa catégorie pour des raisons mathématiques.

Dans la théorie des groupes de Lie, une transformation symétrique finie donnée se construit en appliquant de façon répétitive des transformations infinitésimales caractérisées par des générateurs. Le nombre de générateurs linéaires indépendant est appelé la dimension du groupe. Ainsi SU(1), le groupe de rotation à une dimension est généré par une rotation infinitésimale dans un plan décrit par un seul axe; il a donc un seul générateur pour décrire la symétrie de rotation du cercle, c’est le photon. Les séquences unitaire et symplectique ainsi que les groupes exceptionnels G2, F4, E6, E7 et E8 de dimensions respectives 14, 52, 78, 133 et 248 sont appelés les groupes simples de Lie.

Nous savons déjà que les symétries en physique sont de plusieurs ordres. Il existe des symétries d'espace telle que la conservation de l'impulsion dans un univers homogène et la symétrie de temps telle que la conservation de l'énergie dans un système isolé. Il existe donc une relation entre symétrie et loi de conservation.

Au sens large, une symétrie est donc invariante pour certaines opérations. Si une quantité reste identique à elle-même après une opération, elle révèle une loi de conservation. En appliquant ces principes à la théorie du champ quantique, on conserve le principe du théorème de Noether qui, rappelons-le, lie les propriétés de la relativité à l'invariance par transformation de symétrie et à certaines lois de conservation. Ces lois sous-tendent le modèle Standard et sont regroupées sous le nom de théories de jauge non-abéliennes ou théories de Yang-Mills.

Les groupes de Lie et le modèle standard

Groupe

Dimension

Théorie

Générateurs

Niveau d’énergie

 

(nb particules)

 

(symbole)

 

U(1)

1

EDQ

g

-

SU(2)

3

Mécan.de Higgs

W + , W - , Z°

100 GeV

SU(3)

8

CDQ

8 gluons

-

SU(5)

24

GUT

g, W + , W - , Z°, X, Y...

1015 GeV

E(8) x E(8)

496

Supersymétrie

Supercorde

1019 GeV

SO(32)

1024

Supersymétrie

Supercorde

1019 GeV

Les groupes de Lie définissent mathématiquement toutes les transformations de symétries continues des théories de jauge non-abéliennes qui sous-tendent le modèle standard. Chaque générateur définit une transformation, une rotation par exemple, et leur nombre détermine la dimension du groupe, le nombre de vecteurs en interaction. L’ensemble définit la théorie du champ de jauge. Il est ainsi possible de construire une théorie de jauge pour n’importe quelle combinaison des groupes simples de Lie et des facteurs U(1). L’observation des particules et l’analyse de leurs couplages a permis de faire un choix particulier : U(1)xSU(2)xSU(3) qui définit la symétrie SU(5). Il constitue la construction minimale du modèle standard (ci-dessous). Lire le texte pour une explication détaillée de ces concepts.

Ainsi en mécanique classique par exemple, la rotation est considérée comme une symétrie autour de l'axe central. La propriété conservée est le mouvement cinétique. Si on applique le théorème de Noether au modèle quantique relativiste, on découvre par exemple que le changement d'un proton en neutron obéit lui aussi à une symétrie : celle du spin isotopique, etc.

En principe donc, la théorie des groupes est le meilleur outil de prédiction dont disposent les physiciens pour déterminer les interactions entre particules. Son usage cohérent peut aboutir à l'unification des quatre forces. C'est ce dont nous allons discuter mais sans entrer dans les détails mathématiques qui sortent du cadre de ce dossier.

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