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La théorie de la Relativité

Concepts fondamentaux

Le cône de lumière (III)

La topologie du cône de lumière trouve son origine dans les relations d’antériorité et postériorité des évènements relativistes, ce qui permet de faire la distinction entre un évènement dans le passé d’un autre ou dans le futur de celui-ci.

Une particule du monde physique réel trace une ligne d’univers dans l’espace-temps. L’ensemble des évènements dont le produit scalaire est nul (l’intervalle d’espace-temps ds2) constitue le cône de lumière d’un évènement considéré. La composante temporelle du produit “ct” détermine l’évolution du temps au repos. Cela implique que plus on s'éloigne de l'origine d'un mouvement uniforme, plus la ligne d'univers de la particule sera grande. Autrement dit l’intervalle ds permet de calculer le "vieillissement" de la particule.

Ce cône de lumière divise l’espace-temps en différentes régions. Si tous les évènements sont situés à l’intérieur du cône de lumière, ds2 > 0. L’intervalle entre deux évènements est positif et sa composante temporelle domine sa composante spatiale. L’intervalle est du genre temps, de sorte qu’une particule ou un photon peut aller d’un évènement à l’autre en vertu de la loi de causalité puisqu’il réside dans le même cône de lumière.

Topologie du cône de lumière

Si l'on trace graphiquement l'équation de Minkowski d'un évènement présent (au centre), la quantité ct représente un vecteur, un segment du temps que l'on appelle la "ligne d'univers". Cette solution signifie qu'au facteur c près, l'intervalle ds mesure le temps qui s'écoule entre deux évènements, la variable t déterminant l’écoulement du temps au repos.

On peut en déduire que plus on s'éloigne de l'origine d'un mouvement uniforme, plus la "ligne d'univers" sera grande. Autrement dit, ds permet de calculer le "vieillissement" de la particule (ou de l'observateur embarqué) pendant l’intervalle de temps.

Le même résultat s'obtient pour un mouvement accéléré (mais impose de résoudre l'intégrale du mouvement curviligne calculé sur l'intervalle de temps).

Si la grandeur ds2 < 0, l’intervalle est du genre espace et cela signifie que tous les évènements sont situés à l’extérieur du cône de lumière. Etant donné que les évènements ne peuvent plus être reliés entre eux par la particule, cette région est exclue de sa ligne d’univers. Cette région est dénommée “l’ailleurs”.

L’équation ds2 = 0 détermine aussi la dimension des régions causalement liées. En cosmologie, 1 seconde après le Big Bang l'Univers dans sa totalité avait probablement déjà une dimension de plusieurs milliards d’années-lumière suite à l’inflation. Mais les régions opposées les plus éloignées de l'Univers n'étaient déjà plus en contact les unes avec les autres. A cette époque, le produit "ct" = 3x105 km/s x 1 sec; seules les régions comprises dans une sphère de 300000 km de diamètre étaient liées entre elles formant ce que l'on appelle l'univers visible. L’intervalle ds définit l'horizon cosmologique ou distance radiale comobile, la limite au-delà de laquelle nous ne pouvons rien connaître. Ces régions sont à jamais inaccessibles.

La géométrie de l'espace-temps

A gauche, dans un diagramme d'espace-temps à deux dimensions d'espace et une de temps, en l'absence de champ gravitationnel un rayon de lumière évolue le long d’un cône de lumière dans l'espace et dans le temps à partir d’une singularité. Si l'espace-temps se courbe, la trajectoire de la lumière suit les déformations provoquées par la gravité.

A droite, même représentation dans l'espace (une dimension d'espace a été supprimée). Si la courbure est négative ou positive, le cône de lumière devient un conoïde. Dans les trois dimensions d’espace le cône devient une sphère.

Cône de lumière et relations temporelles

Dans l’espace-temps à 4 dimensions, ici représenté par facilité par un espace-temps à 3 dimensions, le cône de lumière d’un objet orienté vers le futur fixe les relations d’antériorité et de postériorité des évènements. Etant donné qu’aucune particule ne peut se propager plus rapidement que la lumière dans le vide, les cônes ne peuvent pas s’ouvrir à plus de 45°. Dans les trois dimensions de l’espace, ce cône prend la forme d’une sphère.

Dans ce schéma j'ai représenté les lignes d’univers de 3 particules présentant les évènements A, B et C. L’évènement C est postérieur aux évènements B et A et l’évènement B est postérieur à l’évènement A.

Géométrie du quadrivecteur

Avant de terminer cette partie théorique cherchons à savoir, car nous en aurons besoin, comment peut-on représenter les caractéristiques d’un objet, son énergie et son impulsion, dans un espace à 3 ou 4 dimensions ?

Dans la géométrie de Minkowski, on définit un quadrivecteur comme un vecteur appartenant à un espace vectoriel à 4 dimensions construites comme l’on dit sur les corps des réels (les nombres de l’ensemble R) et opérant sur des points représentants l’ensemble des évènements dont les coordonnées sont {x,y,z,t} dans le système de coordonnées absolu de Newton.

La trajectoire d’un point est définie par rapport au temps. A partir de l’origine O des coordonnées et de la position M du mobile ponctuel à l’instant t, on définit le vecteur vitesse V=dOM/dt, c’est la dérivée première de la distance parcourue par le mobile relativement au temps. En géométrie descriptive cette grandeur est tangente à la trajectoire du point et explique parfaitement le sens de l’expression “j’ai pris la tangente !...”.

Si on substitue les composantes de V par leur dérivée développée : V1 = dx/dt, V2= dy/dt, V3 = dz/dt. De façon plus concise on peut écrire :

Vk = dxk/dt, avec k = 1,2,3

Noter ici aussi que dans le jargon populaire l’expression "à la vitesse V’ " (lire V prime), qui signifie aller très vite, accélérer, correspond mathématiquement parlant à la dérivée première (V’) des composantes de V et donc à l'accélération. Ce “prime” se retrouve en physique. Vous voilà en territoire plus familier !

La quadri-vitesse

Représentation géométrique du quadrivecteur vitesse et de ses dérivées première U et seconde Γ. Voir le texte pour les explications.

De la même manière, en relativité restreinte on peut définir le vecteur quadri-vitesse d’un mobile. L’origine du repère est O tandis que l’origine de la trajectoire courbe est fixée arbitrairement par W. La trajectoire du mobile a pour coordonnées spatio-temporelle 4 équations fonctions du temps propre t appelé “vieillissement” :

x ≡ x1 = X1(t)

y ≡ x2 = X2(t)

z ≡ x3 = X3(t)

ct ≡ x = X°(t)

qui se décomposent en autant de coordonnées {xab}. L’intervalle d’espace-temps s’écrit alors :

ds² = c²dt² - ( dx² + dy² + dz² )

Connaissant l’origine O, le vecteur quadri-vitesse s’écrit :

U = dOE/dt

De même qu’en géométrie Newtonienne la vitesse V est tangente à la trajectoire du mobile, en relativité la quadri-vitesse est tangente à la ligne d’univers du mobile.

Les composantes du quadrivecteur dans cet espace vectoriel s’écrivent alors de façon contractée :

Uα = dxα/dt avec α = 1, 2, 3

La quadri-accélération Γ étant la dérivée de la quadri-vitesse U, autrement dit la dérivée seconde de l’intervalle d’espace-temps ds, on peut écrire de façon concise :

Γα = dUα/dt = d²xα/dt²

C’est de cette manière qu’en dérivant le produit scalaire des vecteurs (U,U) par rapport à t on obtient la quantité vectorielle :

(U, Γ) = 0

Assurément ce résultat est correct, conforme au principevariationnel, car le fait que le champ c soit “statique” (au repos) ne change en rien le résultat, ce qui étonna Einstein; les conséquences de sa théorie dépassaient largement le cadre de la mécanique de Newton.

L’intérêt de ces définitions est de pouvoir s’adapter aux petites vitesses et de pouvoir interpréter les composantes de Γk dans le cadre de la cinématique Newtonienne. Autre avantage, intrinsèquement les composantes Uα et Γα dépendent du repère choisi tandis que les vecteurs U et Γ sont invariants.

Prochain chapitre

Lois de conservation et principe variationnel

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