Cet espace affine est en cela fort proche de l’espace euclidien de Newton à 3 dimensions.  

Conscient de la difficulté du sujet, rappelons ce que l'on vous a enseigné il y a longtemps, que cette notion d’espace affine présente deux caractéristiques :

- A tout couple de point (A, B) de l’espace quadri-dimensionnel correspond un vecteur AB dans l’espace vectoriel tel que : 

AB = - BA 

et 

AB + BC + CA = 0

- Un point O d’origine fixé une fois pour toute dans l’espace quadri-dimensionnel qui permet d’écrire qu’à tout vecteur V de l’espace vectoriel correspond un et un seul point P tel que le vecteur OP = V.

En mécanique newtonienne les événements se produisent dans un espace absolu et le temps du système, le “temps propre”, ne dépend que des événements considérés dont la durée est absolue. L’événement se déroule donc dans un temps absolu dénommé “l’instant” dans un espace également absolu.

Ce système de coordonnées Newtonien n’est approprié que pour calculer de petites vitesses ou accélérations mais l’utiliser pour calculer des fonctions “relativistes”, invariantes des lois physiques est inapproprié car elles subissent des transformations non linéaires ingérables dans un tel référentiel, même non galiléen. Nous devons adapter ce référentiel à l’espace-temps, il devient le système de coordonnées Minkowskien, où h_mn désigne la métrique de Minkowski, lequel permet des “transformations de Poincaré”, acceptant en particulier les solutions de Lorentz.

Dans ce système de repères relativiste, un événement se repère également par ses 4 coordonnées x,y,z,t. La différence réside dans la notion d’événement qui n’est plus repérable distinctement dans l’espace ou le temps absolu. L’événement évolue dans l’espace-temps et il est insensé de chercher à savoir “où”, dans quel lieu et “à quel instant” il s’est produit. Un mobile évolue sur une trajectoire d’espace-temps dénommée sa ligne d’univers (on parle de tube d’univers lorsque l’objet est étendu).

L’interprétation des notions d’antériorité, postériorité et vieillissement d’un événement de la physique classique prend un tout autre sens en relativité car elles dépendent des caractéristiques du référentiel considéré. Ces  notions sont beaucoup plus nuancées et les deux premières expressions disparaissent même. A la question de savoir quel est le vieillissement par exemple d’un mobile relativiste, si Einstein avait été Normand, il vous aurait dit ça dépend de la façon dont il se déplace dans l’intervalle concerné. C’est le fameux paradoxe du “ralentissement du temps” dut à l’importance du facteur g entrevu précédemment.

Changement de base                                                                                                    

Pour pouvoir repérer un point dans un référentiel il faut également se donner une base vectorielle {e_a}, dite base naturelle, dans cet espace. Dans un espace vectoriel à 4 dimensions, un point P est déterminé à l’origine O par la somme des composantes x^a , avec a = 0, 1, 2, 3 du vecteur OP dans {e_a}. Ses coordonnées naturelles dans le repère naturel vectoriel {0,e_a} sont :

{x^a} = {x°, x¹, x², x³}

On peut donc considérer que le vecteur OP est une fonction des coordonnées x^a du point P. Le concept est similaire lors d’un changement de base ou lorsqu’on change de système de coordonnées. A partir de ces quatres nombres il est possible d’effectuer des produits scalaires entre vecteurs, donc de les dériver ou de les différentier par exemple selon les événements et les relations utilisées.

Pour effectuer les mêmes opérations dans l’espace-temps de Minkowski on définit une base dite minkowskienne telle que le couple vectoriel :

(e_a, e_b) = h_ab

avec pour condition h_ab = 0 pour a ¹ b, les seules composantes non nulles étant h₀₀ = h₁₁ = h₂₂ = 1 et h₃₃ = -1.

Ce type de référentiel a la particularité de pouvoir décrire ou plutôt mesurer un événement, par exemple le fait d’observer une lampe s’allumer, une étoile se déplacer, etc, car il est repéré et déterminé par ses 4 coordonnées x, y, z et t dans la base e_a ou h_ab.

Comme tout résultat d’une mesure, toute quantité qui reste invariante par changement de repère est dite scalaire, c’est un tenseur d’ordre 0; la valeur numérique ne dépend pas du référentiel considéré (mais uniquement des coordonnées) et elle ne dépend donc pas d’une fonction mathématique définie.

Un changement de repères n’est pas un changement de coordonnées et consiste seulement en un changement de base mais à l’inverse, par convention un changement de coordonnées est toujours associé à un changement de base.

Le système de coordonnées comobile

Ainsi que chacun a dut l’éprouver un jour ou l’autre à son insu, à se déplacer sans prendre de repères on perd le sens de l’orientation, a stricto senso le sens de la mesure. Que deviennent les coordonnées d’un objet quand il se déplace dans un référentiel ? Comment garder la trace des repères ? Fervent adepte des expériences de pensées, Einstein considère que pour garantir les mesures physiques, il faut construire un référentiel avec des règles matérielles solides et placer en chaque point de l’espace une horloge. En somme Einstein construit son univers avec du matériel d’écolier : du papier, une calculette, une règle et sa montre !

Tout ce “matériel bureautique” a pour but de solidariser un point mobile de l’espace au référentiel afin que ses coordonnées x,y,z demeurent constantes. Si ce principe est respecté, le système de coordonnées est caractérisé de “comobile” avec la matière (ici les règles).

Reste à définir si le point est “libre”, c’est-à-dire si sa vitesse dans l’espace absolu est constante au cours du temps. Dans l’affirmative le système est dit “galiléen”.

Un système comobile est rarement galiléen dans l’univers car son référentiel peut tourner par exemple. Mais en effectuant certaines transformations de coordonnées, comme déplacer une règle près d’un objet éloigné, synchroniser les horloges ou maîtriser les lois de l’électromagnétisme quand il s’agit de mesurer un rayonnement, on peut arriver à construire un référentiel galiléen avec plus ou moins de précision.

Pour y parvenir deux méthodes ont été envisagées dès la fin du siècle dernier :

- Les transformations de Galilée dont les expressions sont des fonctions linéaires de x,y,z,t dont le temps, l’espace et le mouvement sont invariants ou scalaires; il est impossible de privilégier un référentiel plutôt qu’un autre par des expériences de cinématique. Si v est la vitesse constante de l’objet considéré, nous avons vu que le changement de coordonnées s’effectue comme suit: x’ = x - vt, y’ = y, z’ = z, t’ = t.

- Les transformations de Poincaré dont seule l’expression du temps propre t est invariante car il possède une valeur intrinsèque indépendante du système de coordonnées employé.

Parmi les solutions proposées par les transformations de Poincaré nous retrouvons le groupe des transformations de Lorentz et ses fameuses expressions b² et g.

Enfin, on parle également de champ invariant ou de champ scalaire si, après transformation d’une fonction f des coordonnées, non seulement en un point particulier mais en tous points de cet espace auxquels un nombre est attaché, toutes les grandeurs présentent la même propriété d’invariance :

De l’infiniment petit aux dérivées covariantes

Ainsi que je l’ai développé en détail dans le dossier consacré à la philosophie des sciences, depuis toujours les mathématiciens ont été préoccupés par le problème des tangentes et de la division infinitésimale des espaces : comment calculer l’espace parcouru par un objet en un intervalle de temps voisin de zéro ? A cette question comme à bien d’autre du même acabit, Newton et ses émules mathématiciens répondent en remplaçant les grandeurs “infiniment petites” par la notion moderne de limite, qui aboutira au calcul des dérivées et des différentielles d’une fonction et le calcul des primitives.

Dans l’espace-temps de Minkowski de la relativité restreinte, les dérivées covariantes se substituent aux dérivées ordinaires.

Les dérivées partielles en particulier, que l’on retrouve dans les équations d’Einstein, sont nécessaires dès l’instant où l’on manipule des champs continus qui sont incompatibles avec une interprétation “à la Newton”, ainsi qu’Einstein en avait la profonde conviction. Ainsi ¶/¶x^m représente la variation du champ selon la position de l’objet dans l’espace-temps. Tout ceci en une relation mathématique !

Malheureusement de nombreuses fonctions intégrales ne peuvent se définir par des formules simples. Il faut alors calculer ces fonctions par des méthodes d’approximations et parler de valeurs “approchées”, dont l’erreur doit être précisée. Ces méthodes permettent aux mathématiciens de plancher sur les séries convergentes de Maclaurin ou de Taylor, la méthode d’interpolation de Simpson et sur les logarithmes de Neper. Deux mille ans après Archimède, on découvre ainsi que les courbes continues ne possèdent de tangente en aucun point... Paradoxalement, dans l’espace-temps les vecteurs déterminant un point sont définis localement et appartiennent à un espace vectoriel tangent à ce point. C’est la notion de variation d’un tenseur dans le champ gravitationnel que nous verrons dans un instant.

Ainsi que l’écrivit le marquis de l’Hôpital : “une courbe peut-être regardée comme un ensemble infini de segments de droites, chacun étant infiniment petit : ou... comme un polygone ayant un nombre infini de côtés”.

  Ces explications démontrent donc qu’il est possible de transformer l’infini en une suite d’éléments calculables et de concevoir une théorie qui soit finalement en relation avec le monde réel. L’infini est également extensible, comme l’Univers qui se contient lui-même est capable de se dilater à l’infini. Prenez une surface élastique infinie. Vous pouvez la détendre en tirant dessus. Vous augmentez ainsi sa dimension et sans vous en rendre compte, vous manipulez des concepts très abstraits comme Einstein nous a appris à le faire.

Différentielle totale, covariance et dérivée

  Tant dans le cadre des coordonnées minkowskiennes que dans le “mollusque” de Gauss de la relativité générale, tout état physique d’un système doit pouvoir être reproductible en tous points ailleurs dans l’espace-temps. Toute variation d’un vecteur, d’un tenseur ou d’un champ de telles expressions entre un système de coordonnées {x^a} et {x^a + dx^a} doit pouvoir être décomposée sur une base naturelle dont nous savons que les coefficients sont des fonctions de x^a. Ces coefficients dit “de la connexion linéaire” définissent une opération “image” de l’état physique que l’on veut étudier afin que celui-ci soit reproductible à une autre “époque” ou dans un autre “lieu”. Il va de soi que cette image doit être identique à l’originale.

  Posons f(x) et f(x+dx) deux vecteurs définissant un événement dont les coordonnées subissent une variation infinitésimale dx^a dans l’espace-temps Si la translation est correcte après dérivée du premier ordre en dx^m la différentielle absolue Ñf = 0. L’expression Ñ_mf^a est la dérivée covariante de la relation au point de coordonnée x. Cette expression peut-être calculée avant ou après contraction, avant ou après montée ou descente des indices. Si cette condition de nullité est respectée le produit scalaire reste inchangé, on dit que le déplacement est un transport parallèle. De même, lorsqu’un tenseur, fonction des champs en présence, est nul ont dit que la loi est écrite sous forme covariante.

  Dans un champ de scalaires g(x) construit sur le corps des réels ou des complexes, où les quantités restent invariantes par changement de repère, la différentielle absolue est identifiée avec la différentielle ordinaire; la dérivée covariante d’un scalaire est égale à sa dérivée partielle. Ceci concerne par exemple les constituants d’une substance qui varie de point à point :

 Ñg º dg; Ñ m g(x) º ¶m g(x)

  Lorsqu’on doit effectuer des dérivées partielles d’une fonction scalaire les lois de transformations sont celles des composantes covariantes d’un vecteur. De même, lorsqu’un tenseur de rang n subit une variation infinitésimale dT, ses composantes sont d’un rang n+1. Toutefois, dans la dérivée Lagrangienne (on peut considérer le Lagrangien comme la quantité d’énergie) d’un champ de tenseurs T^ab les termes sont des composantes d’un tenseur de même ordre T^ab car le temps propre dt intervient dans l’expression : dT^ab/dt. Ce temps a valeur de paramètre et est utilisé dans toutes les représentations Lagrangiennes du mouvement, le chaos compris. La même relation s’exprime pour la dérivée d’un champ de vecteurs. Il n’est donc pas surprenant de retrouver ces formulations dans l’univers des particules élémentaires, animées ou non de mouvements relativistes.

  En relativité générale, où la notion de courbure intervient, si le transport parallèle d’un vecteur entre deux points est indépendant de la géodésique suivie, alors le tenseur de courbure de Riemann-Christoffel est nul et les coefficients de la métrique sont constants. En effet, après un changement approprié de base, si le transport est parallèle, les coefficients de la connexion sont nuls, la solution f^a est une constante. Dans ce cas particulier, cette région de l’espace-temps est un espace plan, statique, exempt de champ gravitationnel.

Prochain chapitre

Le cône de lumière