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La théorie de la Relativité

L'électrodynamique des corps en mouvement

La contraction de FitzGerald (IV)

Comment représenter de façon simple, géométriquement, le phénomène de contraction des longueurs ou de dilatation du temps à partir de l’équation de l’intervalle ds² ?

Dans un espace euclidien, nous savons que tous les points équidistants d’une unité du centre dessinent un cercle autour de l’origine. Partons de s² = c²(t2 - t1)² - (x2 - x1)² - (y2 - y1)² - (z2 - z1)² et considérons que l’intervalle est petit vis-à-vis de la distance.

Changeons le signe de s² pour éviter qu’il ne prenne une valeur négative à cause du terme (t2 - t1)². Ce changement géométrique transforme également notre cercle en segments d’hyperboles qui suivent les courbes KLM et K’L’M’. L’intervalle de distance étant une quantité absolue, tous les observateurs sont d’accord pour reconnaître qu’il s’agit de l’intervalle unitaire à partir de l’origine O.

Repères dans l’espace-temps

Consulter le texte pour les explications.

Construisons à présent une ligne droite OFT’ qui rencontre l’hyperbole en F. Traçons une tangente au point d’intersection et complétons le parallélogramme OFGH.

Pour un observateur B qui choisit OT’ pour sa ligne du temps, OX’ apparaît comme sa dimension spatiale, OF et OH’ fixant ses unités de temps et d’espace.

Mais ce faisant, les deux observateurs décomptent l’espace et le temps de façon différente. Voyons en détail la géométrie de ce phénomène.

La contraction de FitzGerald

Chaque observateur repère les événements qui se produisent dans l’espace et le temps en fonction du système de coordonnées qu’il utilise (A en trait plein ou B en pointillés et prime). Si les deux observateurs s’accordent pour considérer la mesure de l’intervalle s² = (t - to)² - (x - xo)², les propriétés de l’hyperbole restent donc les mêmes pour les variables x et t. Mais bien qu’une unité de vitesse progresse d’une unité d’espace en une unité de temps, les grandeurs des composantes seront propres à chaque référentiel, d’où le désaccord sur les valeurs des grandeurs lorsqu’elles sont comparées entre A et B.

Le diagramme d’espace-temps B n’est tordu que par rapport à A mais aucun d’eux n’est absolu puisqu’il suffit de calculer l’écart de la torsion pour passer d’un système de coordonnées à l’autre. Dans la pratique, chaque observateur apprécie les événements par rapport à l’autre référentiel. Ainsi vu du référentiel A, pour une même unité de temps, la quantité t’ du référentiel B est plus longue que t1. Pour A, le temps s’est ralenti dans le référentiel B. Inversement, vu du référentiel B la quantité t1 est plus courte que la durée t’ équivalente. Pour B, le temps décompté dans le référentiel de A s’est accéléré.

C’est ainsi que lorsqu’un objet se déplace dans l’espace-temps à une vitesse voisine de celle de la lumière, un observateur extérieur constate que la structure de l’objet est altérée en taille et en forme dans le sens de son déplacement et le temps devient une donnée relative aux référentiels. Géométriquement parlant, le parallélogramme OFGH s’étend jusqu’à ce que l’unité de temps et d’espace deviennent à la limite infinis, en corollaire ds2 = 0. Pour A, tous les événements mesurés dans le référentiel B sont comme suspendus, il n’y a réellement plus de temps et la dimension de chaque objet est nulle. Mais cela ne s’applique que pour les variables x et t. En pratique, pour un observateur extérieur, tout objet se déplaçant à la vitesse de la lumière devient bi-dimensionnel, ne conservant que sa dimension latérale (y) à l’image des héros de Flatland. Physiquement parlant, l’objet relativiste subit une altération physique car l’inertie de son corps devient infinie et dès lors tous les processus physiques (cohésion atomique, transmission chimiques, processus moléculaires) s’arrêtent, faute d’énergie pour contrer ce phénomène.

C’est ce phénomène d’altération spatio-temporel qui porte le nom de contraction de FitzGerald.

La simultanéité absolue n’existe pas

Placé sur sa ligne d’univers dans l’espace de Minkowski, l’événement A sera vu par un observateur extérieur comme étant antérieur ou postérieur à l’événement B selon qu’il se déplace ou reste immobile. Le déplacement dans l’espace de Minkowski est dit “rigide” car il n’induit aucune déformation spatiale (de distance) et est appelé le “déplacement de Poincaré”.

Ces différents cas de figures concernent un espace euclidien, fait de points de coordonnées régulièrement espacés, quadrillé avec la rigueur d'un automate. Si la surface se déforme pour une raison quelconque, l'espace quadridimensionnel de Minkowski ne reste pas invariant et les coordonnées cartésiennes ne peuvent plus définir la position d'un point de l'espace. Appuyez votre doigt sur un réseau de fils entrecroisés, et vous aurez du mal à mesurer les longueurs de chaque “carré” avec exactitude. Mathématiquement parlant sur "fond" euclidien, nous avons démontré que la longueur et le temps se contractent, alors que les distances perpendiculaires ne sont pas modifiées. Ce problème devra attendre la théorie de la relativité générale pour être élucidé.

L’espace et le temps de Minkowski

Schéma d’un espace-temps de Minkowski n’ayant qu’une dimension spatiale (x). Les deux lignes pointillées inclinées à 45° ou lignes d’univers représentent l’histoire d’un événement, en l’occurrence celle d’un photon à un instant précis (le temps est figé sinon nous aurions dut dessiner des segments de droites au lieu de points A et B pour matérialiser l’écoulement du temps). Si l’événement se déplace de façon uniforme (libre), il dessine une droite oblique dans l’espace-temps. Il suivra une courbe s’il accélère. Dans la conception prérelativiste de Minkowski, dans l’espace-temps pseudo-euclidien à 4 dimensions, de commun accord, pour deux observateurs distants deux événements A et B séparés dans le temps et dans l’espace sont vus à une distance absolue c, en application du théorème de Pythagore.

Einstein était à présent célèbre et l'université de Genève lui conféra le titre de doctor honoris causa en 1909. La même année le chimiste et physicien Wilhelm Ostwald recommanda à l'Académie des sciences de Suède de proposer Einstein pour le prix Nobel de 1909, mais en vain. Il réitéra sa demande en 1912 avec le soutien de plusieurs physiciens dont Wilhelm Wien qui souhaitait que le prix Nobel soit partagé à part égale entre H.Lorentz et A.Einstein. Wien[18] motiva sa proposition en soulignant que "le principe de relativité a éliminé les difficultés qui existaient en électrodynamique et a permis de prédire, pour un système en mouvement, tous les phénomènes électrodynamiques connus pour un système au repos. [...] D'un point de vue logique, le principe de relativité doit être considéré comme l'une des réussites les plus importantes de tous les temps".

Mais il existe encore une difficulté considérable pour expliquer l'influence de la gravitation à distance, restée en suspend depuis Newton. Einstein a démontré qu'aucune forme d'énergie ne peut se déplacer plus rapidement que la lumière[19]. Si la gravitation agissait instantanément à distance, toute la théorie d'Einstein s'écroulerait. Le simple déplacement d'une masse provoquerait une modification de la gravitation dans tout l'univers... Einstein devait absolument partir d’un principe variationnel que nous allons voir et s’assurer que la loi d’équivalence gardait son sens localement.

Le problème que souleva Einstein était la difficulté de mesurer la gravitation en un point déterminé. Si dans un système de repères sa valeur est non négligeable, dans un autre repère, en chute libre par exemple, le champ gravitationnel est égal à zéro ! Les composantes scalaires mais aussi vectorielles se modifient en changeant de référentiel. Comment dans ces conditions peut-on ériger en principe des lois physiques ? Le phénomène d'accélération semblait sous-entendre qu'il existait un mouvement absolu.

Restait aussi le fait que les mathématiciens ne pouvaient toujours pas expliquer l'équivalence numérique de la masse pesante et de la masse inerte. La relativité restreinte n'expliquait pas non plus le rôle privilégié que la nature accordait aux référentiels d'inertie plutôt qu'aux autres. Pourquoi devait-on restreindre les lois de la nature ? Quelle pouvait être leur "théorie cadre" ? Einstein et Infeld écrivirent à ce propos : "La théorie de la relativité naît des problèmes du champ. Les contradictions et les inconséquences des anciennes théories nous obligent à attribuer des propriétés nouvelles au continuum espace-temps, qui est la scène de tous les événements de notre monde physique".

Prochain chapitre

La relativité restreinte : des exemples concrets

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[18] W.Wien, lettre à l'Académie des sciences de Suède, Janvier 1912.

[19] Ainsi que nous le verrons un peu plus loin, si l'équation d'Einstein confirme l'équivalence entre la masse et l'énergie d'un corps au facteur c près, il est faux de croire que la vitesse de la lumière est une limite infranchissable. Cette équation n'interdit pas à un corps d'avoir une vitesse supérieure à celle de la lumière. La seule contrainte est que ce corps devra conserver une vitesse supra-luminique car il lui faudra une énergie quasi infinie pour décélérer sous les 299792 km/sec. Tant qu'il reste au-dessus de cette vitesse tout se passera bien même s'il s'agit d'une utopie. Nous y reviendrons avec l’expérience imaginaire des tachyons.


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