Documentation technique de Calaphot
[Calaphot]

Algorithme global

Dans cette section ne sont décrites que les fonctions propres aux calculs de photométrie. Toutes les fonctions graphiques ou relatives à l'interface humain sont ignorées.

Calaphot est un script dédié à des calculs de photométrie différentielle effectués sur une série d'image. Chaque image est considérée individuellement. Et donc dans une image donnée, on mesure le flux d'un astéroïde et les flux d'étoiles dites de référence qui ont été sélectionnées au préalable. Les flux des étoiles de référence sont aggrégés en un flux unique représentant ainsi une super-étoile. La magnitude catalogue des étoiles de référence étant connue au préalable, celui de la super-étoile s'en déduit par une formule simple. De ces trois données (flux de l'astéroïde, flux de la super-étoile, magnitude de la super-étoile), on en déduit immédiatement la magnitude de l'astéroïde par appilcation directe de la formule de Pogson.

Etoiles de référence.

Les étoiles de référence sont des étoiles qui à priori ont une photométrie considérée comme stable pour la durée totale couverte par les images à étudier. Mais il se peut que cette présomption s'avère fausse, soit qu'une ou plusieurs étoiles soient en fait variables, ou que durant la durée des poses, l'atmosphère absorbe différemment les radiations de ces étoiles en fonction de leur classe spectrale (effet du à la variation de la masse d'air). Pour mettre en évidence cette possible variabilité des étoiles de référence, on effectue un calcul similaire à celui effectué pour l'astéroïde, mais en utilisant une pseudo-super-étoile. Pour une étoile de référence donnée, sa pseudo-super-étoile sera formé à partir de toutes les étoiles de référence autres qu'elle-même.

Cas où une seule étoile de référence est sélectionnée : dans ce cas, la comparaison avec une pseudo-super-étoile n'a pas de sens, et ce calcul n'est pas fait. La possible variabilité de cette étoile de référence ne peut pas être mise en évidence.
Cas où deux étoiles de référence sont sélectionnées : chaque étoile de référence est comparée à son alter-égo. On obtient alors deux courbes de variabilité symétriques, sans qu'il soit possible de dire si l'une est meilleure que l'autre.

Constante des magnitudes.

La constante des magnitudes est la magnitude d'un astre fictif dont le flux serait 1 ADU pour un temps de pose de 1s. Ce calcul est fait pour chaque image à partir du flux de l'étoile de référence et permet de caractériser la transparence du ciel. Sur une nuit très claire, le profil de la constante des magnitudes dessine une courbe en cloche, témoin de la variation de la masse d'air que doit traverser les photons issus des étoiles de référence. Par nuit brumeuse, on voir aussi nettement se dessiner les instants de passage des bancs de nuages élevés (baisse de cette valeur). Ce calcul est juste informatif, mais il permet de repérer rapidement dans une séquence les périodes où les mesures sont les meilleures.

Séquencement des opérations.

Saisie d'une certain nombre de paramètres nécessaires aux calculs :
- $\displaystyle {\frac {S}{B}}_{lim}$ : rapport signal sur bruit limite.
- $\displaystyle G$ : gain inverse de la caméra (en électron/ADU).
- paramètres spécifiques à la photométrie d'ouverture.
  - $\displaystyle N_R$ : bruit de lecture de la caméra (en électrons).
  - $\displaystyle n_p$ : facteur de division des pixels.
  - $\displaystyle r_1$ : rayon exprimé en FWHM du disque entourant l'astre (nécessaire à la mesure du flux de l'astre).
  - $\displaystyle r_2$ : rayon interne exprimé en FWHM de la couronne entourant l'astre (nécessaire à la mesure du flux de fond de ciel).
  - $\displaystyle r_3$ : rayon externe exprimé en FWHM de la couronne entourant l'astre (nécessaire à la mesure du flux de fond de ciel).
Sélection de l'astéroïde à étudier.
Sélection des $\displaystyle N_{ref}$ étoiles de référence, et entrée de leur magnitude catalogue $\displaystyle M_{rc}$ .
Calcul de la magnitude de la super-étoile $\displaystyle M_{se}$ à partir des $\displaystyle N_{ref}$ valeurs $\displaystyle M_{rc}$ . Celle-ci est donc une constante pour toutes les images qui vont être traitées
Boucle pour toutes les images.
- Modélisation de tous les astres par une nappe gaussienne de façon à déterminer précisément le centroïde ainsi que d'autres paramètres utilisés en photométrie d'ouverture.
- Mesure du flux de l' astéroïde $\displaystyle F_a$ .
- Mesure du flux de chacune des étoiles de référence $\displaystyle F_r$ .
- Calcul du flux de la super-étoile $\displaystyle M_{se}$ .
- Calcul de l' incertitude sur la magnitude de la super-étoile.
- Calcul de la magnitude de l'astéroïde $\displaystyle M_a$ .
- Calcul de l' incertitude sur la magnitude de l'astéroïde $\displaystyle C_m$ .
- A titre de vérification, calcul des magnitudes des étoiles de référence (à partir de leur pseudo-super-étoile).
- A titre de vérification, calcul des incertitudes sur les étoiles de référence (à partir de leur pseudo-super-étoile).
- Filtrage à partir des rapports signal sur bruit..
- Calcul de la constante des magnitudes.
Fin boucle pour toutes les images.
Filtrage à partir de la constante des magnitudes

Détail des calculs.

Mesure des flux des astres.

Photometrie d'ouverture : Toutes les étoiles de référence ont préalablement été modélisés. On dispose pour chacune de ces étoiles des paramètres de l'ellipse qui l'englobe ( ).
- Ellipse moyenne : on détermine tout d'abord une ellipse moyenne de paramètres () par
  - $\displaystyle \sigma_{xm} = \frac { \sum_{k=1}^{N_{ref}} \sigma_{xk} } {N_{ref}}$
  - $\displaystyle \sigma_{ym} = \frac { \sum_{k=1}^{N_{ref}} \sigma_{yk} } {N_{ref}}$
  - où
    - $\displaystyle N_{ref}$ est le nombre d'étoile de référence.
    - $\displaystyle \sigma_{xk}$ et $\displaystyle \sigma_{yk}$ sont les écarts-types sur les axes principaux de l'ellipse de l'étoile de référence $\displaystyle k$ .
    - $\displaystyle \rho_k$ est le facteur d'allongement de l'étoile de référence $\displaystyle k$ .
- Disque interne : puis on détermine une fenêtre d'ouverture elliptique d'axes et et de facteur d'allongement centrée sur l'étoile.
  - $\displaystyle \lambda_{xm} = 1.66511.r_1.\sigma_{xm}$
  - où
    - $\displaystyle r_1$ est le rayon exprimé en FWHM du disque elliptique qui entoure l'astre à mesurer. Il a été spécifié par l'utilisateur.
      Note:
      : Cette valeur $\displaystyle r_1$ impacte directement la précision des calculs, et a fait l'objet de [1] (chapitre 5.3) et d'une étude détaillée dans [2].
  Pour augmenter la précision de calcul, les pixels sont artificiellement découpés en sous-pixels, étant le facteur de division entré par l'utilisateur. Ainsi chaque sous-pixel se voit attribuer un niveau de gris égal à celui du pixel divisé par .Finalement, on détermine sur l'image l'ensemble des sous-pixels qui sont englobés par l'ellipse et on somme les niveaux de gris de ces sous-pixels dans . On récupère aussi le nombre décimal de pixels inclus dans la fenêtre.
- Couronne externe : on procède de même pour déterminer 2 cercles définissant une couronne dans laquelle sera mesuré le niveau de gris du fond de ciel. Les rayons de ces 2 cercles sont donnés par
  - cercle interne : $\displaystyle r_{2c} = 1.66511.r_2.\max ({\sigma_{xm}},{\sigma_{ym}})$
  - cercle externe :
    - $\displaystyle r_2$ est le rayon interne exprimé en FWHM de la couronne qui entoure l'astre à mesurer. Il a été spécifié par l'utilisateur.
    - $\displaystyle r_3$ est le rayon externe exprimé en FWHM de la couronne qui entoure l'astre à mesurer. Il a été spécifié par l'utilisateur.
  De même que pour le disque interne, chaque pixel est divisé en sous-pixels. A partir de tous les sous-pixels compris dans la couronne, on mesure alors le niveau de gris moyen du fond de ciel par pixel, ainsi que le nombre de pixels (décimal) correspondant à la surface de la couronne .
- Le flux $\displaystyle F$ de l'astre considéré est déterminé par $\displaystyle F = F_b - n_B.N_B$
Photométrie par modélisation : L'astre est tout d'abord modélisée par une nappe gaussienne. Le flux est défini par le volume compris entre la nappe modélisant le profil de l'étoile et le plan du fond de ciel.
où
- $\displaystyle S_0$ : niveau de gris maximum au niveau du centroïde
- $\displaystyle \sigma_x$ et $\displaystyle \sigma_y$ : écart-types suivant les axes principaux de l'ellipse
- $\displaystyle \rho$ : facteur d'allongement de l'ellipse ( $\displaystyle \|\rho\| < 1$ )
Photométrie par SExtractor : SExtractor inclue un module de photométrie qui est documenté dans le chapitre 9.4 du SExtractor user's manual. Calaphot utilise ce module avec les options suivantes :
- DETECT_TYPE CCD
- MAG_ZEROPOINT 0.0
- GAIN mis à la valeur entrée par l'utilisateur.
- BACK_SIZE 32
- BACK_FILTERSIZE 3
- BACKPHOTO_TYPE GLOBAL
et récupère les données :
- MAG_AUTO
- MAGERR_AUTO
- FLUX_AUTO
- FLUXERR_AUTO

Il convient de se référer à la documentation de SExtractor pour connaître la signification et l'impact de ces paramètres.

Calcul du flux de la super-étoile.

Le flux de la super-étoile $\displaystyle F_{se}$ est déterminé en sommant les flux $\displaystyle F_r$ des $\displaystyle N_{ref}$ étoiles de référence.
$\displaystyle F_{se} = \sum_{r=1}^{N_{ref}} F_r$

Calcul du flux de la pseudo-super-étoile.

Le flux $\displaystyle F_{pse}(r)$ de la pseudo-super-étoile $\displaystyle r$ (qui sert à vérifier le comportement de l'étoile de référence $\displaystyle r$ ) est déterminé en sommant les flux $\displaystyle F_k$ des $\displaystyle N_{ref}-1$ étoiles de référence autres que l'étoile de référence $\displaystyle r$ ).
$\displaystyle F_{pse}(r) = \sum_{k=1,k \neq r}^{N_{ref}} F_k$

Calcul des magnitudes.

Magnitude de l'astéroïde : le calcul de la magnitude utilise la formule de Pogson, la référence étant fournies par la magnitude et le flux de la super-étoile
où
- $\displaystyle M_{se}$ est la magnitude de la super-étoile
- $\displaystyle F_{se}$ est le flux mesuré de la super-étoile
- $\displaystyle F_a$ est le flux mesuré de l'astéroïde
- $\displaystyle M_a$ est la magnitude de l'astéroïde
Constante des magnitudes : la constante des magnitudes est la magnitude d'un astre fictif dont le flux intégré sur une unité de temps (ici la seconde) correspond à 1 ADU au dessus du fond de ciel. Son calcul se fait à partir des flux et magnitudes de la super-étoile.
où :
- $\displaystyle M_{se}$ est la magnitude de la super-étoile
- $\displaystyle F_{se}$ est le flux mesuré de la super-étoile
- $\displaystyle T_{exp}$ est le temps de pose (exprimé en seconde) de l'image considéré
- $\displaystyle C_m$ est la constante des magnitudes.
Magnitude de la super-étoile :
où
- $\displaystyle M_{se}$ est la magnitude de la super-étoile
- $\displaystyle M_{rc}$ est la magnitude catalogue de l'étoile de référence no r
- $\displaystyle N_{ref}$ est le nombre d'étoile de référence

Calcul d'incertitude sur les magnitudes

Photométrie d'ouverture : la formule générale (dite équation générale des CCD) est tirée de [1]. Elle donne le rapport signal à bruit :
où
- $\displaystyle N_*$ est le nombre total de photons correspondant à l'étoile.
- $\displaystyle n_{pix}$ est le nombre de pixels de l'étoile.
- $\displaystyle n_B$ est le nombre total de pixels utilisés pour calculer le fond de ciel moyen.
- $\displaystyle N_S$ est le nombre de photons par pixel correspondant au fond de ciel.
- $\displaystyle N_D$ est le nombre d'électrons par pixel du courant d'obscurité.
- $\displaystyle N_R$ est le nombre total d'électrons par pixel générés par le bruit de lecture du CCD.
- $\displaystyle G$ est le gain de la caméra CCD (exprimé en electron / ADU.)
- $\displaystyle \sigma_f$ est un facteur constant valant approximativement 0.289.
Note:
Les mots photon et électrons sont des synonymes dans les expressions ci-dessus, on devrait normalement parler de photo-electron, notion qui intégrerait le rendement quantique du CCD.
Pour des observations avec des caméra CCD classiques, dont le gain est assez élevé, on peut négliger les 2 termes . La formule ci-dessus est exprimée en photons (ou électrons). Or, les mesures sur les images s'effectuant en ADU, cette formule devient alors (en reprenant les notations ci-dessus )
où :
- $\displaystyle S_*$ est le nombre d'ADU correspondant à l'étoile
- $\displaystyle N_B$ est le nombre d'ADU par pixel du fond de ciel
Finalement, l'incertitude sur la mesure de la magnitude est donnée par .
Photometrie par modelisation . L'incertitude sur le flux est directement issue du calcul des paramètres de la modélisation de l'astre. (voir Modélisation d'une étoile par une nappe gaussienne. )
Photometrie par SExtractor . voir le paragraphe sur la mesure des flux par SExtractor.

Calcul des incertitudes totales.

Pour la super-étoile, l'incertitude $\displaystyle E_{se}$ est calculée à partir des incertitudes $\displaystyle E_r$ et des magnitudes mesurées $\displaystyle M_r$ de chacune des $\displaystyle N_{ref}$ étoiles de référence :
$\displaystyle E_{se} = \frac {\sum_{r=1}^{N_{ref}} E_r.10^{-0.4.M_r}} {\sum_{r=1}^N 10^{-0.4.M_r}}$
Pour l' astéroïde, l'incertitude totale $\displaystyle E_{at}$ est la somme de son incertitude propre $\displaystyle E_a$ et de celle de la super-étoile $\displaystyle E_{se}$
$\displaystyle E_{at} = E_a + E_{se}$
Cas particulier des étoiles de référence : pour une étoile de référence $\displaystyle r$ , on calcule l'incertitude de la pseudo-super_étoile $\displaystyle E_{pse}$ , puis l'incertitude globale de l'étoile de référence $\displaystyle E_{rt}$ à l'aide des formules ( $\displaystyle E_r$ désignant l'incertitude propre de l'étoile de référence)
$\displaystyle E_{pse} = \frac {\sum_{k=1, k \neq r}^{N_{ref}} E_k.10^{-0.4.M_k}} {\sum_{k=1, k \neq r}^{N_{ref}} 10^{-0.4.M_k}}$ .
$\displaystyle E_{rt} = E_r + E_{pse}$ .
où les $\displaystyle M_k$ designent les magnitude mesurées des étoiles de référence autres que l'étoile $\displaystyle r$ .

Modélisation d'une étoile par une nappe gaussienne.

La modélisation permet de trouver une fonction analytique qui soit la plus proche au sens des moindres carrés de la fonction de niveaux de gris d'un astre. On peut trouver plus de détails dans les conférences de Peter B. Stetson. Dans le cas de la nappe gaussienne, la fonction de modélisation $\displaystyle f(x,y)$ est donnée par
$\displaystyle f(x,y) = S_0 . e^{-h(x,y)} + B_0$ où $\displaystyle h(x,y)$ vaut
$\displaystyle h(x,y) = \frac {(x-x_c)^2}{\sigma_x^2} + \frac{(y-y_c)^2}{\sigma_y^2} - 2.\rho.\frac{x-x_c}{\sigma_x}.\frac{y-y_c}{\sigma_y}$ Il faut noter que l'équation $\displaystyle h(x,y) = constante$ est l'équation au centre d'une ellipse, dont les axes sont proportionnels aux valeurs $\displaystyle \sigma_x$ et $\displaystyle \sigma_y$ . Pour les notations :

$\displaystyle S_0$ est le niveau de gris maximum au niveau du centroïde.
$\displaystyle (x_c,y_c)$ sont coordonnées du centroïde.
$\displaystyle \sigma_x$ et $\displaystyle \sigma_y$ sont écart-types suivant les axes principaux de l'ellipse.
$\displaystyle \rho$ est le facteur d'allongement de l'ellipse ( $\displaystyle \|\rho\| < 1 .$ )
$\displaystyle B_0$ est le niveau de gris du fond de ciel.

La modélisation consiste donc à trouver les sept valeurs précédentes. De ces valeurs, on en tire aisément :

$\displaystyle \lambda_x$ le FWHM suivant un des axes de l'ellipse, $\displaystyle \lambda_x = 1,66511.\sigma_x$
$\displaystyle \lambda_y$ le FWHM suivant l'axe perpendiculaire au précédent, $\displaystyle \lambda_y = 1,66511.\sigma_y$
l'angle entre les axes principaux de l'ellipse et les axes de l'image.
- si $\displaystyle \sigma_x \neq \sigma_y$ , on a $\displaystyle \alpha = \frac{1}{2}.\arctan \frac {2.\rho.\sigma_x.\sigma_y}{\sigma_x^2 - \sigma_y^2}$ .
- dans le cas contraire, l'ellipse est un cercle, et $\displaystyle \alpha$ est indéterminé.

Les incertitudes sont données par le produit du résidu de la modélisation par la covariance du paramètre recherché. En termes plus simples, les incertitudes sont directement fournies par le calcul des paramètres de la modélisation. Pour plus de détails, se rapporter au début de la "lecture 2" de [4]

Filtrage des images

Certaines images de mauvaise qualité, ou dont les résultats semblent aberrants doivent être écartées du rapport final.

Filtrage à partir des rapports signal sur bruit.

Ce filtrage vise à éliminer les images douteuses. Sont qualifiées de douteuses les images dont au moins un astre a un rapport signal à bruit inférieur à la limite $\displaystyle {\frac {S}{B}}_{lim}$ définie par l'utilisateur. Ce filtrage est fait au fur et à mesure des calculs.

Filtrage à partir de la constante des magnitudes

La constante des magnitudes étant calculée directement à partir du flux de la super-étoile, son évolution dans le temps est sensée être lente et ne suivre que les variations de la masse d'air. On peut donc s'appuyer sur sa valeur pour tenter de détecter rapidement les images qui semblent aberrantes pour des raisons diverses (passage nuageux, disfonctionnement de la caméra, dérive brutale brutale du télescope, etc...)
L'algorithme est le suivant : pour une image donné, on calcule la moyenne $\displaystyle m$ et l'écart-type $\displaystyle \sigma$ de la constante des magnitudes pour les 5 images précédentes et les 5 images suivantes. Si la constante des magnitude de l'image donnée est dans l'intervalle $\displaystyle [m-3.\sigma, m+3.\sigma]$ , l'image est conservée. Elle est rejetée dans le cas contraire, et ne participera plus au calcul de la moyenne et écart-type pour les images suivantes. S'il y a moins de 5 images avant ou après l'image donnée, on ne prend que celle qui existent (éternel problème des bords).

Calcul de l'âge du capitaine.

Le problème soulevé par ce calcul n'est pas récent et a été posé par l’écrivain français Gustave Flaubert (1821-1880) dans une lettre à sa sœur Caroline en 1843. Puisque tu fais de la géométrie et de la trigonométrie, je vais te donner un problème : Un navire est en mer, il est parti de Boston chargé de coton, il jauge 200 tonneaux, il fait voile vers Le Havre, le grand mât est cassé, il y a un mousse sur le gaillard d'avant, les passagers sont au nombre de douze, le vent souffle NNE, l'horloge marque trois heures un quart d'après-midi, on est au mois de mai ... On demande l'âge du capitaine

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