L'accélération de Coriolis

 

Serge Laporte

 

 

Cyclone Emilie 1993

 

Le Principe de Relativité

Le Principe de Relativité, énoncé pour la première fois par Galilée dans la première moitié du 17eme siècle, est l'un des piliers de la physique. Il stipule l'existence d'une classe de référentiels dans lesquels les lois de la mécanique sont identiques ; ces référentiels se déplacent les uns par rapport aux autres à vitesse constante et sont appelés référentiels galiléens. Concrètement, un référentiel est constitué d'un ensemble de 3 axes, généralement perpendiculaires les uns par rapport aux autres. Par exemple, les intersections de deux murs contigus de la pièce dans laquelle je me trouve ainsi que leurs intersections avec le plancher constituent un référentiel (voir figure).

 

 

Un référentiel sert à décrire quantitativement la position d'un objet quelconque que nous souhaitons étudier.
Par exemple, pour situer l'encrier posé sur mon bureau, je peux dire qu'en partant du coin noté O je dois me déplacer de 2 mètres dans la direction x, puis de 3 mètres dans la direction y et enfin de 0,75 mètres vers le haut, donc dans la direction z. Dans un tel référentiel, la position de mon encrier est donc entièrement définie par le triplet (2, 3, 0.75).

Un référentiel galiléen est caractérisé par le fait que le Principe d'Inertie y est vérifié : un mobile animé d'une vitesse V quelconque par rapport à ce référentiel et qui n'est soumis à aucune force (ou à un ensemble de forces dont la somme est nulle) conserve sa vitesse indéfiniment. Sur une plaque de verglas, par exemple, les forces de frottement sont quasi-inexistantes et le poids de la voiture est parfaitement équilibré par la réaction du sol (c'est le célèbre Principe de l'Action et de la Réaction, énoncé par Newton dans la seconde moitié du 17eme siècle) : la voiture est soumise à un ensemble de forces dont la somme est nulle. Sa vitesse n'étant pas modifiée, ni en valeur ni en direction, malgré les actions désespérées du conducteur sur les freins et sur le volant, on en déduit qu'avec une bonne approximation, les référentiels liés à la Terre sont galiléens, et en particulier celui lié à mon bureau et que j'ai décrit tout à l'heure, puisqu'il se déplace par rapport à la Terre à vitesse constante (cette vitesse est bien évidemment nulle). Notons tout de suite que ce n'est là qu'une approximation : d'une part, il est certain que la somme des forces agissant sur la voiture n'est pas rigoureusement égale à 0 (le frottement des pneus sur la glace n'est pas totalement nul et nous n'avons pas tenu compte de la résistance de l'air), et d'autre part nous n'avons pas mesuré précisément la vitesse de la voiture.

Puisque les lois de la physique sont les mêmes dans tous les référentiels galiléens (c'est-à-dire dans tous les référentiels dans lesquels le Principe d'Inertie est vrai), il en découle qu'il est impossible par quelque expérience que ce soit de caractériser l'un d'entre eux en particulier. Dans l'exemple célèbre de Galilée, une personne enfermée dans la cale d'un navire sans hublot ouvrant sur l'extérieur est dans l'impossibilité de dire si le bateau avance par rapport à la terre ou s'il est amarré à quai. De la même façon, lorsque nous sommes dans un train arrêté en gare à côté d'un autre train, nous ne savons pas en voyant cet autre train partir lentement si c'est lui ou nous qui bougeons effectivement.

Mathématiquement, le Principe de Relativité se traduit par la covariance des équations de la mécanique lorsqu'on leur applique la transformation qui permet de passer de l'un à l'autre de ces repères et qu'on appelle transformation de Galilée en mécanique classique. Cette transformation n'est rien d'autre que la loi de composition des vitesses : si je me déplace dans un train vers l'avant de celui-ci à la vitesse v et que ce train lui même avance par rapport au talus à la vitesse v0, alors ma vitesse de déplacement par rapport au talus est égale à v+v0. Concrètement, si l'on considère deux référentiels R et R' animés l'un par rapport à l'autre d'une vitesse v0 dans la direction x, cela signifie que si l'on remplace x par x'-v0.t dans les équations de la mécanique écrites dans le référentiel R (par exemple dans le principe fondamental F=m.d2x/dt2), alors on retombe exactement sur les mêmes équations mais écrites dans les coordonnées du référentiel R' : x aura simplement été remplacé par x'.

Notons ici que les équations de Maxwell qui décrivent le champ électromagnétique ne sont pas covariantes par la transformation de Galilée qui traduit en termes mathématiques la règle intuitive de composition des vitesses. Cette découverte a bien embêté les physiciens et mathématiciens de la fin du 19eme siècle parce qu'elle contredisait le Principe de Relativité et faisait donc de l'électromagnétisme un domaine totalement différent de celui de la mécanique dite "classique", jusqu'à ce que Poincaré trouve une nouvelle transformation (qu'il appela "Transformation de Lorentz"), différente de la transformation de Galilée, et qui assure la covariance non seulement des équations décrivant les phénomènes en mécanique classique, mais aussi des équations de Maxwell. Quelque temps plus tard, en 1905, Einstein synthétisait ces résultats dans la théorie de la relativité restreinte qui, grâce à la transformation de Lorentz, permet d'étendre le Principe de Relativité à l'ensemble de la physique, unifiant ainsi la mécanique classique et l'électromagnétisme. Dans ce qui suit, nous ne nous intéresserons qu'à la mécanique classique (objets matériels se déplaçant à des vitesses très inférieures à celle de la lumière) et la transformation de Galilée ainsi que le Principe de Relativité nous seront largement suffisants.

Le Principe Fondamental de la Dynamique

Un autre grand principe de la physique déjà évoqué plus haut à titre d'illustration est le Principe Fondamental de la Dynamique, énoncé pour la première fois par Newton. Il stipule que la somme des forces appliquées à un solide est égale à la masse de ce solide multipliée par son accélération (ou plus exactement : celle de son centre de gravité) mesurée dans un référentiel galiléen. Il en résulte que dans un tel référentiel, un corps qui n'est soumis à aucune force (ou à un ensemble de forces dont la somme est égale à 0) possède une accélération nulle, et donc une vitesse constante : c'est le Principe d'Inertie déjà rencontré lui aussi, qui est donc une conséquence de ce Principe Fondamental de la Dynamique.

Si maintenant le référentiel dans lequel on observe un phénomène mécanique est en accélération par rapport à un référentiel galiléen quelconque, alors le Principe Fondamental n'est évidemment plus vrai. Considérons par exemple un vaisseau extraterrestre arrêté dans l'espace intersidéral, c'est à dire immobile par rapport aux étoiles (référentiel galiléen), moteurs coupés, loin de toute planète et de tout soleil. Il voit soudain arriver une sonde qui le double à la vitesse v0. Le commandant ordonne alors la mise en route des propulseurs et le vaisseau accélère vers la sonde pour la rattraper. Vue depuis l'intérieur du vaisseau, qui n'est maintenant plus un référentiel galiléen puisqu'il est en accélération par rapport à un référentiel qui l'est vraiment (à savoir : les étoiles lointaines), la sonde semble alors se rapprocher de plus en plus vite : sa vitesse d'éloignement, initialement v0, diminue jusqu'à s'annuler puis à changer de signe pour devenir une vitesse de rapprochement. Les occupants du vaisseau, constatant que la vitesse de la sonde varie par rapport à eux (donc que la sonde est en accélération par rapport à leur vaisseau), pourraient en déduire, d'après le Principe Fondamental de la Dynamique, qu'elle est soumise à une force inconnue, alors que nous savons bien qu'il n'en est rien. Néanmoins, cette force doit nécessairement être introduite par les extraterrestres pour expliquer le mouvement de la sonde, à moins qu'il ne faille faire une croix sur le Principe Fondamental de la dynamique et remettre en cause de cette façon toute la physique moderne.

En réalité, cette force mystérieuse appliquée à la sonde qui fait varier sa vitesse et observée par les extraterrestre est simplement due au fait que leur vaisseau par rapport auquel ils font cette observation n'est pas un référentiel galiléen : pour que le Principe d'Inertie soit vérifié dans leur référentiel à eux, il est nécessaire d'introduire une correction qui prend la forme de cette force mystérieuse et qui est nommée pour cette raison "force d'inertie". On notera ici que sans même regarder à l'extérieur, les occupants du vaisseau peuvent d'emblée se rendre compte que leur engin n'est pas un référentiel galiléen puisqu'ils ressentent concrètement les effets de la mise en route des moteurs et de l'accélération qui en résulte (ils sont plaqués à leur siège). Ils peuvent même mesurer cette accélération (par exemple en regardant de combien se comprime un ressort fixé à la paroi arrière du vaisseau et muni à l'avant d'une masse, comme sur la figure ci-dessous) et en déduire la correction en question.

 

 

La force centrifuge

Dans l'exemple précédent, nous avons accéléré le vaisseau extraterrestre en faisant varier la valeur de sa vitesse pour voir comment on pouvait décrire le mouvement de la sonde vue depuis ce vaisseau, et nous en avons conclu que dans un référentiel accéléré, le principe d'inertie n'est plus vérifié à moins d'introduire de nouvelles forces fictives, appelées forces d'inertie. Mais il existe une autre façon de communiquer une accélération à notre vaisseau extraterrestre. En effet, une accélération est par définition une variation de vitesse, tout comme la vitesse est une variation de la position, elle même représentée par un triplet comme nous l'avons fait plus haut pour repérer mon encrier. En réalité, il existe deux manières bien distinctes de faire varier la vitesse (et donc de créer une accélération) : on peut, comme nous l'avons fait pour le vaisseau extraterrestre, faire varier la valeur de cette vitesse, mais on peut aussi faire varier sa direction.

C'est ce qui se passe sur un manège, par exemple. Le petit Loïc est monté sur le gros lapin rose et il a malencontreusement fait tomber une bille de sa poche. S'il avait été sagement assis à son pupitre d'école, la bille aurait rebondi deux ou trois fois avant de s'immobiliser et la maîtresse n'aurait peut-être rien vu. Là, la situation est toute différente : Loïc voit la bille s'éloigner de lui de plus en plus vite vers l'extérieur du manège, comme si elle était attirée par un gros aimant placé à la périphérie de celui-ci. Mais il sait très bien qu'il n'y a pas d'aimant sur ce manège, tout comme il sait qu'aucune des quatre forces de la nature (force faible, force forte, force électromagnétique et force de gravité) n'est capable de produire une telle accélération à sa bille qu'il voit disparaître derrière le stand de barbapapa voisin. Alors quoi? Le Principe Fondamental de la Dynamique serait-il pris en défaut? Une accélération serait-elle possible sans qu'aucune force n'en soit la cause?

Là encore, l'explication de ce phénomène vient du fait que Loïc effectue son observation dans un référentiel non galiléen, et donc dans lequel le Principe Fondamental de la Dynamique n'est plus vrai, à moins d'introduire une correction sous la forme d'une force d'inertie. Comme les extraterrestres de tout à l'heure, Loïc aurait d'ailleurs pu se rendre compte que son référentiel (lié au manège) n'était pas galiléen puisqu'il ressent lui même les effets de cette force qui l'attire inexorablement vers l'extérieur du manège et l'oblige, pour son plus grand plaisir, à s'accrocher à son gros lapin rose. De la même façon, il aurait pu, s'il avait été muni d'un ressort et d'une masselotte, mesurer cette correction. Dans le cas présent d'un référentiel en rotation par rapport à un référentiel inertiel, la force d'inertie à introduire pour que le Principe Fondamental de la Dynamique continue à être vérifié s'appelle "force centrifuge".

Bien évidemment, pour les parents qui attendent accoudés à la buvette que leur progéniture ait terminé son tour de manège, point n'est besoin d'introduire une telle force pour expliquer le mouvement de la bille puisque leur référentiel à eux (la buvette) est, avec une bonne approximation, galiléen. Ainsi observent ils que la bille, à l'instant où elle s'échappe de la poche de leur chère tête blonde, est animée d'une vitesse v tangentielle au cercle sur lequel se déplace le bambin et qu'en vertu du Principe d'Inertie elle conserve cette vitesse par rapport à eux, point final. Elle continue donc en ligne droite par rapport à eux pendant que le manège continue de tourner, jusqu'à rencontrer la périphérie de celui-ci et poursuivre son chemin, toujours en ligne droite, jusque dans les barbapapas.

 

La force centrifuge est donc la force d'inertie qu'un observateur en rotation par rapport à un référentiel galiléen doit introduire pour expliquer la mise en mouvement d'un objet initialement immobile par rapport à lui et soumis à aucune autre force "conventionnelle", comme ce fut le cas pour la bille qui a "spontanément" quitté la poche de l'infortuné Loïc.

La conservation du moment cinétique

Jusqu'ici, nous avons vu quelques uns des grands principes de la physiques (le Principe de Relativité, le Principe d'Inertie, le Principe Fondamental de la Dynamique). Ce sont des hypothèses de base de la mécanique, en ce sens qu'on ne peut pas les démontrer, mais qu'on ne les a jamais mises en défaut non plus (sauf comme on l'a cru lors de la découverte de la non-covariance des équations de Maxwell par la transformation de Galilée, et on a vu à quelle révolution cela a conduit, à savoir la théorie de la relativité restreinte).

Une autre grande classe de "briques élémentaires" qui permet de construire la physique moderne est constituée par les symétries : une expérience physique donnera les mêmes résultats sur Terre et aux confins de l'univers (pour peu que les paramètres influents sur ces résultats, tels que la gravitation, soient les mêmes), pour n'importe quelle orientation du dispositif expérimental (avec les mêmes restrictions que ci-dessus), que ce dispositif expérimental soit constitué de matière ou d'antimatière, ou encore que l'on regarde dans un miroir l'expérience réalisée avec le même dispositif mais sur lequel tout aura été inversé - les vis auront des pas "à gauche" et non "à droite" par exemple. On parle alors respectivement de symétrie par translation, par rotation, par inversion de charge et de symétrie miroir. Il existe bien d'autres symétries, mais ce qui est remarquable, c'est qu'à chacune d'elles, en vertu d'un théorème dû à Emmy Noether au début du 20eme siècle, correspond une loi de conservation. Ainsi, la symétrie par translation entraîne la conservation de la quantité de mouvement; de même, la symétrie par rotation conduit à la conservation du moment cinétique. C'est à celle-ci que nous allons nous intéresser ici.

Nous avons vu plus haut qu'en vertu du Principe d'Inertie, un objet lancé à la vitesse v par rapport à un référentiel galiléen conserve cette vitesse tant que l'on ne lui applique pas de force extérieure susceptible de venir perturber son mouvement. Mais imaginons que sous l'effet d'une force intérieure l'objet se sépare en deux parties de masses m1 et m2 : par exemple, un patineur de masse m1 sur un lac gelé (donc soumis à un ensemble de forces dont la somme est nulle, comme c'était le cas pour la voiture de tout à l'heure abordant une plaque de verglas), initialement lancé à la vitesse v0 (supposée nulle pour simplifier), lance une grosse pierre de masse m2 qu'il avait dans sa poche. Que se passe-t-il? On constate en fait que le patineur part d'un côté et la pierre de l'autre, avec des vitesses respectivement égales à v1 et v2 telles que m1 x v1 + m2 x v2 = (m1 + m2) x v0. Dans cette expérience, le produit de la masse par la vitesse, appelé "quantité de mouvement", s'est conservé : c'est la loi de conservation de la quantité de mouvement. C'est grâce à elle que l'on fait marcher les fusées : en éjectant très rapidement vers l'arrière une grosse masse de carburant, de la même façon que notre patineur a éjecté son caillou pour modifier sa vitesse.

Dans le cas d'un solide en rotation, on constate un phénomène analogue : en l'absence de forces extérieures venant le perturber, un solide animé d'une vitesse de rotation initiale w0 continue de tourner avec une vitesse de rotation constante. C'est pour cela que les toupies, la Terre, les planètes, les étoiles ou encore les galaxies continuent de tourner sur elles mêmes. Mais que survienne une force intérieure modifiant la géométrie du solide en question et on constatera une variation de sa vitesse de rotation. L'exemple le plus classique est celui du patineur qui, débarrassé maintenant de tous ses cailloux, peut commencer à réaliser quelques figures. L'une d'entre elles consiste à tourner comme une toupie sur la pointe d'un patin avec les bras écartés et à ramener ensuite ses bras le long du corps : sa vitesse de rotation augmente alors sans qu'il ait eu besoin de donner une quelconque impulsion contre la glace avec son autre patin. Ici encore, la modification de la vitesse de rotation en l'absence de force extérieure est due à une loi de conservation, en l'occurrence la conservation du moment cinétique. Celle ci stipule que le produit de la vitesse angulaire w (exprimée en tours par minutes, ou encore en radians par seconde) par le moment d'inertie m (l'équivalent de la masse pour les systèmes en rotation, et correspondant au produit d'une masse par le carré d'une longueur) est constant en l'absence de forces extérieures appliquées au solide : en ramenant ses bras le long du corps, le patineur a diminué la "longueur" d'application de la masse de ses bras dans l'expression de son moment d'inertie m, et a donc diminué la valeur de celui-ci. Sa vitesse de rotation w a donc augmenté pour garder constant le produit m x w.

La force de Coriolis

Imaginez maintenant un puits très profond, situé quelque part à l'équateur. On y lâche une grosse pierre, en plein milieu. Que va-t-il se passer?

Lorsqu'elle est encore à la surface, au moment d'être précipitée dans le vide, la grosse pierre possède une vitesse de rotation par rapport à un référentiel galiléen tel que les étoiles lointaines : c'est la vitesse de rotation de la Terre sur elle-même, à laquelle il faudrait en toute rigueur ajouter celle de la Terre sur son orbite autour du soleil, celle de notre système solaire dans notre galaxie, celle de la galaxie dans l'amas auquel elle appartient, et ainsi de suite. Il se trouve que le terme prépondérant reste la vitesse de rotation de notre planète sur elle-même, à peu près égale à 2p/86164 radians par secondes (ou encore : 1 tour en 23h 56' 4'' et quelques broutilles). On remarquera au passage que cette valeur, appelée jour sidéral, n'est pas exactement égale à 1 tour par 24 heures : en effet, 24 heures est le temps entre deux "midi", c'est à dire entre deux passages du soleil à travers le plan méridien dans lequel nous nous situons, et durant cette période, la Terre a un peu avancé sur son orbite autour du soleil : un méridien donné se retrouve donc en face du soleil après s'être retrouvé dans la même direction par rapport aux étoiles que la veille à midi, comme le montre le dessin ci-dessous :

 

Notre pierre, avant d'être lâchée dans le puits, est donc entraînée par la Terre qui lui communique une vitesse de rotation w par rapport aux étoiles légèrement inférieure à 1 tour par 24 heures. Cette pierre possède aussi un moment d'inertie m égal au produit de sa masse m par le carré de sa distance r au centre de son mouvement de rotation, c'est à dire le centre de la Terre. Son moment cinétique est donc égal à w x m, ou encore w x m x r2.

Une fois lâchée, la pierre va bien évidemment tomber au fond du puits. Ce faisant, sa distance r au centre de la Terre va diminuer, et donc son moment d'inertie m va diminuer aussi. Si la pierre descendait en chute libre en suivant la verticale, donnée par exemple par un fil à plomb, sa vitesse de rotation w par rapport aux étoiles lointaines (référentiel galiléen) resterait inchangée et par conséquent, son moment cinétique, produit de cette vitesse de rotation w par son moment d'inertie m, devrait diminuer puisque m diminue lorsque la pierre de rapproche du centre de la Terre. Mais dans ce cas, la loi de conservation du moment cinétique serait mise en défaut! Pour rattraper le coup, il faudrait compenser la diminution du moment d'inertie de la pierre du à son rapprochement du centre de la Terre par une augmentation de sa vitesse de rotation par rapport aux étoiles afin de garder constant son moment cinétique mesuré dans un référentiel galiléen, de la même façon que la vitesse de rotation du patineur augmente lorsqu'il ramène ses bras le long du corps. Et de fait, c'est bien ce qui se passe : la trajectoire de la pierre n'est pas exactement verticale mais se trouve déviée vers l'est par une force qui lui communique une composante de vitesse venant s'ajouter à celle de rotation de la Terre, et qui compense exactement la diminution du moment d'inertie de manière à respecter la loi de conservation du moment cinétique. Cette force est appelée "Force de Coriolis".

 

La force de Coriolis est donc la force d'inertie qu'un observateur, placé dans un référentiel en rotation par rapport à un référentiel galiléen, doit introduire pour expliquer la déviation de trajectoire d'un objet se déplaçant à une vitesse v dans une direction qui fait varier sa distance à l'axe de rotation.

Remarquons ici qu'à cette force de Coriolis Fc on peut faire correspondre, grâce au Principe Fondamental de la Dynamique, une accélération gc, dite "accélération de Coriolis" et égale à Fc/m.

Une autre remarque importante concernant cette force (ou accélération) est qu'à la différence de la force centrifuge décrite un peu plus haut, l'accélération de Coriolis ne se manifeste que pour des solides en mouvement puisqu'elle a pour but de compenser la variation de moment cinétique due à leur variation de moment d'inertie engendrée par leur déplacement dans le référentiel tournant.

Un peu de calcul...

Il est facile de calculer la valeur de l'accélération de Coriolis dans l'exemple présenté plus haut. Ceux qui seraient effrayés par quelques équations peuvent sauter ce chapitre.

Pour cela, notons m la masse de la pierre, w sa vitesse angulaire d'entraînement due à la rotation de la Terre, R0 la distance de la pierre au centre de la Terre à un moment donné t0 de sa chute. Appelons aussi respectivement v0 et et M0 sa vitesse et son moment cinétique à cet instant. De part la définition du moment cinétique présentée plus haut, nous savons que M0 = m.R02.w.

Laissons s'écouler un petit intervalle de temps que nous noterons dt et regardons ce qui est arrivé à notre pierre. Elle s'est déplacée en direction du centre de la Terre d'une distance que nous appellerons dR et se trouve donc maintenant à la distance R0 - dR de celui-ci. Son moment d'inertie à cet instant ne vaut plus que m.(R0 - dR)2 : comme son moment cinétique ne doit pas avoir changé, il est nécessaire que sa vitesse angulaire ait augmenté d'une valeur que nous appellerons dw. Son moment cinétique à l'instant t0+dt vaut donc M1 = m.(R0 - dR)2.(w + dw).

La loi de conservation du moment cinétique stipule que M0 = M1, soit encore :
m.R02.w = m.(R0 - dR)2.(w + dw)

Cette équation doit nous permettre de calculer dw : en fait, ce n'est pas exactement lui qui nous intéresse, mais la composante dvc de la vitesse qui correspond à cette augmentation de la vitesse angulaire de la pierre, et qui vaut dvc = (R0 - dR).dw. Ainsi, l'équation ci-dessus peut aussi s'écrire :
m.R02.w = m.(R0 - dR)2.(w + dvc / (R0 - dR))

soit encore :
dvc =w.(R02 - (R0 - dR)2) / (R0 - dR)

d'où, en développant l'identité remarquable du numérateur :
dvc =w.(R0 - R0 + dR)(R0 + R0 - dR) / (R0 - dR)

qui conduit à :
dvc =w.dr.(2R0 - dR) / (R0 - dR)

On fait alors apparaître au numérateur et au dénominateur un développement limité au premier ordre en factorisant respectivement 2R0 et R0 :
dvc =w.dr.2R0(1 - dr / 2R0)/(R0(1 - dr / R0))

Le terme dr / R0 étant petit devant 1, il en résulte que 1 / (1 - dr / R0) # 1 + dr / R0 et notre équation devient :
dvc =2w.dr(1 - dr / 2R0).(1 + dr / R0)

et en éliminant les termes en puissance de dR/R0 supérieure à 1 qui peuvent être considérés comme négligeables, il reste :
dvc =2w.dr

Mais dr est la distance parcourue par le caillou pendant l'intervalle de temps dt du fait de sa vitesse de chute v, d'où dr=v.dt. En substituant dans l'équations précédente, il vient :
dvc =2w.v.dt

soit encore :
dvc / dt = 2w.v

Mais dvc / dt est la variation de la vitesse de la pierre dans l'intervalle de temps dt correspondant à l'incrément de vitesse angulaire dw nécessaire à la conservation de son moment cinétique : c'est donc l'accélération due à la force de Coriolis gc, si bien que finalement :

gc = 2w.v

De manière plus générale, on peut montrer que l'accélération de Coriolis est égale à :

Manifestations de la force de Coriolis

Quelques ordres de grandeur

Sous nos latitudes, l'accélération de la pesanteur (que l'on note généralement g) vaut environ 9,81 m.s-2.L'accélération correspondant à la force centrifuge vue plus haut, dite aussi accélération d'entraînement , vaut quant à elle 0,0227 m.s-2 (dirigée dans le sens opposé à la gravitation), soit environ 0,23% de g. L'accélération de Coriolis, pour sa part, dépend de la vitesse du solide par rapport à la Terre, tant par sa direction que par son intensité. Pour qu'elle atteigne un niveau comparable à l'accélération d'entraînement, il faudrait que le solide soit animé d'une vitesse de plus de 550 km/h dans la direction qui rend maximum le produit vectoriel , c'est à dire vers l'est ou vers l'ouest. Dans ces conditions, on comprend bien que dans la plupart des cas, les accélérations d'entraînement et de Coriolis peuvent être négligées.

L'effet de l'accélération de Coriolis, qui nous intéresse plus particulièrement ici, peut néanmoins être mis en évidence par deux expériences très classiques : la déviation vers l'est dont nous avons déjà parlé et la rotation du plan d'oscillation du pendule de Foucault.

La déviation vers l'est dans la chute libre

Le phénomène décrit de manière qualitative au §5 et mis en équation au §6 a réellement été observé. La première expérience en ce sens a été réalisée par l'astronome français Jean Dominique Cassini à la fin du 17eme siècle dans un puits de l'Observatoire de Paris dont il était le directeur, mais sans résultat probant semble-t-il. Elle n'a été réussie pour la première fois qu'en 1831 par Reich (?) à Freybourg (latitude = 51°), dans un puits de mine où, pour une hauteur de chute de 158m, la déviation a été mesurée égale à 28mm, en accord avec la théorie. En 1903, Camille Flammarion l'a refaite avec des billes d'acier lâchées du haut de la coupole du Panthéon (latitude = 48°51', hauteur = 68m) et a mesuré une déviation vers l'est de 7,6mm là encore en parfait accord avec la valeur théorique de 8mm. En 1912 enfin, une expérience a été menée au Vatican avec une machine d'Atwood de 23m de hauteur, mais je n'en sais pas plus, désolé.

Le pendule de Foucault

Il ne s'agit pas ici du roman de Umberto Ecco, mais plutôt de la célèbre expérience à laquelle son titre fait référence, et qui consiste à observer l'orientation du plan d'oscillation d'un pendule par rapport à un référentiel tournant tel que la Terre. Son interprétation est un peu plus subtile que celle du phénomène de déviation vers l'est dans la chute libre puisqu'elle fait appel aux effets gyroscopiques.

Supposons pour simplifier les choses que l'expérience est réalisée au pôle nord. Le point d'attache du pendule étant situé sur l'axe de rotation de la Terre, il reste fixe dans un référentiel galiléen. Le pendule oscille alors dans un plan fixe par rapport à ce référentiel galiléen : pour un observateur terrestre, ce plan semble donc effectuer 1 tour en 23h56'. Pour expliquer cette rotation du plan d'oscillation du pendule, notre observateur terrestre doit faire appel à la force de Coriolis qui apparaît dès qu'un corps est en mouvement par rapport à un référentiel tournant, ce qui est bien le cas ici. Cette force s'applique perpendiculairement au plan d'oscillation, et est dirigée vers la droite lorsque l'on regarde dans la direction de la vitesse. Comme cette vitesse change de sens à chaque oscillation, il en est de même pour la force de Coriolis qui s'exerce sur notre pendule : à l'aller, elle "tire" la masse oscillante d'un côté, au retour elle la tire de l'autre, et cet effort, donc la déformation de la trajectoire du pendule, est maxi lorsque sa vitesse est maxi, c'est à dire lors du passage à la verticale. Dans ces conditions, cette trajectoire ne devrait pas être plane mais légèrement elliptique, et c'est effectivement ce que l'on observe.

 

Mais cela n'explique pas la rotation du grand axe de cette ellipse autour d'un axe vertical!. En réalité, la clef du mystère tient dans le fait que le pendule décrit un mouvement de rotation autour de son point d'attache et peut par conséquent être considéré comme un gyroscope qui change de sens de rotation à chaque oscillation.

Un gyroscope est constitué d'une masse en rotation, comme par exemple une toupie. Son comportement est tout à fait singulier : que l'on exerce un effort pour faire pivoter son axe de rotation et cet axe pivotera effectivement ... mais dans une direction perpendiculaire à celle souhaitée! Considérez par exemple une roue de moto : c'est un gyroscope dont l'axe de rotation est horizontal, orienté perpendiculairement à la route. Si l'on exerce un effort sur le guidon, c'est à dire si l'on essaie de faire tourner l'axe de rotation de la roue autour d'un axe vertical, la roue réagira mais en pivotant autour d'un axe horizontal orienté dans l'axe de la route : la moto s'incline sur le côté.

En ce qui concerne notre pendule, c'est la même chose : il ne s'agit ni plus ni moins que d'un gyroscope dont l'axe de rotation est horizontal, orienté perpendiculairement à son plan d'oscillation, et dont le sens de rotation change périodiquement. La force de Coriolis exerce un effort perpendiculaire au plan d'oscillation de notre pendule, qui tend à vouloir faire pivoter celui-ci autour d'un axe horizontal et contenu dans ce plan d'oscillation. Le pendule réagit alors comme tout bon gyroscope qui se respecte, en faisant effectivement pivoter son plan d'oscillation ... mais autour d'un axe vertical. Le sens de pivotement de ce plan dépend non seulement du sens d'application de la force de Coriolis, dont on a vu qu'il changeait à chaque oscillation, mais aussi du sens de rotation du gyroscope, qui lui aussi s'inverse à chaque oscillation, si bien que finalement, le plan d'oscillation du pendule pivote autour d'un axe vertical dans le même sens pour les oscillations "aller" et pour les oscillations "retour" : il fait ainsi un tout sur lui même en 23h56' par rapport à un observateur terrestre. Bien évidemment, un observateur lié à un référentiel galiléen verrait battre le pendule toujours dans le même plan.

Si l'on répète l'expérience sous des latitudes plus raisonnables, alors la force de Coriolis diminue puisque la vitesse du pendule tend à s'orienter parallèlement à l'axe de rotation de la Terre au fur et à mesure que l'on se rapproche de l'équateur (la valeur du produit vectoriel est maximale lorsque et sont perpendiculaire, comme c'était le cas au pôle nord, et nulle lorsque et sont parallèles comme c'est le cas à l'équateur. Puisque la force de Coriolis diminue, la vitesse de rotation du plan d'oscillation du pendule diminue elle aussi. Ainsi, à Toulouse, le plan d'oscillation du pendule fait un tour sur lui même en 35h42' environ.

L'expérience a été pour la première fois réalisée par Léon Foucault en 1850 dans une cave avec un pendule de 2m de long, puis en 1852 sous la coupole du Panthéon, à Paris (latitude = 48,51°) avec un pendule cette fois constitué d'une masse de 30kg suspendue à un câble de 67m de long. A chacune de ses oscillations, d'une amplitude de 3m, le point extrême de balancement se déplaçait de 2,7mm, ce qui correspond à une vitesse de rotation de son plan d'oscillation d'un tour en 31h50' environ, en parfait accord avec la théorie. L'expérience a été renouvelée par Camille Flammarion en 1902 à l'occasion du cinquantième anniversaire de l'expérience de Foucault. J'ai personnellement eu l'occasion de la voir réalisée à Toulouse il y a quelques années, sous la coupole de l'église de l'hôpital de la Grave.

Le sens de rotation des cyclones et anticyclones

Les particules d'air qui composent l'atmosphère subissent elles aussi, en se déplaçant, la force de Coriolis : pour elles, cette force n'est pas négligeable devant les autres forces qui lui sont appliquées, à savoir essentiellement les forces de pression et les forces de viscosité. Dans l'hémisphère nord, une telle particule qui, aspirée par une dépression, se dirige vers le nord à altitude constante, donc en suivant la courbure de la Terre, se rapproche de son axe de rotation et voit donc son moment d'inertie diminuer. Pour garder constant son moment cinétique, sa vitesse de rotation autour de l'axe de notre planète doit augmenter et elle se voit donc déviée vers l'est par la force de Coriolis pour aller plus vite que la Terre. Pour cette raison, les masses d'air dans notre hémisphère circulent au voisinage des dépressions en leur tournant autour dans le sens des aiguilles d'une montre; dans l'hémisphère sud, c'est bien évidemment le contraire. Ce phénomène explique la fameuse "règle des 5 D" connue de tous les pilotes de l'hémisphère nord : Dérive Droite, Dépression Devant, Danger (lorsque l'avion se dirige vers une dépression, non seulement il risque de rencontrer des conditions climatiques peu favorables, mais en outre pour une même valeur indiquée sur son altimètre -qui n'est en fait qu'un baromètre- son altitude réelle par rapport au relief va diminuer).

Où il est question de lavabos...

Dans le cas des mouvements de l'atmosphère à grande échelle, la force de Coriolis n'est pas négligeable et provoque les effets mentionnés plus haut. Mais contrairement à une croyance tenace, il n'en est pas de même, loin s'en faut, pour l'écoulement de l'eau dans les lavabos. Celui-ci est en effet très sensible à la moindre vitesse initiale, même très faible, si bien que la force de Coriolis n'a pratiquement aucune influence sur le sens de rotation du tourbillon lors de la vidange. Pour tenter néanmoins de mettre en évidence cet effet, une expérience a été montée aux États Unis il y a quelques années. Le processus opératoire était très rigoureux : il consistait à remplir d'eau un grand bassin symétrique percé en son centre d'un trou circulaire et à attendre plusieurs heures que l'eau se stabilise; de plus, le bassin était couvert afin d'éviter qu'un courant d'air ne vienne tout gâcher. La bonde était alors enlevée par dessous, toujours pour éviter de créer des remous perturbateurs. Finalement, le tourbillon s'est bien enroulé dans le sens prévu par la théorie (c'est à dire dans le sens des aiguilles d'une montre), mais les expérimentateurs remarquèrent que ce phénomène pouvait être dû à bien d'autres sources de dissymétrie que la force de Coriolis (irrégularités de surface du bassin par exemple). Pour que l'expérience soit concluante, il aurait fallu la renouveler avec le même bassin, dans les mêmes conditions, mais dans l'hémisphère sud, ce qui n'a jamais été fait. Néanmoins, une expérience de ce genre a bien été tentée par un physicien britannique du nom de Franck Close. Dans son livre Asymétrie : la beauté du diable, l'auteur explique comment il a essayé un jour de remplir puis de vidanger plusieurs fois le lavabo des toilettes d'un avion qui le conduisait d'un hémisphère à l'autre mais que le système d'aspiration de l'eau était trop violent pour que le résultat soit probant.

Le même auteur raconte qu'au cours d'un voyage au Kenya, il a rencontré un charlatan qui faisait pour les touristes ce genre d'expérience au moyen d'un bidon rouillé percé d'un trou qu'il vidangeait une première fois à 20m au nord de la ligne d'équateur, et une seconde fois à 20m au sud de cette ligne. Il n'a jamais pu savoir comment il s'y était pris : toujours est-il que le sens du tourbillon s'était bel et bien inversé et correspondait à chaque fois à la prédiction de la théorie. Compte tenu de la rusticité de son matériel et de la très faible valeur de la force de Coriolis à 20m de l'équateur, on comprend bien qu'il y a un truc.

Conclusion

En définitive, cette force de Coriolis, comme toutes les forces d'inertie, est bien réelle même si elle se manifeste parfois là où on ne l'attend pas et même si elle se manifeste pas toujours là où on l'attend.
Elle s'exerce sur les masses en mouvements par rapport à un référentiel en rotation par rapport à un référatiel galiléen, et constitue même un moyen de mesurer cette vitesse de rotation.
Ainsi, autant il était impossible pour le passager enfermé dans la cale sans hublot de notre navire, de savoir si son bateau etait parti ou s'il était toujours amarré à quai, autant il lui est facile de déterminer si ce bateau se déplace ou non sur une trajectoire non rectiligne : s'il ne ressent pas la force centrifuge comme la ressentent les passagers d'une voiture dans un virage en raison de la faible vitesse du navire, il pourra toujours observer le plan d'oscillation d'un pendule.