Composition de convolutions
.f est l’image de départ.
.g est la convoluée de f par la matrice filtre m.
.h est la convoluée de l’image g par la matrice n.
On écrit : h = g*n et g = f*m
On note f(i,j) la valeur du pixel (i,j) de l’image f.
On note g(k,l) la valeur du pixel (k,l) de l’image g.
On note h(m,n) la valeur du pixel (m,n) de l’image h.
avec 
avec
les notations m= 
conformément
aux numérotations de pixels dans une image.
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Calcul des termes de la matrice p(J,K) dans Excel :
L’élément 0 de la matrice p(J,K) est la "sommeprod" des matrices mises en noir ci dessus.
Attention, il ne s’agit pas du produit des matrices au sens mathématique mais de le somme des produit des termes de même place des deux tableaux.
Commençons par l’opération de dérivation.
La matrice 3X3
donne au pixel (k,l) la valeur g(k,l)=-1.f(k,l)+1.f(k+1,l)
c’est bien le nombre dérivé de la fonction [x®f(x,y)] en x=k.
Son effet sera donc de dériver l’image suivant la direction des lignes, c’est à dire de détecter les variations d’éclatement dans l’image suivant cette direction horizontale.
Si on applique cette matrice deux fois consécutivement sur l’image on fait la convolution de cet opérateur avec lui même et le fichier Excel nous donne pour matrice résultante :
C’est la dérivation seconde de l’image suivant l’axe des abscisses.
f’(x)=f(x+1)-f(x)
f’(x+1)=f(x+2)-f(x+1)
f”(x)=f’(x+1)-f”(x)=(f(x+2)-f(x+1))-(f(x+1)-f(x))=f(x+2)-2f(x+1)+f(x)
On reconnaît ce que fait la matrice 5x5 ci-dessus.
On peut aussi composer une dérivation suivant x suivie d’une dérivation suivant y.
Donc composer avec 
qui donne 
On observe que la composition est
commutative dans ce cas.
Le pixel (k,l) prend alors la valeur g(k,l)= f(k,l)-f(k+1,l)+f(k+1,l+1)-f(k,l+1) on reconnaît
.
La détection des bords est maintenant bi-directionnelle.
On peut préférer
utiliser la matrice
.
Elle donne pour
le pixel (k,l) : 
Ou 
qui donne au pixel (k,l) la valeur 
.
La détection des bords est bi-directionnelle et le rendu agréable.
Les logiciels de traitement d’images proposent un opérateur dit filtre laplacien.
Son effet sur un
pixel blanc isolé 
permet d’en lire la matrice .
(La teinte grise indique le niveau zéro dans l’image ci-dessus).
est appelé le laplacien de f en (k,l).
Il permet un excellent tracé des contours de l’image mais provoque l’apparition de bruit sur l’image.
Son application deux fois consécutives peut avoir pour cette raison des effets ravageurs.
La matrice résultante
est alors 
.
On lui préfère
souvent pour cette raison un filtre de Sobel ou un de ses dérivés, par exemple:
qui donne un effet d'ombre portée avec un éclairage en lumière rasante provenant
du coin supérieur gauche de l'image.
Et pour aller plus loin...
Dérivation d'une image...et autres filtres