Matrices de Jones

Matrice de rotation et changement de base.

Le plan est rapporté à un repère appelé ancien repère (en noir) et à un nouveau repère (en bleu) . Un vecteur  a pour coordonnées  dans le repère ancien ancienRepèreet pour coordonnées  dans le repère nouveau nouveauRepère.
Le repère nouveau se déduit du repère ancien par la rotation d’angle théta (t sur la figure Géoplan).

La matrice de cette rotation dans la base ancienne s’écrit colonne par colonne en donnant les coordonnées des nouveaux vecteurs I et J  dans l’ancienne base . Soit la matrice

Elle sert à exprimer les anciennes coordonnées du vecteur   en fonction des nouvelles.

                           

Bien sûr, on a réciproquement :

        

Action sur la figure: Dés que la figure est active (clic à gauche sur la figure) on peut régler l'angle (oI,oI') au clavier avec les touches gauche/droite ou en déplaçant le point F à la souris. On peut aussi déplacer le point M à la souris. Les coordonnées de M s'affichent dans les deux repères R et R'.

Matrice de Jones d'une lame biréfringente et d'un polariseur.

Tout signal polarisé pur en un point M(z) d'un axe peut être représenté par une somme de deux états dans la base .
Ax est un réel positif, l'amplitude de la vibration suivant ox. w est la pulsation, t le temps,delta x est la phase, et k.z le déphasage correspondant à l'abscisse z positive dans le sens de la propagation de l'onde et k le coefficient de proportionnalité dépendant de l'unité de longueur utilisée.

Chacune des vibrations est représentée par une fonction complexe du temps.
Ceci facilite les calculs et la syntaxe mathématique. La fonction exponentielle ayant des propriétés algébriques qui facilitent les calculs des produits.

Les partie réelle de chacune des fonctions complexes Ex et Ey représente l'élongation de ces vibrations en M(z) à l'instant t, telles que nous les avons rencontrées au cours des chapitres précédents, suivant les axes de coordonnées ox et oy.

On peut écrire l'égalité précédente sous la forme d’un vecteur colonne appelé vecteur de Jones.

On omet souvent la dépendance en z et t et on note seulement, comme dans la construction géométrique de Fresnel où seule la phase de la vibration apparait.

C’est le vecteur de Jones le plus général pour une lumière entièrement polarisée.

L’intensité du signal est donnée par:

C'est le carré du module de E.

Quelques exemples.

  • Une lumière polarisée horizontalement (direction du vecteur ) est donnée par :
    ou parfois si seul l'état de polarisation est utile :
    La composante suivant oy est nulle.

 

  • Une lumière polarisée verticalement (direction du vecteur ) est donnée par :
    ou bien
    C'est maintenant la composante suivant ox qui est nulle.

  • Une lumière polarisée linéairement à 45 degrés de l’axe horizontal est donnée par :

                                       ou bien  


  • Une lumière polarisée circulairement droite (sens aiguilles)

                                       ou bien


  • Une lumière polarisée circulairement gauche (sens inverse aiguilles)

                                       ou bien


Matrices de Jones de quelques composants optiques.

  • Polariseur linéaire horizontal (direction du vecteur ) :

Il laisse passer une lumière horizontale

 d’où a=1 et b=0

Il éteint complètement une lumière verticale

 d’où c=0 et b=0

Finalement la matrice de Jones s’écrit


  • Polariseur vertical (direction du vecteur ) :

Matrice de Jones


  • Polariseur linéaire orienté à +45 degrés du vecteur  :

Matrice de Jones


  • Polariseur linéaire orienté à -45 degrés du vecteur  :

Matrice de Jones  


  • Lame quart d’onde, axe rapide vertical :

Matrice de Jones 


  • Lame quart d’onde, axe rapide horizontal :

Matrice de Jones 



  • Polariseur circulaire droit :

Matrice de Jones 


  • Polariseur circulaire gauche :

Matrice de Jones 

 

Cas du filtre de Lyot.

Polariseur d’entrée de matrice  délivrant en sortie un vecteur

Lame biréfringente orienté à 45° du polariseur, axe lent sur la première bissectrice du repère de départ donnant un déphasage de j .

                  

Le vecteur de Jones en sortie est donc

                                              

et après le polariseur de sortie

                                              

d’amplitude complexe

L’intensité en sortie du premier étage est égale au carré de la partie réelle du vecteur de sortie que nous venons d’obtenir, soit

                           

A la sortie des deux premiers étages, la seconde lame étant deux fois plus épaisse que la première,

                           

A la sortie de n étages, chaque lame étant deux fois plus épaisse que la précédente

                  

l’amplitude complexe en sortie du n-ième étage s’écrit

        

d’où                            

  .