Composition de vibrations

Vibration sinusoïdale.

Pour qu'il y ait ce que nous appelons une
vibration, il suffit qu'il y ait une grandeur, de nature physique quelconque, susceptible d'être représentée par une fonction sinusoïdale du temps t.

x(t)=a*sin(wt)

w est la pulsation de la vibration.
Action sur la figure: Dés que la figure est active (clic à gauche pour l'activer) elle est entourée d'un liseré bleu.
On peut faire varier l'amplitude de la vibration à la souris en déplaçant A1 et le retard de phase f1 (en radians) de la vibration oM1 par rapport à oM par les touches droite/gauche du clavier ou en déplaçant le point F avec la souris. Les points M et M1 sont confondus si f1=0 et les vibrations sont en phase. Les points M et M1 sont l'un en A1 et l'autre en o à l'instant t=0 si f1=pi/2, les vibrations sont en quadrature il en est de même si f1=-pi/2 mais alors M est en 0 lorsque M1 est en A1. Les points M et M1 sont en A1 et A'1 respectivement à l'instant t=0 lorsque f1=pi ou -pi, les vibrations sont en opposition de phase. Noter aussi que la vitesse est maximum lorsque le point passe par l'origine et qu'elle est nulle à l'élongation maximum.

Composition de deux vibrations rectangulaires.

Soit à composer deux vibrations sinusoïdales représentées par deux vecteurs oH et oK dirigés suivant les deux directions orthogonales ox et oy d'un repère cartésien. L'amplitude de la vibration oH est a1 et celle de oK est a2.


Le vecteur somme, oM=oH+oK a pour projection sur ox et oy les vecteurs oH et oK respectivement.


La trajectoire du point M est une ellipse. On dit que la vibration résultante est elliptique. Quelle que soit la valeur du retard de phase f de la composante verticale sur la composante horizontale l'ellipse est toujours inscrite dans le rectangle ABCD dont les demi-côtés sont parallèles aux axes du repère et ont pour longueur a1 et a2. Pour une différence de phase nulle, la vibration résultante est rectiligne, dirigée suivant la première diagonale du rectangle. A mesure que la différence de phase augmente, on obtient des ellipses gauches de plus en plus renflées, jusqu'à obtenir, pour un retard égal à 1/4 de période, une ellipse ayant pour axes les axes des vibrations composantes. Pour un retard égal à une demi-période, la vibration est à nouveau rectiligne et est symétrique par rapport aux axes de coordonnées de la vibration rectiligne précédente.
Les différences de phase négatives donnent des ellipses droites de manière tout à fait semblable.L'ellipse a pour axes les axes des vibrations composantes quand le retard de phase est égal à -1/4 de période.
Action sur la figure: Dés que la figure est active (clic à gauche pour l'activer) elle est entourée d'un liseré bleu.
On peut régler à la souris les amplitudes des deux vibrations rectangulaires et le retard de phase fd (en degrés de -180 à 180) de la vibration oK par rapport à la vibration oH avec les touches droite/gauche du clavier ou en déplaçant le point F à la souris.

Décomposition d'une vibration elliptique en deux composantes rectangulaires.

Une vibration elliptique est définie par l'ellipse parcourue par le point M, par le sens de parcours et par la période du mouvement T.

La vibration elliptique peut être considérée comme résultant de la composition de deux vibrations d'amplitudes a1 et a2 dirigées suivant les axes ox et oy respectivement et présentant entre elles une différence de phase de pi/2: la vibration y retarde d'un quart de période sur la vibration x si l'ellipse est gauche, elle avance d'un quart de période si l'ellipse est droite.

Cette vibration elliptique peut aussi être décomposée en deux vibrations rectangulaires dirigées suivant deux axes oX' et oY' quelconques: le vecteur OM résultante des vecteurs oH et oK peut aussi être considéré comme la résultante des vecteurs oH' et oK'. Ces vecteurs se calculent par la formule de changement de coordonnées en utilisant le réel alpha mesure de l'angle(ox,oX').

On obtient ainsi deux vibrations sinusoïdales d'amplitudes a'1 et a'2. Comme la vibration elliptique résultant de leur composition est nécessairement inscrite dans un rectangle de côtés 2*a'1 et 2*a'2 on obtient facilement les valeurs a'1 et a'2.

Une construction de Fresnel permet d'obtenir le retard de phase F de la composante Y' sur la composante X'.

a'1*a'2*cos(F)=(a2^2-a1^2)*sin(alpha)*cos(alpha).

Action sur la figure: Dés que la figure est active (clic à gauche pour l'activer) elle est entourée d'un liseré bleu.
Faire tourner le repère oX'Y' à l'aide de la souris en saisissant et déplaçant le point X'.

Composition de deux vibrations rectangulaires de même amplitude.

Dans le cas où les deux vibrations x et y ont même amplitude l'ellipse décrite par le point M est inscrite dans le carré de côté 2a. Si la vibration y retarde de phi sur la vibration x , on a:

x=a*cos(wt) et y=a*cos(wt-phi)
L'ellipse résultante a pour équation
x^2-2.x.y.cos(phi)+y^2=a^2.sin^2(phi)

Les axes de l'ellipse sont toujours les bissectrices oX et oY des axes ox, oy. La vibration elliptique peut être considérée comme composée des deux vibrations orthogonales X et Y comme dans la figure précédente. Ces deux vibration présentent entre elles une différence de phase de pi/2 et leur amplitude est de

A=a.rac(2).cos(phi/2) et B=a.rac(2).sin(phi/2)

La forme de l'ellipse varie avec la différence de phase phi.
Pour phi=0, la vibration est rectiligne et dirigée suivant la première bissectrice des axes.
Pour phi=+/-pi la vibration est rectiligne et dirigée suivant oY.

Lorsque phi est compris entre 0 et pi, l'ellipse est gauche.
Pour phi compris entre -pi et 0 l'ellipse est droite.

Pour phi=pi/2 l'ellipse admet pour axes les axes ox et oy et l'ellipse se réduit à un cercle. La vibration est circulaire gauche.
Pour phi=-pi/2 la vibration est circulaire droite
Action sur la figure: Dés que la figure est active (clic à gauche pour l'activer) elle est entourée d'un liseré bleu.
Faire varier phi=f1 au clavier avec les touches droite/gauche.

Composition de deux vibrations circulaires.

Lorsqu'on veut composer deux vibrations elliptiques, on les décompose toutes deux suivant deux axes rectangulaires; on fait la somme des vibrations obtenues sur chaque axe; on obtient ainsi deux vibrations rectilignes rectangulaires dont la composition fournit l'ellipse résultante.

Dans le cas particulier des vibrations circulaires on a avantage à faire la composition directement.

Considérons d'abord deux vibrations circulaires de même sens, gauche par exemple. Leur composition s'effectue par addition vectorielle comme d'habitude suivant la règle de Fresnel.
Le parallélograme oM1MM2 est indéformable et tourne dans le même sens que les deux vibrations composantes. Les retards de phase de la vibration oM par rapport aux deux vibrations composantes sont données par les mesures des angles (oM,oM1) et (oM,oM2).
Action sur la figure: Dés que la figure est active (clic à gauche pour l'activer) elle est entourée d'un liseré bleu.
On peut aussi faire varier les rayons des cercles à la souris et le retard de phase f de oM2 par rapport à oM1 au clavier avec les touches droite/gauche.
Considérons au contaire deux vibrations circulaires de sens inverses et supposons d'abord qu'elles ont la même amplitude: elles correspondent à deux vecteurs de même longueur a, tournant en sens inverse avec la même vitesse angulaire. La vibration résultant de la composition de deux vibrations circulaires égales et de sens inverses est une vibration rectiligne d'amplitude 2a.
Supposons que, sans toucher la vibration gauche M1 nous retardions la vibration droite M2 d'un angle phi. La vibration rectiligne résultante conserve la même amplitude a, et tourne d'un angle phi/2 dans le sens de la vibration avancée. Cherchons maintenant à composer deux vibrations circulaires inverses d'amplitudes inégales:soient a1 et a2 les longueurs des vecteurs tournants oM1 et oM2. La résultante oM des deux vecteurs inégaux oM1 et oM2 ne peut jamais être nulle: la vibration résultante est elliptique. Les demi-axes de l'ellipse sont: A=a1+a2 et B=a1-a2 (ou a2-a1) Les dimensions de l'ellipse résultante sont indépendantes des phases des deux vibrations composantes. L'ellipticité c'est à dire rapport A/B des axes et donc la forme de l'ellipse ne dépend que du rapport des deux amplitudes a2/a1. La vibration elliptique résultante est de même sens que la vibration circulaire de plus grande amplitude. Si l'on retarde une des vibrations composantes d'un angle phi l'ellipse tourne sans se déformer d'un angle phi/2, en sens inverse du sens de la rotation de la vibration retardée.
Action sur la figure: Dés que la figure est active (clic à gauche pour l'activer) elle est entourée d'un liseré bleu.
On peut régler à la souris les amplitudes des deux vibrations circulaires composantes et régler le retard de phase f de oM2 par rapport à oM1au clavier avec les touches droite/gauche. L'angle p=(ox, oX') est affiché et il est bien égal à la moitié du retard de phase f. Il est instructif de reprendre la lecture du commentaire de la figure en agissant sur les données pour bien voir ce qu'il se passe.