À propos des incertitudes sur la distance

[Bruno- 3 967]

Bonjour à tous ! J'ai besoin de votr aide... Je ne sais pas comment on calcule l'incertitude des distances des étoiles.

 

Exemple : 22 Orionis a une parallaxe de 2,30 ± 0,74 mas. Naïvement, je me dis que la parallaxe est donc comprise entre 1,56 et 3,04 mas, ce qui donne une distance compris entre 329 et 641 pc. La distance donnée par les 2,30 mas est de 435 pc mais n'est pas centrée entre 329 et 641. Mais je crois que le ± 0,74 est plus ou moins un écart-type donc c'est en fait plus compliqué...

 

Avec ces valeurs (2,30 ± 0,74 mas), vous calculez comment la distance ± incertitude ?

Modifié 17 septembre 2018 par Bruno-

[edubois3 116]

Bonjour Bruno-,

Bonjour à tous !!

 

Non, quand on dit que l'incertitude est de ± 0,74 mas, cela signifie que la largeur de la fourchette des valeurs est de 0.74 mas, donc 0.37 mas de chaque côté.

Sur ton exemple, cela fait donc un intervalle de valeurs entre 1.93 et 2.67.

 

Pour ton calcul, le résultat n'est pas 435 pc, mais 485 pc, pile poile au milieu des 2 valeurs extrêmes, donc tout va bien .

 

Bons cieux,

 

Éric

Modifié 17 septembre 2018 par edubois3

[FroggySeven 182]

Bah moi je trouve bien 435 pc.

 

Le décentrement de la valeur la plus probable par rapport aux valeurs extrêmes possibles,

quand on passe de l'angle d'observation à la distance, est normal.

Il vient de ce que la fonction inverse n'est pas affine.

 

 

Modifié 17 septembre 2018 par FroggySeven

[Kirth 4 246]

Je trouve aussi 435pc.

[Toutiet 1 969]

Tout à fait FroggySeven.

 

Pour répondre à Bruno :

Pour prendre une exemple plus simple, quand on prend la valeur 10 à 1 unité prés (10+/-1), les extrêmes sont 9 et 11 (le milieu est bien 10)

Mais quand on prend les inverses (ce qui est le cas pour le calcul de la distance), on se trouve en présence de 1/9 et 1/11. ET là, la demi-somme n'est pas 1/10.

(1/9 + 1/11)/2 = {(11 + 9)/ 99}/2 =  10/ 99 et non pas 10/100 (ou 1/10) comme on aurait pu s'y attendre.

C'est exactement ce qui se passe avec tes valeurs de parallaxes et les distances (inverses) correspondantes  .

Modifié 17 septembre 2018 par Toutiet

[Bruno- 3 967]

Je comprends bien que la fonction inverse n'est pas linéaire ! Ce n'était pas ça le but de ma question (je me suis mal expliqué...) Le but est de calculer la précision sur la distance à partir de la précision sur la parallaxe. Je sais que les astronomes, eux, donnent des valeurs distance ± précision, donc avec une distance centrée. Comment font-ils ?

 

Il me semble que la précision vient d'un écart-type (donc on ne doit pas la diviser par 2, à moins qu'EDubois donne des arguments convaincants...) Mais que devient l'écart-type lorsqu'on passe à l'inverse ? C'est plutôt ça ma question.

 

Exemple : Spica, d'après Wikipédia :

− parallaxe = 13.06 ± 0.70 mas

− distance = 77 ± 4 pc

Je trouve bien le 77, mais comment est calculé le 4 ? (Naïvement, je dirais que la parallaxe est comprise entre 12.36 et 13.76, donc la distance entre 73 et 81... ah oui, ça marche ! (et sans diviser par deux). Mais c'est parce que la précision est petite devant la parallaxe, du coup l'inverse est presque linéaire.

 

Mais comment font-ils lorsque la parallaxe est plus petite ? Il faudrait une étoile plus lointaine...

Ah, j'ai trouvé ! Pour Bételgeuse, Wikipédia donne :

− parallaxe = 4.51 ± 0.80 mas (donc pour moi : distance = 188 à 270 pc "centrée" sur 222)

− distance = 222 -34/+48 pc (ça marche !)

 

Donc on n'utilise pas un simple ± ? (Après, l'article Wikipédia n'a pas forcément été rédigé par un pro qui sait faire le calcul des incertitudes ?)

 

[FroggySeven 182]

Il y a 2 heures, Bruno- a dit :

Comment font-ils ?

AMHA ils simplifient le problème que tu as très bien décrit.

Ils se contentent de calculer les bornes, et ils communiquent sur la moyenne de ces bornes + - une distance de précision,  parce qu'ils veulent communiquer dans les tables avec seulement deux nombres.

Si on veut se rapprocher de la réalité, il faut regarder la densité de probabilité ( à partir de laquelle on ferait d'éventuels calculs d'écart-type ). Si elle est probablement une belle gaussienne bien symétrique pour l'angle de parallaxe, n'a absolument aucune raison d'être symétrique pour la distance (puisque la précision augmente quand la distance diminue).

 

 

chti détail : la tangente à une courbe en un point représente une fonction affine, pas linéaire.

 

------------------EDIT

ça ne change pas la médiane (on a autant de chance d'être avant ou après D)

mais ça décale vers le lointain la moyenne (tout comme la moyenne des extrêmes...

Mais je ne pense pas que les deux moyennes, "vraie" et celles des extrêmes, correspondent).

 

Modifié 17 septembre 2018 par FroggySeven

[Toutiet 1 969]

Bruno, c'est simple.

+/- 0,7 pc sur 13,06 mas représentent une variation de  +/- 5,36% de variation

+/- 5,36 % de variation sur 77 pc représentent un écart de +/- 4,13 pc

Au final, arrondi : 77 pc +/- 4 pc 

[Bruno- 3 967]

FroggySeven : merci pour les précisions ! Je pensais que c'était plus compliqué, donc probablement que non.

 

Toutiet : ah oui, pas bête ! Donc pour 22 Orionis, l'incertitude sur la parallaxe représente 32 %, et donc on pourrait écrire que sa distance est de 435±139 pc (ça donnerait comme bornes 296 à 574, au lieu de 329 à 641 comme dans mon premier calcul).

 

 

 

[Toutiet 1 969]

C'est "mathématique" ,  et l'imprécision sur la distance résulte de l'imprécision sur la parallaxe.

Si y = 1/x, dy/y = - dx/x

y est la distance recherchée compte tenu de la parallaxe x.

dx/x est l'erreur relative sur la parallaxe (en %)

dy/y est l'erreur résultante sur la distance (en %)

[edubois3 116]

Il y a 16 heures, Bruno- a dit :

à moins qu'EDubois donne des arguments convaincants...

 

Le meilleur argument que je peux donner, c'est que je me suis trompé dans mon calcul !!

[yapo 1 758]

Pour 22 Orionis, SIMBAD donne comme parallaxe : 2.8672 [0.3512] (données GAIA bien sûr)

Mais la relation avec la distance n'est pas aussi simple que d=1/p...

 

Lire à ce sujet la page suivante :

http://www.mpia.de/~calj/gdr2_distances/main.html

 

le catalogue fourni en lien dans cette page donne la valeur haute et basse réelle.

 

[Bruno- 3 967]

Toutiet : bonne remarque, j'aurais dû y penser...

 

Yapo : ah, zut, c'est plus compliqué... Merci pour la lecture ! (La donnée sur 22 Orionis venait des mesures de Hipparcos.)

[muller 417]

sinon y a la methode d'estimation des erreurs a la " Monte Carlo". Perso j'adore, tres elegant, je trouve.

Mettons qu'on veuille estimer l'incertitude sur le rapport de deux quantites mesurees A et B, chacune avec leur incertitude:

Par exemple A=20 +/- 3 et B=10 +/- 1.

Quelle est l'incertitude sur le rapport A/B ??

 

L'incertitude est en fait une probabilite que la mesure est "correcte". Si les erreurs sont gaussiennes (loi normale des grands nombres), on donne le pic de la gaussienne comme valeur la plus probable et l'incertitude est la largeur de la courbe de la distriution de probabilite, le fameux sigma dans exp(-x^2/ (2sigma^2)).

 

Dans notre exemple, on peut tirer aleatoirement (au hasard) des valeurs de realisations de A avec la probabilite gaussienne de largeur 3.

On obtient par exemple les tirages suivants: 11.5; 19.5; 15.5; 18.0; 21.0; 24.3; 27.7 ....

On fait pareil avec B, et pour chaque tirage du couple A et B, on en forme le rapport.

On iterant cela des milliers et des milliers de fois, la distribution de probabilite du rapport va emerger. Ce n'est pas gaussien, mais on peut donner la valeur telle que la probabilite d'avoir cette valeur est de plus de 99.7% par exemple (la regle des fameux 3 sigmas).

 

En faisant le Monte Carlo avec un petit programme, je trouve alors

R = A/B = 2.0 +/- 0.4 en arrondissant. Les erreurs sont pratiquement symetriques car on a une petite erreur sur B (au denominateur du rapport)

 

 

Maintenant avec A=20+/- 3 mais B=10+/-5, on obtient un distribution non symetrique et on peut alors donner le resultat A/B = 1.5  -0.6 +1.1 a 68% de confiance.

Cela veut dire que le pic de la distribution est a 1.5, et qu'en integrant l'aire de la courbe de distribution entre  les valeurs 0.9 et 2.6 on obtient 68% de chance que le tirage tombe dans l'intervalle.

 

 

 

 

[Bruno- 3 967]

Merci pour toutes ces explications ! Cela dit, pour la distance, il s'agit juste de trouver l'incertitude sur le rapport 1/A, j'imagine que ça simplifie tout ça.

 

[Toutiet 1 969]

Je t'ai donné la méthode. 

muller ne fait que l'étendre aux incertitudes relatives importantes, ce qui n'était pas vraiment le cas dans l'exemple qui t'intéressait (quelques %).

[FroggySeven 182]

Le 18/09/2018 à 11:21, yapo a dit :

Mais la relation avec la distance n'est pas aussi simple que d=1/p...

J'ai regardé ça en vitesse mais pas compris :-(