Pulsarx

Aller-retour Mars et relativité

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Bonjour à tous,

 

Petite question que je me suis posée aujourd'hui. Mes connaissances en relativité sont très limitées et j'ai toujours eu du mal avec la dilatation du temps et les équations associées.

Quelqu'un a t-il déjà calculé la "différence de temps passé" entre une personnes restée sur Terre et une autre faisant un aller-retour vers Mars avec les technologies actuelles ? Je sais que la Terre n'est pas une source énorme de champs gravitationnel (relativement à ce qui se fait ailleurs :) ), et que de ce que j'ai pu lire, la sonde la plus rapide envoyée avoisine les 50 000 km/h donc on est (très) (très) (très) loin de la vitesse de la lumière. Mais dans quel ordre de grandeur on se situerait ? Millisecondes, secondes, minutes, .... ? 

Merci bien.

Pulsarx

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Il faudrait demander aux immenses fusées d'Astrouf, genre @dg2 ou @Tournesol ou d'autres, mais je me lance :  "au pifomètre" : 1/1000 e de seconde 9_9

 

 

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il y a 18 minutes, Pulsarx a dit :

Quelqu'un a t-il déjà calculé la "différence de temps passé" entre une personnes restée sur Terre et une autre faisant un aller-retour vers Mars avec les technologies actuelles ?

 

Je ne sais pas la différence exacte, mais on peut la considérer comme nulle sans trop se tromper... ;) Superfulgur surestime peut-être même le vrai chiffre, j'en sais rien. En tout cas, c'est dérisoire...

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A la grosse louche... Si on raisonne comme des pouilleux, et sur la seule relativité restreinte, avec un calcul de niveau terminale S (vous m'excuserez de ne pas me taper tout le calcul avec les trajectoires, les accélérations, et tout le bordel... j'ai un travail dans la vraie vie... :D) :

 

Le temps propre tp mesuré dans un vaisseau (disons InSight) est relié au temps terrestre t par tp = sqrt(1 - (v/c)²). 

La NASA donne en vitesse relative v de InSight par rapport à la Terre, v = 2.8 km/s. On a donc (tp - t)/t ~ -(1/2)(v/c)² = -4.4 x 10-11

En prenant un temps t de voyage de 7 mois pour InSight, on a donc t - tp ~ 0.8 ms ! ;) 

Donc @Superfulgur doit pas être loin du compte ! ;)

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Pour quelqu'un qui voyage à 50.000 km/h, donc à 13.889 m/s, donc à 0,000.0463 c, le facteur de contraction du temps fait environ 1 - 1/milliard. Donc la différence de temps est égale à un milliardième de la durée totale du voyage. Si par exemple le voyage dure un an, la différence de temps est d'un milliardième d'année, soit 0,03 s.

 

-----

Ah, Tournesol a posté un poil plus vite. J'ai utilisé le même algorithme que lui, notamment le calcul de ½ (v/c)², et si j'ai un résultat différent, c'est parce que j'ai pris la vitesse donnée par Pulsarx dans son premier message qui est nettement plus élevée (et une durée totale plus longue).

Modifié par Bruno-
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Invité iblack
Il y a 1 heure, Bruno- a dit :

Pour quelqu'un qui voyage à 50.000 km/h, donc à 13.889 m/s, donc à 0,000.0463 c, le facteur de contraction du temps fait environ 1 - 1/milliard. Donc la différence de temps est égale à un milliardième de la durée totale du voyage. Si par exemple le voyage dure un an, la différence de temps est d'un milliardième d'année, soit 0,03 s.

 

J'arrive à 0.02 s si on ne prend en compte que l'effet dû à la RR pendant 7 mois de voyage à 50 000 km/h. On est dans les clous ;)

 

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Invité iblack
Il y a 2 heures, Tournesol a dit :

 

Il y a quelques années j'avais calculé le delta t (pour une seconde et une année) dû à la RR (effet de la vitesse) et la RG (effet de la gravitation) au voisinage terrestre pour les objets volants identifiés ;) C'est un peu à la louche mais ça donne une idée

 

Pour résumer un p'tit tableau (la vitesse correspond à la vitesse relative par rapport à un point donné de la Terre) :

 

image.png.ce27347ff97d0b5b3f097006b2af2df0.png

 

 

 

Modifié par iblack
orthographe

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L'écart dû à la seule relativité restreinte ne peut pas être nul dans le cas d'un satellite géostationnaire, puisque la vitesse relative entre l'observateur et le satellite n'est pas nulle (en assimilant l'observateur comme étant situé au centre de la Terre, le satellite géostationnaire tourne autour de celui-ci en 24h, soit 3 km/s).

Modifié par dg2

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Invité iblack
Il y a 5 heures, dg2 a dit :

L'écart dû à la seule relativité restreinte ne peut pas être nul dans le cas d'un satellite géostationnaire, puisque la vitesse relative entre l'observateur et le satellite n'est pas nulle (en assimilant l'observateur comme étant situé au centre de la Terre, le satellite géostationnaire tourne autour de celui-ci en 24h, soit 3 km/s).

 

Oui c'est une bonne remarque si on est au centre de la Terre.

Le problème c'est que l'observateur (celui qui a le chrono ;)) est à la surface et de son point de vue le satellite a une vitesse nulle.

 

Modifié par iblack

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Oui mais celui qui tient le chrono n'est pas dans un référentiel inertiel, alors que le satellite geostationnaire, si, donc il doit y avoir un pouillième de correction de coriolis relativiste , non ?

 

Je te laisse faire le calcul rigoureux, iblack.:D

Modifié par PascalD

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il y a 11 minutes, PascalD a dit :

il doit y avoir un pouillième de correction de coriolis relativiste , non ?

 

Tu veux parler de l'effet Lense-Thirring, j'imagine... Essaie d'être un peu précis quand tu dialogues avec des pros, please...

 

 

  

 

 

 

 

 

 

(Dis le gonze qui panne queude à la discussion et tente désespérément de se faire bien voir par les fusées tout en tentant discretos de faire passer PascalD pour une tanche.)   

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Oui, enfin son approximation en RR, puisque iblack se place dans ce contexte. Et seulement pour la coordonnée temporelle. Bref, j'y panne rien à ces trucs là mais j'ai comme l'impression que c'est pas parce que la vitesse relative entre un truc dans un référentiel inertiel et un autre truc dans un référentiel pas inertiel est nulle que le temps propre est le même pour les deux bazars, selon la RR.

Mais je peux me tromper.

Sûr que dg2 fait le calcul de tête, lui.

 

Edit edit: je trouve un truc du genre tsat = (1 -(R²-r²)w²/(2c²)).tobs. R= rayon de l'orbite, r rayon de la Terre, w vitesse angulaire de la Terre, c vitesse de la lumière.  Bref. Si dg2 repasse par là...

Modifié par PascalD
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Invité iblack
il y a une heure, PascalD a dit :

Je te laisse faire le calcul rigoureux, iblack.:D

 

Pas besoin de calcul, dans géostationnaire il y a stationnaire ;)

Définition : Un objet placé sur une orbite géostationnaire reste en permanence au-dessus du même point de l'équateur. CQFD

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il y a 30 minutes, iblack a dit :

Pas besoin de calcul, dans géostationnaire il y a stationnaire ;)

Définition : Un objet placé sur une orbite géostationnaire reste en permanence au-dessus du même point de l'équateur. CQFD

 

ça, c'est dans le référentiel terrestre. 

Or le référentiel terrestre n'est pas assimilable à un référentiel galiléen dès lors que l'on veut étudier le mouvement d'un satellite. D'autant plus dans un contexte lié à la relativité restreinte.

 

Si tu veux étudier le problème du point de vue de la relativité restreinte, il faut considérer le mouvement relatif des deux référentiels : celui de l'observateur au sol et celui du satellite.

Or les deux sont des référentiels accélérés, donc non galiléens.

Il faut donc introduire des référentiels propres instantanés. Entre les deux référentiels instantanés, il y a une vitesse relative instantanée de l'ordre de 2.6 km/s. C'est facile à calculer dans le référentiel géocentrique, qui lui, à l'échelle de temps du problème, peut être considéré comme galiléen.

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Oui bon, c'est le vieux problème des jumeaux de Langevin mais à très basse vitesse et pas très loin. Les estimations que vous donnez ne sont que pour un aller simple. Il faut doubler pour avoir une idée de combien a vieilli le jumeau resté sur terre par rapport à l'autre ?

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Invité iblack
il y a 35 minutes, Tournesol a dit :

Il faut donc introduire des référentiels propres instantanés. Entre les deux référentiels instantanés, il y a une vitesse relative instantanée de l'ordre de 2.6 km/s. C'est facile à calculer dans le référentiel géocentrique, qui lui, à l'échelle de temps du problème, peut être considéré comme galiléen.

 

Donc un satellite géostationnaire se déplace à 2.6km/s par rapport à un observateur terrestre, y'en a plein qui vont perdre le signal ;)

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Je crois que tu as mal lu. Ce n'est pas ce qu'a écrit Tournesol. Il dit que la vitesse relative de 2 référentiels inertiels coincidant avec l'observateur terrestre pour l'un et le satellite pour l'autre, est de 2,6 Km/s.

Les équations de la RR (ct = gamma ct' + ...) ne sont valables qu' entre 2 référentiels inertiels. 

Tu ne PEUX PAS  les appliquer froidement  entre un satellite et un observateur à la surface de la Terre. Il faut faire un changement de référentiel.

 

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Il y a 4 heures, iblack a dit :

Oui c'est une bonne remarque si on est au centre de la Terre.

Le problème c'est que l'observateur (celui qui a le chrono ;)) est à la surface et de son point de vue le satellite a une vitesse nulle.

Pas du tout, le satellite,  qu'il soit géostationnaire ou non, tourne autour de l'observateur  (il se déplace par rapport au fond étoilé, quoi).

Modifié par dg2

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Bien sûr : le satellite tourne autour de l'observateur terrestre (que ce dernier tourne autour du centre de la Terre à la même vitesse angulaire n'y change rien)

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Il y a 11 heures, iblack a dit :

Donc un satellite géostationnaire se déplace à 2.6km/s par rapport à un observateur terrestre, y'en a plein qui vont perdre le signal ;)

 

Tu es sérieux ou bien?

L'observateur et le satellite on la même vitesse ANGULAIRE. Pas la même vitesse linéaire.

 

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Il me semble que :

− Dans un référentiel centré sur l'observateur, et qui tourne en même temps que la Terre, un satellite géostationnaire ne bouge pas. Ce référentiel n'est pas galiléen, la relativité restreinte ne s'applique pas.

− Dans un référentiel centré sur l'observateur, fixe par rapport aux étoiles, un satellite géostationnaire se déplace (on le voit au télescope : il se déplace par rapport aux étoiles) mais reste toujours à la même distance, donc parcourt un cercle. Est-ce que c'est ce déplacement qui se fait à 2,6 km/s ? En tout cas ce référentiel n'est pas galiléen, la relativité restreinte ne s'applique pas.

 

Une antenne parabolique tourne en même temps que la Terre, donc on ne perd pas le signal.

 

Modifié par Bruno-

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Il y a 1 heure, Bruno- a dit :

Est-ce que c'est ce déplacement qui se fait à 2,6 km/s ?

 

C'est la différence de vitesse linéaire entre l'observateur et le satellite dans le référentiel géocentrique.

 

V = r x w

 

Pour le satellite: (6371+35784)*2*pi/86164 = 3,07 kms-1.

Pour l'observateur (6371)*2*pi/86164 = 0,46 kms-1

 

Delta 2,6 kms-1

Modifié par Kirth
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La question initiale reste un excellent exercice de relativité générale.

 

Or donc, soit le référentiel héliocentrique (de Copernic) muni du système de coordonnées dit de Schwarzschild. Dans ce système de coordonnées, t représente le temps propre d'un observateur immobile loin du Soleil.

 

Soit un observateur lié à une masse test en orbite circulaire de rayon R autour du Soleil et soit τ1 son temps propre. Un calcul relativement classique indique que dans la limite des champs faibles, τ1 est proportionnel à t selon la formule.

 

dt / dτ1 = 1 + 3 G M / 2 R c2 ,

 

G est la constante de gravitation, c la vitesse de la lumière et M la masse du Soleil.

La constante de proportionnalité est supérieure à 1, ce qui signifie que le temps t s'écoule plus vite (= l'observateur ayant ce temps propre vieillit plus rapidement) que τ1, et ce d'autant plus vite que R est petit. De façon naïve, on dira que cet effet est à la fois dû au fait que la masse test se déplace par rapport à l'observateur lointain (effet cinématique, de relativité restreinte, disons), et au fait que l'observateur qui se déplace est plongé dans un champ gravitationnel, où le temps est ralenti. Appelons le tout l'effet Interstellar, pour fixer les idées (même si dans Interstellar, l'approximation des champs faibles n'est pas valable, mais peu importe).

 

Maintenant, on considère un second observateur situé sur une orbite de transfert classique (de Hohmann), avec périhélie correspondant au rayon de l'orbite terrestre, et aphélie au niveau du rayon de l'orbite martienne (dont je me permets avec autorité de négliger l'excentricité). Soit τ2 le temps propre de ce second observateur. Le calcul est ici un peu plus compliqué que le précédent, et donne, sauf erreur de ma part, que, à une distance r donnée ,

 

dt / dτ2 = 1 + G M / c2 (-1 / 2 aH + 2 / r) ,

 

aH est le demi grand axe de l'orbite de Hohmann en question (égal dans ce contexte à la demi somme des rayons des orbites terrestre et martienne).

 

Pour mesurer de combien t dérive de τ2 sur une orbite complète (aller plus retour, donc), il faut intégrer le truc au cours du temps, en tenant compte de la loi des aires, ce qui donne, si je ne me suis pas trompé, un résultat finalement assez simple que l'on peut exprimer sans faire appel à l'excentricité de la trajectoire :

 

Δt / Δτ2 = 1 + 3 G M / 2 aHc2 .

 

Maintenant, ce qui nous intéresse n'est pas de comparer le temps propre du voyageur τ2 à celui d'une masse test se déplaçant sur une orbite terrestre avec le temps propre τ1, mais au temps propre τ3 d'un observateur suivant cette même trajectoire et plongé dans le champ de gravité terrestre, les deux étant reliés, à l'ordre le plus bas, par

 

dτ3 / dτ1 = 1 - G mT / rT c2 ,

 

rT et mT sont la masse et le rayon de la Terre (je néglige l'effet supplémentaire dû à la rotation de la Terre ; disons que τ3 est mesuré par une personne qui séjourne à l'année au pôle sud).

 

Au final, le temps propre τ2 du voyageur dérive de celui du terrien τ3 de

 

τ2 - τ3 = TH [3 G M / 2 c2 (1 / RT - 1 / aH) + G mT / rT c2]  ,

 

où j'ai noté RT le rayon de l'orbite terrestre. Le voyageur vieillit donc plus vite, à la fois parce qu'il s'éloigne du Soleil et est  donc moins plongé dans le potentiel gravitationnel de celui-ci (premier terme) et qu'il s'éloigne aussi de la Terre et est donc, à nouveau, qu'il est moins plongé dans le potentiel gravitationnel de celle-ci.

 

Application numérique :

 

En valeur relative (terme dans le crochet ci-dessus), on trouve

 

3,08×10-9 pour le terme solaire,

6,98×10-10 pour le terme terrestre (fortuitement comparable au premier du fait que la vitesse de libération terrestre à la surface de la Terre est du même ordre que la vitesse de libération solaire depuis l'orbite terrestre)

 

En valeur absolue, il faut multiplier par la période de l'orbite de Hohmann. Sachant que le demi-grand axe de celle-ci est égal à la demi somme des rayons orbitaux des planètes, un bidouillage simple de la troisième loi de Kepler nous donne gentiment, TT et TM étant les périodes orbitales terrestre et martienne,

 

TH / TT = { [ 1 + (TM / TT)2/3 ] / 2 }3/2 ,

 

 

soit dans les 518 jours (le chiffre qu'on a en tête est celui du temps d'aller simple des missions martiennes, soit la moitié de ceci, c'est-à-dire 259 j, soit un peu moins de neuf mois).

 

Et donc au final, je trouve

 

0,17 seconde.

 

Fin de l'histoire ? Pas encore, car on ne peut entreprendre le voyage retour quand on veut. Celui-ci, comme le voyage aller, ne peut avoir lieu que quand la configuration orbitale Terre-Soleil-Mars est telle que le point d'arrivé de l'orbite de transfert intersecte la trajectoire de la planète visée. Donc il faut ajouter au temps précédent le décalage se produisant durant toute la durée du séjour sur Mars, en tenant à la fois compte de la différence d'écoulement des orbites terrestres et martiennes, et aussi du fait que les deux observateurs sont sur des planètes différentes, donc des potentiels gravitationnels différents.

 

Modifié par dg2
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[Suite du précédent...]

Un calcul relativement simple permet de déterminer que le moment du lancement pour que l'aphélie de l'orbite de Hohmann coïncide avec la position de Mars doit se produire quand l'angle Terre-Soleil-Mars vaut, en radians,

 

φ1 = π (1 - TH / TM) ,

 

soit 44°. Le lancement a donc lieu à (44°/360°) période synodique avant l'opposition, soit dans les trois mois avant (96 j avec les hypothèses faites), un résultat plus ou moins connu. [Dans la vraie vie, l'orbite de transfert n'est pas exactement une orbite de Hohmann, et il faut tenir compte des excentricités des deux planètes, donc le lancement n'est jamais exactement 96 j avant l'opposition, cf. Insight.]

 

Ceci étant, si on veut calculer la durée du séjour, on se fiche de ce résultat, il suffit de remarquer que la phase "orbitale" du voyageur va varier de 2 π pendant le transfert complet, plus de 2 π TS / TM durant son séjour sur Mars, de durée TS. Pendant ce temps, qui vaut TH + TS (durée du transfert aller + retour, plus le séjour), la phase orbitale de la Terre aura varié de

 

2 π (TH + TS) / TT .

 

Le rendez-vous retour aura lieu si et seulement si les deux phases sont congrues à 0 modulo 2 π, la Terre ayant fait au moins un tour de plus que le voyageur (puisque toujours située plus près du Soleil que celui-ci, elle tourne plus rapidement et donc doit lui prendre au moins un tour).

 

Au final, on a

 

TS / TT = (n + 1 - TH / TT) / (1 - TT / TM) ,

 

n > 0 est le nombre de tours supplémentaires.

 

Pour n = 1, on trouve

 

TS = 455 jours (1,24 an).

 

Or donc, durant cette durée, le voyageur martien a son temps propre τ4 qui s'écoule, comparé au temps coordonné t selon

 

dt / dτ4 = 1 + 3 G M / 2 RMc2 + G mM / rMc 2 ,

 

là où le terrien de base connaît comme tout-à-l'heure

 

dt / dτ3 = 1 + 3 G M / 2 RTc2 + G mT / rTc2 ,

 

et conséquemment

τ4 - τ3 = TS [ 3 G M / 2 c2 (1 / RT - 1 / RM) + G mT / rTc2 - G mM / rMc2] ,

 

dont on tire un vieillissement supplémentaire de

 

0,22 seconde ,

 

sensiblement du même ordre puisque les durées de séjour et de transfert sont comparables.

Modifié par dg2
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