Vitesse radiale de galaxie

[Arnaud17 528]

Bonjour à toutes et à tous,

 

Avec deux amis du club d'astro de La Rochelle, nous sommes en train de faire une étude de l'amas de la Vierge. Pour cette étude, nous voulons mesurer la distance en évaluant le redshift moyen des galaxies de l'amas. Se pose la question du référentiel de calcul de ce redshift. Est ce qu'on doit se baser sur le référentiel héliocentrique, sur le galacto-centrique (notre Galaxie), sur celui du centre de masse de l'amas local ou alors sur celui du fond cosmologique. J'avais tendance à penser que le référentiel du fond cosmologique était le bon, mais je trouve des vitesses (et donc des distances) systématiquement plus élevées que dans la litterature. Les pages wikipedia des galaxies mesurées montrent quasiment la même valeur pour la vitesse de redshift et la vitesse héliocentrique... Est ce que quelqu'un sur le forum a une expérience de cette problématique?

 

En vous souhaitant à toutes et à tous de bonnes observations !

 

Arnaud

[OlivierG 782]

Bonsoir,

 

Avec quel spectrographe sont réalisées les mesures, quel est la résolution des spectres étudiés  et le rMS de la calibration spectrale?

 

Déjà, si l'on travaille avec des résolutions de R<1000, on peut négliger la vitesse héliocentrique (donc de ne pas corriger le spectre de la vitesse de la terre en fonction de la ligne de visé sur la cible au moment des acquisitions) car avec une vitesse à corriger de +/- 30 km/s au maxi, on est dans la marge d'erreur du spectrographe. 

 

 

[Arnaud17 528]

Bonjour Olivier,

 

Merci pour ta réponse super rapide. Les observations sont faites avec un ALpy monté sur un C14 à f/7. Les poses sont de 5000s (5x1000s) par galaxie. Il s'agit donc de basse résolution avec un Alpy et avec des profils qui peuvent être asse bruités selon la cible. Dans ces conditions, je suis bien d'accord avec toi que la correction heliocentrique (12km/s max dans notre cas) est largement sous l'incertitude de la mesure. C'est limite pas utile pour la correction "amas local" qui est d'environ 100 km/s, en revanche, ce n'est pas le cas de la correction par rapport au fond cosmologique (environ 320 km/s), d'où ma question.

 

En ce qui concerne la mesure des décalages, je pense que la méthodologie est perfectible (ce sont mes premiers essais de mesure de vitesse radiale). Comme je n'ai pas de lampe autre que néon pur qui donne une grosse incertitude sur la partie bleue du spectre, je fais l'étalonnage en longeur d'onde sur la série de Balmer de Denebola (A3V). ISIS donne des RMS du polynome d'étalonnage de l'ordre de 0.1- 0.2. Ensuite, je fais un recalage du spectre de la cible par rapport à celui de Denebola en me basant sur les raies telluriques. J'ai en general une correction d'environ 1 à 2 A. Pour finir, j'identifie les raies (principalement de Balmer) dans la cible et mesure leur position avec la fonction FWHM d'ISIS. J'en déduit alors une mesure de vitesse radiale par raie identifiée, sachant qu'il arrive assez souvent d'avoir de l'incertitude sur l'identification des raies dans le profil de la cible). Au final, je fais la moyenne de la moyenne des mesures et de la mediane des mesures.

 

Merci encore pour ton retour d'expérience,

 

Arnaud

[OlivierG 782]

J'ai pas de réponse concernant le fait de retirer ou pas la vitesse du fond cosmologique (faudrait voir se qui se pratique dans les catalogues astro et ou les publication sur le sujet ?)

 

Pour la méthodologie, ce que je fait c'est la séquence suivante et pour chaque cible :

- Pointage de la cible en posant 1200s par pose et en faisant plusieurs poses de façon a améliorer le SNR. Le nb de pose dépend de la magnitude de la cible.

- Le noyau de la galaxie doit être dans la fente et de part et d'autre de ce noyau il ne doit y avoir du fond de ciel que l'on pourra soustraire lors du traitement.

- Calibration avec une lampe juste après la dernière pose et sans bouger le télescope pour s'affranchir d'éventuelle flexions mécaniques ou variations de températures.

- Choix d'une étoile de référence proche de la cible d'une magnitude 5-6 pour poser quelques secondes sans saturer bien sur.

- Calibration avec une lampe spectrale

et ainsi de suite sur toute les cibles. Si la calibration se fait de manière mixte lampe spectrale/raies de Balmer de l'étoile de référence, il est important de faire une étoile de référence pour chaque cible à cause des variations de température et de la flexion mécanique du spectro + sa caméra, même de manière minime, cela engendre des shifts dans les mesures.

 

Il faut bien sur appliquer le même process de réduction des données sur toute les références et cibles. Bien délimiter la zone de binning du spectre en poussant à fond l'histogramme du spectre et bien définir les zones de soustraction du fond de ciel.

 

On mesure ensuite la positions de plusieurs raies, plus on en a, meilleurs sera la précision de la mesure de z. On peut en trouver dans les 7-8 d'exploitables même sur des cibles faibles. Rassembler les données dans un tableur et en faire la moyenne. Si la cible est très éloigné, il faut appliquer l"équation Doppler relativiste.

 

Avec Pascal Le Dû et d'autres copains, on a fait une petite publication sur la découverte de 4 nouvelles galaxies à noyau actif ou l'on a bien sur mesuré leur distance et qui explique la méthodologie :

https://arxiv.org/pdf/1906.09612.pdf

 

[Vincent_L 546]

bonjour Arnaud,

 

à l'alpy, pour z<0.0003, je pense que ça commence à devenir compliqué, et il est nécessaire de faire les mesures sur de nombreuses raies ... .

avec un redshift de 0.0003, ça te fait un delta lambda de 2A sur Halpha, l'erreur va commencer à être importante,

 

ceci dit l'amas de la vierge est bien plus loin que ça (z=0.004 pour M87), ça devrait bien le faire ... . quelles galaxies avez vous visé ?

est-ce que vous considerez que Denebola est une bonne étoile de référence (même hauteur que la cible) ?

 

vincent

 

 

 

 

[apricot 1 416]

L'amas de la vierge est encore dans le superamas local ; a cette distance (50 mega al)  l'expansion de l'univers commence juste à se faire sentir. Le mouvement des galaxies les unes par rapport aux autres (ie ici La Voie Lactée vs M87 and co) n'est pas encore négligeable par rapport à l'expansion de l'univers. Donc je pense que ça aurait plus de sens d'utiliser le référentiel galactocentrique. Tu peux prendre aussi le référentiel héliocentrique, mais pas si tu commences à regarder des galaxies dans d'autres direction par rapport à la rotation du soleil dans la Voie Lactée (230 km/s)

 

Le site du NED est bien pour jouer avec les vélocités dans les différents référentiels: https://ned.ipac.caltech.edu/velocity_calculator

 

Intéressante lecture sur l'univers local et les vitesses : https://media4.obspm.fr/public/ressources_lu/pages_galaxie-univers-local/distances-et-mouvements.html

 

Bon c'est juste un avis à deux centimes d'un débutant en cosmo hein

Modifié 21 avril 2020 par apricot
liens

[apricot 1 416]

Pour ce qui est de la mesure des décalage de raies dans Isis, il y a une fonction très puissante, la corrélation croisée (CCF). Voir la page de Christian Buil http://www.astrosurf.com/buil/redshift/demo.htm

[OlivierG 782]

il y a 49 minutes, apricot a dit :

 

Pour ce qui est de la mesure des décalage de raies dans Isis, il y a une fonction très puissante, la corrélation croisée (CCF). Voir la page de Christian Buil http://www.astrosurf.com/buil/redshift/demo.htm

 

Oui cela fonctionne pour des redshift faibles et il faut tout de même avoir un spectre avec un bon SNR. 

[mlel 88]

Bonjour à tous,

 

Je profite de cette discussion, je suis justement en train d'essayer de calculer la vitesse radiale sur un spectre de M82 de début avril avec l'alpy. J'ai suivi la même méthode précisée par Olivier, mais avec peu de raies identifiées.

 

Auriez-vous des conseils ou éléments/docs pour préciser comment calculer l'incertitude des mesures ?

 

Matthieu

[Alef 2 490]

En conseil ce que j'ai remarqué sur les raies de galaxies il y a plusieurs types de spectres :

- les galaxies calmes qui ont des spectres de vielles étoiles on peut avoir les raies : CaII, CH, MgI, NaI

- les galaxies à noyaux actifs qui ont des raies en émission, là c'est plutot : Hb, [OIII], Ha

Parfois des spectres de galaxies peuvent avoir les raies en absorption et en émission.

Déjà avec "une" raie on a une idée du redshift, si ça ne colle pas avec les données de Simbad ou de Ned nasa, il y a eu un problème avec le traitement ou l'image de calibration.

Avec plusieurs raies on moyenne le redshift.

 

Dans le spectre de M82 il y a Hb, Ha, [NII] et les raies [SII].

Comme c'est une galaxie en collision avec une vitesse radiale très faible on doit trouver quelque chose autour des 200km/s

Pour M82 je trouve :

Hb= 4863.62 A -> z = 0.00047

Ha = 6567.44 A -->z = 0.0007

[NII] = 6588.015 A -> z = 0.0007

[SII] = 6722.678 A -> z= 0.0009198

[SII] = 6735.592 A -> z = 0.000727

z moyen = 0.00070336

vr = 210.86 km/s avec vitesse héliocentrique -17.9 km/s

vr = 193 km/s simbad donne 219 km/s

 

Posez bien longtemps pour avoir des raies nettes qui sortent du bruit.

Plus la galaxie sera lointaine plus la vitesse de récession sera forte et moins y'aura de marge d'erreur avec les mesures du spectre.

 

Si vous utilisez ISIS il faut bien faire la calibration en utilisant la lampe de calibration + l'étalonnage sur les raies de balmer dans le bleu sinon on trouve des z moins précis dans le coté bleu du spectre.

[Arnaud17 528]

Tout d'abord, merci à tous pour vos contributions à ce post, toutes très intéressantes. Depuis le début de ce post, j'ai fait des essais de mesures en utilisant non plas le spectre de Denebola, mais en utilisant celui d'Arcturus, plus proche de celui du type spectral des galaxies étudiées. Déjà, ça change la donne car l'identification des raies est bien plus sûre qu'avec Denebola, et on peut faire des moyennes sur environ 6-10 raies. Ces deux facteurs font que les mesures sont beaucoup plus homogènes sur les différentes raies.

 

Voici ci-dessous quelques éléments de réponses aux points soulevés par chacun:

• Olivier: un grand merci pour tes réponses. J'ai aussi ajouté des raies du néon aux raies de Balmer pour le calcul du polynome d'étalonnage. En fait, contrairement à l'info que je donnais dans mon premier post, l'erreur RMS de l'étalonnage est de l'ordre de 2A. L'erreur irréalistement basse que j'avais donnée (0.1-0.2 A) provient, je pense, du fait que je "fitais" un polynome de degré 3 avec 4 points de mesure: donc on peut trouver les coef du polynome qui passe exactement par ces points, il n'y a donc pas de raison d'avoir une erreur résiduelle. Merci aussi pour le pdf sur les galaxies de Seyfert: beau travail que vous avez fait là!
• Vincent: pour l'instant, on a fait les galaxies suivantes: M58, M60, M84, M85, M87, M88, M89, M90, M91, M99, M100 et dans la série NGC: 4216, 4394, 4438, 4450, 4459 et 4473. Le choix de Denebola n'est sans doute pas optimal, mais comme on est intéressé plus par le décalage spectral que par le flux, je pense que ce n'est pas un problème. Pour une galaxie donnée, la dispersion moyenne (RMS) des vitesses mesurées sur différentes raies est de l'ordre de 60-160 km/s suivant la qualité du spectre et de l'etalonnage en lambda. Ça fait une erreur d'environ 10% de la vitesse radiale moyenne des galaxies de l'amas.... pas trop de marge, mais suffisant pour ce projet.
• Apricot: merci pour l'info sur le site NED: effectivement, bien utile pour calculer les vitesses dans différents référentiels. C'est d'ailleurs sur lui que je me base pour faire les corrections. Pour estimer la distance de l'amas, on fait donc la moyenne sur les vitesses radiales de plusieurs galaxies. Cela nous permet en outre de faire la différence entre mouvement d'ensemble de l'amas et vitesses individuelles des galaxies au sein de l'amas, qui est aussi une donnée que nous cherchons à déterminer. Un grand merci aussi pour le lien qui est très très instructif: si je le comprends corretement, il faudrait donc plutôt faire la correction "centre de gravité de l'amas local" car la correction fond cosmologique introduit un vecteur auquel l'amas de la Vierge va être aussi soumis (plus ou moins), et donc qu'il faudrait retrancher du calcul.... hum, il faut que j'y réfléchisse encore, mais je crois que c'est une bonne piste: merci encore pour cette excellente info!!! J'ai essayé la fonction de CCF d'Isis sur un de mes spectres, mais soit elle ne converge pas, soit elle converge sur une valeur qui dépend complètement des bornes du calcul imposées par l'utilisateur... donc, pour l'instant, je ne sis pas faire tourner cette fonction et je fais donc les mesures "à la main", raie par raie. Au moins j'ai l'impression de passer un temps d'analyse en correspondance avec le temps d'acquisition
• Matthieu: il y a un document très intéressant et complet sur la spectro amateur et sur le spectrographe Dados de Baader. A partir de la page 26, il traite de la résolution, du grossissement etc. Il y a aussi, plus haut, des comparaisons de spectres solaires à différentes résolution, donc bien pour se faire une idée "visuelle" de ce qu'une résolution donne. Voici le lien à ce document. En passant, est ce que quelqu'un sur le forum a déjà utilisé ce spectrographe: il me parait intéressant.    

https://www.baader-planetarium.com/en/downloads/dl/file/id/193/product/0/dados_slit_spectrograph_tutorial_110_pages.pdf

• Alef: merci aussi beaucoup pour ton retour d'expérience: j'ai aussi noté ce genre de réponse variable suivant les galaxies. Ma méthodologie mérite d'être revue car je finis avec des différences de vitesses plus importantes que toi lorsque je compare avec la littérature. A moins que ça ne vienne de la qualité de mes acquisitions (pas assez de SNR)...

Voila, encore un grand merci à vous tous pour vos contributions.

 

Bonnes observations !

 

Arnaud

[apricot 1 416]

Arnaud juste quelques suggestions;

 

Pour la CCF dans Isis, j'avais le même bug que toi, mais on peut le contourner en inversant la référence et la galaxie.

 

Pour augmenter la précision, un truc inspiré des pros qui font de la vélocimétrie de très haute précision; plutôt qu'un spectre observé (Dénébola?) comme référence de vitesse, tu as intérêt à utiliser un spectre de référence synthétique, comme une étoile de la base Pickles (donc forcément à v=0 km.s-1). Par exemple Pickles K2iii marche pas mal pour le bulge d'une galaxie classique.

 

En normalisant chaque spectre par son continuum tu réduit l'erreur de calibration de la RI. Comme suggéré par les copains ci dessus, il faut avoir le meilleur S/B possible pour la CCF, et étalonner en lambda sur raies de Balmer+lampe. 

 

J'avais fait la manip sur M66 avec l'Alpy sur le T60 il y a quelques années, c'est détaillé dans le rapport http://astrosurf.com/t60/missions/2016/CRmissionS9-2016.pdf    David Antao a utilisé la même technique avec succès sur une grosse collection de galaxies pour refaire la relation de Hubble.

 

Bon ciel,

Jean-Philippe

 

[mlel 88]

Merci @Arnaud17 & @Alef ! Je vais regarder ça.

Modifié 22 avril 2020 par Chronosastro

[Alef 2 490]

Ca marche ! Bons spectres 

[Arnaud17 528]

Bonjour Jean-Philippe,

 

Merci pour tes conseils. Après pas mal d'essais, j'ai finalement choisi la méthodologie suivante pour l'analyse des spectres des galaxies de la Vierge:

- Pré-traitement sans étalonnage du spectre de Denebola (pour la série de Balmer) et d'une lampe au néon placée dans l'axe du télescope. Ajout de ces 2 spectres, puis étalonnage du résultat. J'ai donc un étalonnage fait avec des raies entre 3970 et 7400nm. J'obtiens avec l'Alpy un étalonnage avec un RMS entre 1 et 2 A. Etalonnage du spectre composite pour vérification de la position des raies.

- Etalonnage du spectre de Denebola pour calcul de la réponse instrumentale. Verification de la position des raies H par rapport à la base Pickles (A3V)

- Pré-traitement complet et étalonnage du spectre de la galaxie

- Verification de la position des raies telluriques entre Denebola et la galaxie. Recalage éventuel du spectre de la galaxie s'il y a une différence entre les raies telluriques (ce qui arrive assez rarement, quelques A de temps à autre)

- Comparaison du spectre de la galaxie avec un spectre Pickles K et mesure du delta lambda / lambda pour autant de raies identifiables que possible. Eventuellement, bining 2 ou 3 du spectre de la galaxie si le SNR est mauvais.

 

Je trouve que cette procédure marche pas mal. J'ai des résultats bien en ligne avec la littérature. En fait, en appliquant cette méthode sur 20 galaxies (158 raies mesurées au total) et en rapportant la vitesse héliocentrique au barycentre de l'amas local, j'arrive à retrouver la "distance Wikipedia" pour l'amas avec une précision d'environ 1.5%

 

Encore un grand merci à tous pour vos apports plus qu'utiles.

 

Bonnes observations,

 

Arnaud

[OlivierG 782]

Bonjour Arnaud,

 

Quelques remarques sur la méthodologie :

- 1 à 2 Å de RMS je trouve cela assez élevé car avec ce spectro on peut obtenir 0,3 à 0,1 Å de RMS. 2Å, c'est plus de 90km/s d'erreur rien que sur l'étalonnage à laquelle il faut rajouter les limites de la résolution spectrale d'un ALPY à R=600 au maxi mais dont la valeur peut diminuer si le spectrographe n'est pas bien focalisé et si l'on travaille avec des pixels plus gros voir si l'on change la fente avec une plus large.

 

- Si tu te recales sur les raies tellurique, cela veut dire que tu ne soustrait pas le fond de ciel ? Il faut retirer le fond de ciel qui permet d'améliorer le SNR du spectre et ne prendre en compte que les raies de l'objet à étudier, étape déplus indispensable si tu calcul le décalage via une fonction de corrélation croisée (CCF).

 

- Je ne comprend pas la manip qui consiste à comparer un spectre de classe K avec le spectre de la galaxie ? Veut tu dire que tu fait une CCF avec une classe spectrale générique K ? Dans ce cas il est souhaitable de prendre le spectre d'une vrais étoile de type K et pas dans le Pickles qui sont des raies calculées et pas observées. Dans le cas d'un calcul de CCF, il faut également que les 2 cibles de comparaisons soient corrigé de la vitesse héliocentrique même si celle si en première approche peut être négligé vu la résolution du spectro, mais autant le faire tout de même dans ce cas précis.

 

- A mon avis faut conserver le même protocole pour toute les galaxies, même setup, même traitement, donc changer le binning en cours de route n'est pas souhaitable. En augmentant le binning, on diminue également la résolution. Si les galaxies étudiées ne permettent pas d'avoir suffisamment de signal en bin 1x1, alors il faut toute les faire en bin 2x2. Passer ensuite à bin 3x3 est dangereux pour le traitement car d'une part on va dégrader encore la résolution, mais d'autre part, on va se retrouver avec un spectre trop fin en Y qui ne pourra pas être bien traité au moment du binning soft en hauteur du spectre.

 

- Comparer le résultat à wikipedia n'est de mon point de vue pas la source fiable à prendre, c'est Simbad qu'il faut utiliser car on a toutes les données actualisées ainsi que les erreurs de calcul, voir on peut aussi consulter les publications relatives à une galaxie en particulier. Si tu prend par exemple M90, regardes les coordonnée indiquées dans Wikipedia et celles indiquées dans SImbad, c'est différent et de plus Wikipedia n'indique pas la référence J2000, J1950 ? Et puis il y a des incohérences dans la vitesse indiquée du rapprochement de M90 par rapport à nous. Dans wikipedia c'est indiqué 383 km/s et dans simbad 235 km/s.

 

- Il faut comparer le z et non pas la distance car selon les sources on ne sait pas quelle est la valeur Ho de la constante de Hubble qui a été utilisé et comme celle ci varie selon les publications entre 67 et 76, cela augmente encore la marge d'erreur. Par contre le redshift z n'est dépendant d'aucune constante. Après, une fois que tu auras toutes tes données en Z, alors tu pourras appliquer la loi de Hubble en prenant la valeur de Ho en vigueur à ce jour (Ho évolue au cours du temps selon les publications et reste une constante pas trés constante....).

 

 

[Arnaud17 528]

Bonjour Olivier,

 

Merci pour ta réponse détaillée. Je vais essayer d'y répondre point par point :

 

• L'Alpy a une résolution de 600 dans le rouge avec la fente de 23 microns. Donc vers le H-alpha, la résolution est d'environ 6600/600 = 11 A. Si on estime que la position de la raie peut être mesurée à 1/10ème de la résolution, ça donne une erreur d'environ 1A, donc une erreur d''étalonnage de l'ordre de 1-2A me paraît raisonable. En fait, je n'obtiens des valeurs proche de 0,1A que lorsque je réalise l'étalonnage sur un nombre de raies égal au rang du polynôme + 1. Dans ce cas, il y a assez de points de mesures pour trouver les coefficients du polynôme, mais pas assez pour estimer l'erreur RMS qui est alors quasiment nulle.
• Le pré-traitement que je fais est le traitement standard Isis où le fond du ciel est en effet soustrait. Cependant, sur tous mes spectres, j'observe que dans le rouge assez profond (6867A et 7590A environ), il y a deux raies larges en absorption. Je crois qu'elles sont dûes à l'O2 et l'H2O atmosphérique. Elles ne sont pas soustraites de façon efficace par le traitement car je pense qu'il n'y a pas assez de signal sur le fond du ciel à ces longueurs d'ondes. Je mets dans le post une partie d'un de mes spectres de Denebola en bleu avec le spectre Pickles A3V en rouge. On voit la H-alpha sur la gauche. Ce sont ces raies que j'utilise pour vérifier qu'il n'y a pas de décalage entre deux images.
• Je n'arrive pas à faire tourner la fonction CCF correctement. Soit l'algo ne converge pas (il me donne comme résultat la borne de recherche), soit il retourne une valeur qui n'est clairement pas la bonne sur la base d'un profil de correlation très plat. J'imagine que c'est parce que mes spectres sont relativement bruités... ou alors je me trompe dans l'utilisation de la fonction. CCF ne marchant pas, je fais le travail « à la main », c.a.d. en identifiant une série de raies dans le spectre K1V de Pickles (type proche de celui de la galaxie) et en mesurant les lambdas sur la galaxie et sur la K1V. Une fois les delta lambda/lambda mesurés sur plusieurs raies, je fais moyenne et médiane et je calcule la vitesse par rapport à l'observateur. Même si la correction héliocentrique est faible, je l'inclus quand même, pour être consistant dans l'approche. Puis NED pour la correction par rapport au barycentre de l'amas local. Oui, tu as raison, j'aurais pu/du faire un spectre d'une étoile K1, mais je n'y ai pensé que tard dans le projet, et donc pas possible de revenir en arrière sur les premiers spectres de galaxies !
• Je me suis sans doute mal exprimé : le protocole est exactement le même pour la prise de vue et le traitement pour toutes les galaxies. Il n'y a qu'une ou deux galaxies avec spectre très bruité pour lesquelles j'ai aussi fait un bining dans Isis en post-traitement pour mesurer les delta lambda. Dans toutes les prises de vue, j'ai utilisé le même bining 2 de la caméra (3,8 micron de pixel à la base donnant un échantillonage d'environ 1A / pixel, soit 10 fois la résolution de l'Alpy, donc un gros sur-échantillonage pour des cibles faibles, d'où mon choix de bining).
• Je suis bien d'accord avec toi que Wikipedia n'est pas forcément LA source de référence, même si elle est très pratique. En fait, je ne suis pas intéressé par la mesure d'une vitesse particulière, mais plutôt par les valeurs moyennes. En effet, le but de notre projet est d'estimer le rapport masse visible / masse grave de l'amas. Pour la masse visible, on a fait des mesures photométriques qu'on est en train de combiner avec un modèle de galaxie, et pour la masse grave on va utiliser le théorème du viriel qui se base sur les vitesses et distances moyennes des galaxies de l'amas. On a donc besoin d'avoir une moyenne de vitesses intra-amas mais aussi de la distance de l'amas pour transformer des angles apparents en distance réelles entre galaxies. J'utilise la valeur H0 de la collaboration Planck (67,8km/s).

 

Voilà, encore un grand merci pour tes commentaires toujours très judicieux et intéressants.

 

A bientôt,

 

Arnaud