Univers observable/ univers tel qu'il est.

[Kaptain 5 876]

Dans un autre ordre d'idées, nous ne saurons jamais de quoi sont faites les choses : de quoi est "fait" un électron ? Imaginons qu'un super accélérateur dévoile qu'il est composé d'autres "particules". De quoi sont-elles faites ? Quêtes sans fin, questions d'enfants auxquelles nous n'aurons au grand jamais la réponse...

[Meade45 490]

Il y a 18 heures, Bruno 17 a dit :

En dehors des capacités de raisonnement et de compréhension d'homo Sapiens ! 

 

Il y a 2 heures, Achaim a dit :

, notre conception mentale a atteind ses limites

Oui c'est là que je m'aperçois que je suis comme tout le monde !  

Comme le Tenon est à la Mortaise, le Roi à La Reine, le Bien au Mal, il est inconcevable pour moi de ne pas relier contenant et contenu.

On parle de rayon de courbure certes ! on voit bien quelque chose de rond mais qui flotte dans quelque chose. Et derrière ce noir, qui y a t-il ?

Si on mal d'infini, je connais mes limites !

Guy

 

 

[PascalD 4 366]

Il y a 21 heures, Superfulgur a dit :

10 puissance 1000 années-lumière. Essayez de réaliser...

En fait c'est pas si vertigineux que ça: ça fait en gros la taille d'une centaine d'univers observables, non ?

 

Il y a 17 heures, Bruno- a dit :

La matière existe en tant que résidu de particules virtuelles qui n'ont pas été détruites. Or les particules virtuelles naissent de rien (elle ont juste besoin d'espace, je crois).

Non. Enfin pas au sens commun du terme (un truc étendu dans au moins une dimension): On peut définir une mécanique quantique des champs dans un espace de dimension 0 (c'est un truc pour simplifier la théorie), donc il suffit d'avoir un point. Par contre, le truc dont on ne peut pas se passer pour espérer avoir des particules, c'est un champ quantique. Pas de champ, (pas de le sens "dans sa configuration de plus basse énergie, i.e. le vide, i.e. zéro particules non virtuelles", dans le sens de "rien, nada,zilch"), pas de particule.

[vaufrègesI3 15 085]

il y a une heure, PascalD a dit :

Par contre, le truc dont on ne peut pas se passer pour espérer avoir des particules, c'est un champ quantique. Pas de champ, (pas de le sens "dans sa configuration de plus basse énergie, i.e. le vide, i.e. zéro particules non virtuelles", dans le sens de "rien, nada,zilch"), pas de particule.

 

En effet, si par "vide" on entend "espace vide de matière," l'adage selon lequel la nature aurait horreur du vide n'est pas totalement dénué de fondement .

 

Dans la théorie de la relativité, l'espace a acquis une quatrième dimension en devenant l'espace-temps et la conception de la matière s'est enrichie à l'aide du concept de champ qu'Einstein a promu au rang de concept aussi fondamental que celui de point matériel. En fait "il n'y a pas d'espace vide de champ". Lorsqu'en physique quantique on étudie les propriétés d'un certain système, on a pris l'habitude d'appeler "vide" son état fondamental ou d'énergie minimale, et comme l'énergie est, en général, définie à une constante additive près, il est raisonnable de poser à zéro cette énergie minimale.

Dans la théorie qui réalise le mariage de la mécanique quantique et de la relativité restreinte, le champ quantique est un champ d'opérateurs produisant ou détruisant en un point de l'espace-temps un quantum d'énergie (une particule ou une antiparticule). Le "vide" est alors l'état du champ à zéro quantum d'énergie. Dans le vide, le champ quantique doit être assimilé à un milieu très complexe, siège de fluctuations qui peuvent avoir des effets observables, et dont certains, comme l'effet Casimir ont été expérimentalement observés, et d'autres comme l'énergie du vide en cosmologie sont à l'origine de nombreuses interrogations concernant les rapports entre la physique quantique et la relativité générale.

[Superfulgur 16 088]

Il y a 10 heures, PascalD a dit :

Le 21/12/2021 à 16:10, Superfulgur a dit :

10 puissance 1000 années-lumière. Essayez de réaliser...

En fait c'est pas si vertigineux que ça: ça fait en gros la taille d'une centaine d'univers observables, non ?

 

Hem.

 

 

[Kirth 4 246]

Il y a 10 heures, PascalD a dit :

En fait c'est pas si vertigineux que ça: ça fait en gros la taille d'une centaine d'univers observables, non ?

 

Vu que l'univers observable a un rayon de l'ordre de 50 x 10⁹ al, on va dire que sa taille est de l'ordre de 10¹¹ al,  je dirais que ça représente 10¹⁰⁰⁰ / 10¹¹ soit 10⁹⁸⁹ fois le diamètre de l'univers observable.

Et en volume, c'est 10^989x3 = 10²⁹⁶⁷ fois plus.

 

Sachant que l'univers observable contient environ 10⁸⁰ atomes, cela veut dire qu'il y a 10²⁹⁶⁷ / 10⁸⁰ = 10²⁸⁸⁷ fois plus d'univers observables dans l'univers qu'il n'y a d'atomes dans le notre.

 

On pourrait s'amuser à imaginer ça comme des poupées gigognes:

Soit notre Univers Observable. Mettons-en 10⁸⁰, soit autant qu'il y a d'atomes dedans. ça fait un groupe d'univers de niveau 1.

10⁸⁰ groupes de niveau 1 font un groupe de niveau 2, on en est à 10¹⁶⁰ univers observables.

10⁸⁰ groupes de niveau 2 font un groupe de niveau 3, on en est à 10²⁴⁰ univers observables.

10⁸⁰ groupes de niveau 3 font un groupe de niveau 4, on en est à 10³²⁰ univers observables.

10⁸⁰ groupes de niveau 4 font un groupe de niveau 5, on en est à 10⁴⁰⁰ univers observables.

10⁸⁰ groupes de niveau 5 font un groupe de niveau 6, on en est à 10⁴⁸⁰ univers observables.

10⁸⁰ groupes de niveau 6 font un groupe de niveau 7, on en est à 10⁵⁶⁰ univers observables.

10⁸⁰ groupes de niveau 7 font un groupe de niveau 8, on en est à 10⁶⁴⁰ univers observables.

10⁸⁰ groupes de niveau 8 font un groupe de niveau 9, on en est à 10⁷²⁰ univers observables.

10⁸⁰ groupes de niveau 9 font un groupe de niveau 10, on en est à 10⁸⁰⁰ univers observables.

10⁸⁰ groupes de niveau 10 font un groupe de niveau 11, on en est à 10⁸⁸⁰ univers observables.

10⁸⁰ groupes de niveau 11 font un groupe de niveau 12, on en est à 10⁹⁶⁰ univers observables.

10⁸⁰ groupes de niveau 12 font un groupe de niveau 13, on en est à 10¹⁰⁴⁰ univers observables.

10⁸⁰ groupes de niveau 13 font un groupe de niveau 14, on en est à 10¹¹²⁰ univers observables.

10⁸⁰ groupes de niveau 14 font un groupe de niveau 15, on en est à 10¹²⁰⁰ univers observables.

10⁸⁰ groupes de niveau 15 font un groupe de niveau 16, on en est à 10¹²⁸⁰ univers observables.

10⁸⁰ groupes de niveau 16 font un groupe de niveau 17, on en est à 10¹³⁶⁰ univers observables.

10⁸⁰ groupes de niveau 17 font un groupe de niveau 18, on en est à 10¹⁴⁴⁰ univers observables.

10⁸⁰ groupes de niveau 18 font un groupe de niveau 19, on en est à 10¹⁵²⁰ univers observables.

10⁸⁰ groupes de niveau 19 font un groupe de niveau 20, on en est à 10¹⁶⁰⁰ univers observables.

10⁸⁰ groupes de niveau 20 font un groupe de niveau 21, on en est à 10¹⁶⁸⁰ univers observables.

10⁸⁰ groupes de niveau 21 font un groupe de niveau 22, on en est à 10¹⁷⁶⁰ univers observables.

10⁸⁰ groupes de niveau 22 font un groupe de niveau 23, on en est à 10¹⁸⁴⁰ univers observables.

10⁸⁰ groupes de niveau 23 font un groupe de niveau 24, on en est à 10¹⁹²⁰ univers observables.

10⁸⁰ groupes de niveau 24 font un groupe de niveau 25, on en est à 10²⁰⁰⁰ univers observables.

10⁸⁰ groupes de niveau 25 font un groupe de niveau 26, on en est à 10²⁰⁸⁰ univers observables.

10⁸⁰ groupes de niveau 26 font un groupe de niveau 27, on en est à 10²¹⁶⁰ univers observables.

10⁸⁰ groupes de niveau 27 font un groupe de niveau 28, on en est à 10²²⁴⁰ univers observables.

10⁸⁰ groupes de niveau 28 font un groupe de niveau 29, on en est à 10²³²⁰ univers observables.

10⁸⁰ groupes de niveau 29 font un groupe de niveau 30, on en est à 10²⁴⁰⁰ univers observables.

10⁸⁰ groupes de niveau 30 font un groupe de niveau 31, on en est à 10²⁴⁸⁰ univers observables.

10⁸⁰ groupes de niveau 31 font un groupe de niveau 32, on en est à 10²⁵⁶⁰ univers observables.

10⁸⁰ groupes de niveau 32 font un groupe de niveau 33, on en est à 10²⁶⁴⁰ univers observables.

10⁸⁰ groupes de niveau 33 font un groupe de niveau 34, on en est à 10²⁷²⁰ univers observables.

10⁸⁰ groupes de niveau 34 font un groupe de niveau 35, on en est à 10²⁸⁰⁰ univers observables.

10⁸⁰ groupes de niveau 35 font un groupe de niveau 36, on en est à 10²⁸⁸⁰ univers observables.

10⁸⁰ groupes de niveau 36 font un groupe de niveau 37, on en est à 10²⁹⁶⁰ univers observables.

10⁷ groupes de niveau 37 font un groupe de 10²⁹⁶⁷ univers observables, l'univers de Linde.

[Bruno- 3 967]

Ah, j'ai trouvé le sujet de l'examen de licence de maths option « très très très grands nombres » de cette année. (Oui, c'est du niveau 3è de votre époque et niveau bac d'il y a dix ans, mais avec les dernières réformes c'est maintenant du niveau bac + 3, c'est comme ça [eh oui, bac + 3, vous voyez que le niveau monte !].)

 

1) Calculer la racine carrée de 10 puissance 1000.

2) Comparer les nombres 10 puissance 1000 et 1000 puissance 10.

3) Calculer la moyenne géométrique de 10 puissance 1000 et 1000 puissance 10.

4) Comparer les nombres 10 puissance 1000, 10 puissance (10 puissance 10) et (10 puissance 10) puissance 10.

5) Démontrer que (10 puissance (1000 - 1)) - 1 est divisible par 27.

6) Calculer cosinus(10 puissance 1000 degrés) (C'est pas une blague, c'est calculable niveau terminale d'il y a dix ans ! Mais je ne suis pas sûr que les élèves le sachent.)

 

Modifié 23 décembre 2021 par Bruno-

[Kirth 4 246]

Tu déconnes ??? 

C'est nul !!!! 

[marco polo 649]

Euh... on a le droit à la calculette ?

[Bruno- 3 967]

Marco : pour le cosinus, oui, mais une calculatrice toute simple, type collège, avec laquelle on ne pourra pas manipuler ces nombres.

 

Kirth : tu penses que c'est jouable comme sujet de bac ? Les premières questions OK, mais j'oserais pas donner l'ensemble.

Modifié 24 décembre 2021 par Bruno-

[Kirth 4 246]

Tout non, probablement pas. 

Mais là tu me parles de bac+3!

[George Black 5 798]

Il y a 15 heures, Bruno- a dit :

1) Calculer la racine carrée de 10 puissance 1000.

2) Comparer les nombres 10 puissance 1000 et 1000 puissance 10.

3) Calculer la moyenne géométrique de 10 puissance 1000 et 1000 puissance 10.

4) Comparer les nombres 10 puissance 1000, 10 puissance (10 puissance 10) et (10 puissance 10) puissance 10.

 

A la condition de définir la notion de moyenne géométrique, c'est à la portée d'un(e) lycéen(ne) de seconde ou de première en termes de notions sur les puissances de dix et de leur maîtrise attendue. Néanmoins, cela dépend de l'élève.

 

Il y a 15 heures, Bruno- a dit :

5) Démontrer que (10 puissance (1000 - 1)) - 1 est divisible par 27.

 

Pas très compliqué à la condition de connaître les règles sur les critères de divisibilité. Et là encore, en donnant le critère (méthode de la divisibilité de la somme des blocs de 3), la démonstration devrait être à la portée d'un(e) lycéen(ne).

 

Il y a 15 heures, Bruno- a dit :

6) Calculer cosinus(10 puissance 1000 degrés)

 

Calculable à partir de la question 5 et à la condition de connaître les propriétés des fonctions trigonométriques. Mais intuitivement, il pourrait y avoir un truc chiant à traiter (une histoire de parité d'un coefficient entier multiplicatif de 270°), donc j'ai un doute ici pour que cela soit accessible à un lycéen. Cela demande de réfléchir un peu...

 

Après, il faut voir :

- Le niveau attendu dans les démonstrations et leur rigueur.

- Le temps donné pour ces questions.

- S'il ne s'agit que de petites questions pour se mettre en jambes et gagner quelques points faciles à l'examen (?) Tous les examens sont construits crescendo avec quelques questions faciles voir naïves au début. 

 

J'ai des annales de L3 maths autrement plus avancées que ça en termes d'exigences.

[marco polo 649]

la 6) n'est pas si compliquée et il faut bien passer par un multiple de 270 (X) que te prépare la 5). Tu trouveras aisément que (X*270)+10 est divisible par 4.

4*270=3*360 et donc cosinus(10 puissance 1000 degrés)=0

c'était bien du niveau terminal C d'il y a 30-40 ans

Modifié 24 décembre 2021 par marco polo
trop rapide et donc faux :-)

[Bruno- 3 967]

Quand j'écris :

Il y a 17 heures, Bruno- a dit :

j'ai trouvé le sujet de l'examen de licence de maths option « très très très grands nombres » de cette année

on est d'accord que j'ai fait ce qu'il fallait pour que tout le monde comprenne que je plaisantais ? À moins que l'option « très très très grand nombre » existe vraiment ? Le but était de se moquer du niveau qui baisse...

 

En terminale il y a quelques années, on voyait la notion de congruence (je ne sais pas si c'est encore le cas). Je pense que c'est le plus simple pour traiter les deux dernières questions. Mais pour la dernière question, encore faut-il avoir l'idée d'appliquer les congruences. (Par contre il me semble que cos(10^1000) = cos(280°), il reste à sortir la calculatrice...)

 

Les questions 1 à 4 demandent juste de connaître les propriétés des puissances, mais dans un contexte original par rapport aux exercices habituels (et il faut effectivement définir la moyenne géométrique). Je verrais bien ça en seconde mais c'est peut-être ambitieux sans indication.

Modifié 24 décembre 2021 par Bruno-

[Kaptain 5 876]

A propos de grands nombres, il me semble me souvenir que 9^9^9 permettrait de mettre une étiquette sur tous les électrons de l'univers visible.

[marco polo 649]

oui @Bruno-  tu as raison, je suis allé  beaucoup trop vite. il faut arrêter de boire un soir de réveillon

Modifié 24 décembre 2021 par marco polo

[Alain_G 137]

A vous lire je me rends compte que mes cours de maths sont bien loin...

[Superfulgur 16 088]

Il y a 2 heures, Bruno- a dit :

En terminale il y a quelques années, on voyait la notion de congruence

 

C'était clairement il y a quelques années, parce que j'ai visité récemment le musée des congruences, à Lyon, y'a rien sur les maths, rien.

 

 

 

[starjack 1 715]

Il y a 3 heures, Superfulgur a dit :

congruences

 

Nah oui, au congruent de la Saône et du Rhône, beau musée ! 

[George Black 5 798]

Pour les curieux. Quelques éléments de réponse.

 

5) 10^{(1000 - 1)} - 1 est divisible par 27.

 

Démonstration (à l'arrache) :

 

10^{(1000 - 1)} - 1 = 10⁹⁹⁹ - 1 = 99...9 (suite de 999 chiffres 9).

En utilisant la méthode de la divisibilité de la somme des blocs de "3", on peut donc définir la somme S = (999) + (999) + ... + (999) = 333 x 999 = 332667 qui est bien divisible par 27 (on peut s'en convaincre en répétant l'opération précédente).

Donc 10^{(1000 - 1)} - 1 est bien divisible par 27.

 

6) Calculer Cosinus(10¹⁰⁰⁰ °)

 

1. Du résultat de la question (5) on déduit (les angles étant exprimés en degrés) :

Cosinus(10¹⁰⁰⁰ °) = Cosinus(270 k + 10) avec k un entier naturel.

 

2. Les propriétés des fonctions trigonométriques impliquent que ("a" étant un angle exprimé en degrés) :

 

Cos(a + 270 k) = Sin(a) si k = 4n + 1 où n est un entier naturel. 

Cos(a + 270 k) = - Cos(a) si k = 4n + 2 où n est un entier naturel. 

Cos(a + 270 k) = - Sin(a) si k = 4n + 3 où n est un entier naturel. 

Cos(a + 270 k) = Cos(a) si k = 4n où n est un entier naturel. 

 

3. 10¹⁰⁰⁰ est trivialement divisible par 8 (1000/8 = 125 → 10³ / 8 = 125 → 10¹⁰⁰⁰ / 8 = 10⁹⁹⁷ × 10³ / 8 = 125 × 10⁹⁹⁷). Donc 10¹⁰⁰⁰ = 8 m avec m un entier naturel (m = 125 × 10⁹⁹⁷).

 

On a donc : 8 m = 270 k + 10 d’où on déduit : k = (8 m - 10)/270.

 

Il faut vérifier si k vérifie une des conditions énoncées au point (2), i.e. :  k = (8 m - 10)/270 = 4n + b avec b = 0, 1, 2 ou 3.

On en déduit la condition à vérifier : m = 135 n + (270 b + 10)/8.

Cette dernière condition n'est valide (i.e. m et n sont des entiers naturels) que si (270 b + 10)/8 est un entier naturel.

La condition est vérifiée pour b = 1 uniquement. On en déduit donc que :

Cos(10 + 270 k) = Sin(10°)

→ Cosinus(10¹⁰⁰⁰ °) = Sin(10°).

[marco polo 649]

sympa @George Black , merci.

j'y suis arrivé par une autre méthode que j'avais bâclée hier : et qui me paraissait plus triviale :

  

 

 

Modifié 25 décembre 2021 par marco polo

[serge vieillard 6 792]

J'y connais rien

je me souviens d'un article lointain, peut être sciences et vie, qui causait du nombre de Gogol, un truc genre 10^100 qui a l'époque semblait être le maximum de ce qui était matériellement quantifiable - où quelque chose comme ça....

 

 

Modifié 25 décembre 2021 par serge vieillard

[marco polo 649]

il y a 6 minutes, serge vieillard a dit :

nombre de Gogol

oui Serge, c'est peut-être aussi et le nombre de requêtes attendues par notre ami Google. imagine qu'il y ait autant d'étoiles visibles depuis les Tuamotu où le Père Noël est en culotte courte

Modifié 25 décembre 2021 par marco polo

[Alain_G 137]

il y a 9 minutes, serge vieillard a dit :

J'y connais rien

je me souviens d'un article lointain, peut être sciences et vie, qui causait du nombre de Gogol, un truc genre 10^10,  qui a l'époque semblait être le maximum de ce qui était matériellement quantifiable - où quelque chose comme ça....

C’est gogolplex, 10 puissance 10 puissance 100. 
Et c’est ce nombre qui est à l’origine du nom de Google. 

[Bruno- 3 967]

Les 5)  et 6) se font facilement avec des congruences.

 

Mais j'aime bien manipuler les choses avant de chercher à calculer ou démontrer.

 

Je suis parti de 10^999. Il est forcément composé de 9 : 99999.... etc. Donc il est divisible par 9. Mais est-ce qu'on peut faire mieux ? J'ai eu l'intuition que si on groupe les chiffres par 3 : 999 999 999 999 ..., alors c'est divisible par 3×9 = 27. Effectivement, le reste de la division par 9 donne 111 111 111 111 ..., et comme ils sont en nombre divisible par 3 (on les a groupés par 3), c'est encore divisible par 3. C'est la méthode de Marco Polo.

 

Mais c'est très simple avec les congruences. Rappelons la définition : a ≡ b [n] (a congru à b modulo n) si et seulement si a-b est divisible par n.

 

1000-1 est divisible par 27, donc 10^3 ≡ 1 [27]

On met l'égalité à la puissance 333 : 10^(3×333) ≡ 1 [27].

Donc 10^999 - 1 est divisible par 27.

 

6) Là encore, j'ai commencé par faire des essais, en me ramenant à l'intervalle [0°, 360°] (ou [-180°, +180°]) à chaque étape :

− On part de 10°. RAS.

− Multiplions par 10 : 100°.

− Multiplions par 10 : 1000°, qui mesure le même angle que 280° (ou -80°).

− Multiplions par 10 : 10000° mesure le même angle que 2800° (ou -800°) qui mesure le même angle que... ça alors : 280° (ou -80°).

− Du coup chaque fois que je multiplierais par 10 ça se reproduira : ça mesurera toujours 280° (ou -80°). Je sais maintenant que le cosinus cherché vaut cos(280°) (ou cos(-80°), c'est pareil).

 

Pour la démonstration, on fait par récurrence. On a vu que :

(1) 10^3 ≡ 280 [360].

(2) De plus 2800 ≡ 280 [360].

Si 10^p était congru à 280 modulo 360, alors 10×10^p serait congru à 2800, c'est-à-dire encore 280 modulo 360 : la propriété « 10^p ≡ 280 [360] » est hériditaire. Comme elle est vraie pour p=3, elle est vraie pour tout p≥3, en particulier pour p=1000 : 10^1000 ≡ 280 [360].

Conclusion : cos(10^1000) = cos (280°)