Univers observable/ univers tel qu'il est.

[serge vieillard 6 743]

Trop fort.. 

Il suffisait de congruencer de façon récurrente et non moins trigonométrique pour cela - où quelque chose du même tonneau - et hop ! 

Chapo !!!

 

Modifié 26 décembre 2021 par serge vieillard

[George Black 5 774]

Le 25/12/2021 à 15:22, marco polo a dit :

sympa @George Black , merci.

 

il y a une heure, Bruno- a dit :

Les 5)  et 6) se font facilement avec des congruences.

 

3 démonstrations (équivalentes) et 3 résultats identiques ! Ouf !  

 

J'ai une préférence pour la sobriété de la solution de Bruno ! 

[belier1762 755]

Le 21/12/2021 à 22:03, Bruno- a dit :

concernant le diagramme de Bruno

 

Notre système solaire où es t'il placé dans ce diagramme , merci

Marc 

 

[Kirth 4 246]

Allez, ma démo, qui en fait rejoint celle de Bruno.

 

 

 

 

Modifié 27 décembre 2021 par Kirth
mise en page + coquille

[Bruno- 3 965]

Kirth : j'aime bien ta solution parce qu'elle fait référence à la question précédente alors que ce n'était pas prévu...

 

Il y a 14 heures, belier1762 a dit :

Notre système solaire où es t'il placé dans ce diagramme

 

Le diagramme représente l'ensemble de l'espace-temps, donc le système solaire est trop petit pour y être représenté. Disons que l'endroit de l'univers où l'on se situe est représenté par une ligne horizontale (mêmes coordonnées d'espace, mais temps qui varie de 0 à l'infini).

Modifié 27 décembre 2021 par Bruno-

[George Black 5 774]

il y a 31 minutes, Bruno- a dit :

Kirth : j'aime bien ta solution parce qu'elle fait référence à la question précédente alors que ce n'était pas prévu...

 

... c'est ce que j'ai fait aussi, en bon prof, les questions doivent être liées !

[Diziet Sma 2 152]

Le 24/12/2021 à 17:11, Bruno- a dit :

En terminale il y a quelques années, on voyait la notion de congruence (je ne sais pas si c'est encore le cas).

 

En fait l'arithmétique modulaire qui avait bel et bien pris la porte du programme de terminale, est revenue par la fenêtre il y a 5/6 ans sous la forme d'une option " Maths expertes  ", choisie presque exclusivement par les bacheliers qui visent les classes prépas ou la Licence de Maths.

Même si elle a été allégée du PPCM ou du théorème de Pell-Fermat par exemple, l'arithmétique de la terminale est d'assez loin la discipline des maths qui développe le mieux les qualités déductives et la construction logique chez les lycéens.

C'est bien pour ça que je me suis régalé à lire vos élégantes démonstrations.

La plus élégante étant bien sur la plus courte.

Du coup voici une jolie question ( non guidée et donc plus délicate ) :

Trouver les nombres premiers p, tels que 2^p + p^2 soit lui-même un nb premier.

[Bruno- 3 965]

Je note f(n) = 2^n + n^2.

f(2) = 8. Ah, ça marche pas. Conjecture : il n'y en a pas.

f(3) = 17. Ah si, ça marche ! J'ai compris : ça marche si p est un nombre premier impair, donc pour tous les nombres premiers sauf 2.

f(5) = 57. Zut, il est divisible par 3. Conjecture : ça ne marche pas pour les nombres  premiers divisibles par 2 ou par 5. C'est tordu !

f(7) = 177, encore divisible par 3. Conjecture : ça ne marche que pour 3.

f(11) = 2169 qui est un nombre premier : en effet, NGC 2169 n'est autre que l'amas ouvert « 37 » dans Orion. Bon, OK, j'arrête de faire le malin, il est divisible par 3. Conjecture : ça ne marche que pour 3, et si p > 3 ça donne un nombre divisible par 3 (qui n'est donc pas premier, de sorte que seul 3 convient).

f(13) = 8361, encore divisible par 3. Là c'est m'étnonerait que ce ne soit qu'une coïncidence !

f(17) = 131 361. Boum ! Divisible par 3. Comme par hasard !

f(19) = 524 649. Re boum ! Re 3 ! Là c'est une conspiration !

 

Bon, ben allons-y... Soit p un nombre premier > 3. Il n'est donc ni divisible par 2, ni par 3. Il est de la forme 6k + quelque chose.

• Pas 6k : c'est divisible par 2 et 3.
• Pas 6k+2 ni 6k+4 qui sont pairs.
• Pas 6k+3 qui est divisible par 3.

Il ne reste que 6k+1 et 6k+5 (ou 6k-1). Donc p ≡ 1 [6] ou p ≡ -1 [6], et donc p² ≡ 1 [6]. (1)

 

Reste à étudier 2^p. C'est sûrement cyclique :

2^3 = 8 ≡ 2 [6]

2^4 ≡ 2×2 = 4 ≡ -2 [6]

2^5 ≡ -4 ≡ 2 [6]

OK, je vois. Un récurrence triviale montre que si n est impair, alors 2^n ≡ 2 [6].

p étant justement impair, on conclut que 2^p ≡ 2 [6] (2)

 

Ah, zut, on m'appelle... Est-ce que ma conjecture est vraie ? Quel suspense !

 

Diziet Sma : exercice très intéressant qui, là encore, est facilité par l'utilisation des congruences !

 

Modifié 27 décembre 2021 par Bruno-

[Alain 31 6 507]

Merci pour ces démos magistrales  

je me suis essayé à la théorie des grands nombres, notamment en jouant au loto, mais pour les gains, au mieux je n'ai obtenu que de très petits nombres  

 

 

[Fred_76 639]

Le 21/12/2021 à 16:45, starjack a dit :

On peut être fini mais ne pas avoir de limite, ou de bords comme on veut.

C’est limite une citation de Audiard !

[Alain 31 6 507]

Il y a 9 heures, Fred_76 a dit :

Le 21/12/2021 à 16:45, starjack a dit :

On peut être fini mais ne pas avoir de limite, ou de bords comme on veut.

C’est limite une citation de Audiard !

 

Oui parce que comme pour les exemples donnés de tore ou de sphère j'ai l'impression que la surface est finie et a bien une limite.

Le bord ou la limite est partout à la surface, non ?

[Bruno- 3 965]

Il faudrait définir précisément ce qu'on entend par bord ou limite. Une limite, je dirais que c'est un endroit de l'espace d'où on ne peut pas avancer dans toutes les directions possibles. La surface d'une sphère, vue en tant qu'objet bidimensionnel, n'a pas de limite : quelque soit l'endroit où on se trouve sur la sphère, on peut avancer à gauche/droite ou devant/derrière. Mais vue comme objet tridimensionnel, effectivement chaque endroit de cette sphère est une limite : on ne peut pas avancer en haut/en bas sans sortir de la sphère.

 

Les modèles d'univers qui le décrivent comme parabolique, sphérique, etc. se basent sur des espaces qui ne sont pas compris dans autre chose. Par exemple si l'univers est sphérique, il y a cette sphère épicétou (pas comme la sphère terrestre).

[Alain 31 6 507]

Il y a 1 heure, Bruno- a dit :

Par exemple si l'univers est sphérique, il y a cette sphère épicétou

 

Difficile d'imaginer une sphère ou un autre volume quelconque dont la surface n'a de frontière avec rien. Comment un "objet" (l'univers en l'occurrence) peut-il avoir une forme définie sans qu'il y ait une référence extérieure ? 

Je comprendrais mieux l'univers infini pour lequel définir la forme n'aurait pas de sens.

[George Black 5 774]

il y a 35 minutes, Alain 31 a dit :

Difficile d'imaginer une sphère ou un autre volume quelconque dont la surface n'a de frontière avec rien. Comment un "objet" (l'univers en l'occurrence) peut-il avoir une forme définie sans qu'il y ait une référence extérieure ? 

 

Une sphère n'est pas une boule. Une boule est le volume délimité par une sphère dans un espace dans lequel cette sphère ou cette boule sont plongés.

 

Revenons à la seule sphère qui est une surface. Une sphère (ici à deux dimensions) peut être plongée dans un espace 3D, mais une surface 2D qui a les propriétés intrinsèques d'une sphère n'a pas besoin d'un espace 3D de plongement pour exister.

On peut définir un espace 2D qui a les propriétés de la surface d'une sphère (en terme de déplacements sur cette sphère par exemple) sans qu'il soit nécessaire d'avoir besoin d'un espace 3D. La représentation de la sphère 2D dans un espace 3D n'est qu'une représentation.

 

Dit autrement, si notre Univers 3D avait les propriétés d'une sphère 3D, il n'y aurait pas besoin d'une 4ème dimension pour lui permettre d'exister en tant que tel.

Modifié 28 décembre 2021 par George Black

[Alain 31 6 507]

Ouais bon .... Bonnes fêtes à tous ! 

[Bruno- 3 965]

En fait c'est une sphère en 3 dimensions, plutôt une hypersphère : la surface d'une boule en 4D. Déjà que c'est difficile de visualiser une boule en 4D, alors la surface d'une boule en 4D sans la boule en 4D...

[Alain 31 6 507]

Comme dirait Janco

Dit autrement, j'en perds la boule 

[Mercure 853]

Je ne vais pas en faire la démonstration mais il y a aussi des description d'univers, compatibles avec l'inflation, qui sont finis en taille mais infinis quand on y est. Si j'ai bien compris.

La 'surface' n'étant jamais atteignable de l'intérieur celui-ci se comportant comme un disque de Poincaré

Ce concept est intéressant mais si quelqu'un peut m'expliquer 'comment' le trame de l'espace se réduit en 'valeur absolue' ainsi que tous les bidules qui s'y trouvent. (Mais la valeur est-elle absolue?)

[Diziet Sma 2 152]

Il y a 21 heures, Bruno- a dit :

Ah, zut, on m'appelle... Est-ce que ma conjecture est vraie ? Quel suspense !

 

 

Oui et bravo, parce qu'on ne pas répondre directement à la question sans tester au moins les 6 premiers nb premiers et émettre la conjecture que pour p>3, 2^p + p^2 est toujours divisible par 3. ( sachant que seul p=3 fonctionne )

Ensuite il s'agit de de passer en modulo 3 :

- pour 2^p, c'est pas trop compliqué :

2= -1 [3] donc 2^p= (-1)^p [3] et comme p>3, 2^p = -1[3]

- pour le second membre en modulo 3, p ne peut être que congru à 1 ou 2, puisque p nombre premier >5 :

et donc p est congru forcément à 1 ou 2;

C'est presque gagné, puisque du coup p^2 est congru à 1[3].

On peut conclure que 2^p + p^2= -1[3] + 1[3] =0[3] et donc que 3 divise 2^p + p^2.

 

J'aime beaucoup ce problème ; qu'il soit posé en terminale ou en classe prépa, c'est un des plus formateurs.

y a de la bonne science là-dedans ; mesurer, tester, conjecturer et prouver.

[Bruno- 3 965]

C'est marrant, je suis passé par le modulo 6 parce que ça m'a semblé naturel alors que c'était effectivement aussi simple en calculant directement modulo 3. (De mes égalités  (1) et (2) j'en déduisais que c'était congru à 3 modulo 6 (2+1 = 3), donc que c'est de la forme 6k + 3, qui est forcément divisible par 3.)

[Alain MOREAU 7 316]

Il y a 7 heures, Mercure a dit :

Je ne vais pas en faire la démonstration mais il y a aussi des description d'univers, compatibles avec l'inflation, qui sont finis en taille mais infinis quand on y est. Si j'ai bien compris.

La 'surface' n'étant jamais atteignable de l'intérieur celui-ci se comportant comme un disque de Poincaré

Ce concept est intéressant mais si quelqu'un peut m'expliquer 'comment' le trame de l'espace se réduit en 'valeur absolue' ainsi que tous les bidules qui s'y trouvent. (Mais la valeur est-elle absolue?)

 

Certains des univers de M. C. Escher par exemple, inspirés par la géométrie hyperbolique de Poincaré et ses liens aux fractales (pas d’ordinateur à l’époque pour faciliter la tâche je le rappelle : tout était conçu et imaginé à la base par Escher comme une pure représentation mentale, puis dessiné entièrement à la main) :

http://www.josleys.com/show_gallery.php?galid=325

Plus de détails ici :

https://www.d.umn.edu/~ddunham/isis4/section1.html#fig1

 

Modifié 29 décembre 2021 par Alain MOREAU
Liens et précisions

[Mercure 853]

Voilà l'article le plus pertinent que je connaisse mais il y en surement d'autres.

https://arxiv.org/pdf/1503.06785.pdf

 

Max Tegmark est aussi amené à décrire cette configuration, de manière plus aisée pour le vulgum pecus dont moi!

Le maintient parfait de l’homothétie 'vue de l'extérieur' sans que rien ne change 'vu de l'intérieur' ne m'est donc pas clair et si quelqu'un à des idées voir l'explication (juste dire ou aller regarder) surtout qu'il n'hésite pas à partager.

[PierreJL 191]

Un Big merci pour tout ceux qui ont participé à ce sujet ! 👍🏆

J'ai pris plaisir à vous lire.

C'est un sujet classique mais propice à des réflexions mathématiques, physiques, métaphysiques...

L'univers est encore plus "grand" qu'un grand nombre de personnes se représente.

Infiniment 😉 Merci.

 

Pierre-Jean

 

 

[dg2 2 033]

Le 21/12/2021 à 16:10, Superfulgur a dit :

J'avais posé la question à Andrei Linde, dans le cadre de sa théorie d'Univers inflationnaire auto reproducteur, à la question "au delà de l'horizon, quelle est la taille de l'Univers, tel qu'on le connait ici et maintenant ?", sa réponse, laconique et vertigineuse : "Je ne sais pas. 10 puissance 1000 années-lumière, peut-être ?"

 

10 puissance 1000 années-lumière. Essayez de réaliser...

 

La taille "typique" d'un univers inflationnaire dépend énormément du modèle d'inflation considéré. Le favori de Linde est celui de l'inflation chaotique éternelle, dans lequel le taux de croissance durant la phase inflationnaire est (potentiellement) assez démentiel. Mais cela nécessite une dynamique assez spécifique de l'niflaton (= le champ dont la dynamique produit l'inflation). Le gros avantage de ce modèle est la simplicité de la dynamique, ce qui lui a longtemps conféré un statut assez privilégié, en plus d'être assez facilement testable : avec ce modèle, la quantité d'ondes gravitationnelles produites est à un niveau assez élevé, à savoir celui de la sensibilité de l'expérience BICEP2. En pensant (à tort) avoir détecté un signal d'ondes gravitationnelles, les gens de BICEP2 en ont logiquement conclu qu'ils venaient de donner un gros coup de pouce à ce modèle d'inflation-là, et c'est la raison pour laquelle ils ont mis en scène le moment où ils venaient l'annoncer à Linde. Il était prétentieux de le mettre en ligne avant confirmation de leur résultat, mais sur le principe il n'était pas idiot d'envisager de garder une trace du moment.

 

On sait ce qu'il est advenu par la suite : le signal de BICEP2 n'en était pas un, et les contraintes sur l'amplitude du signal d'ondes gravitationnelles sont désormais suffisamment fortes... pour exclure le modèle d'inflation chaotique éternelle à un très haut degré de confiance. Cela ne veut pas dire que l'inflation n'a pas duré longtemps, mais cela invalide le scénario le plus canonique, et à plusieurs égards, un des plus élégants. Moralité : la "beauté" n'est pas un bon critère pour juger de la pertinence des scénarios possibles.

 

[Mercure 853]

Merci DG2 de cette réponse qui est limpide.

Je me permets: Sur quel modèle d'inflation les avis convergent-ils le plus, aujourd'hui, au sein de la communauté des cosmologues?

Tout en étant extrêmement prudent il va sans dire.