marco polo

Trajectoire héliocentrique de la Lune

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Bonjour,

Dans le fil qui va devenir culte sur la blague Kleinienne, j'ai fait une digression concernant un article récent

Le 09/08/2022 à 10:40, marco polo a dit :

paru dans Pour La Science et qui pour moi reste encore incompris, à tel point que je croyais à un poisson d’avril pour lequel il est coutumier. Comment le mouvement héliocentrique "coplanaire" de la lune peut-il rester toujours concave sans point d’inflexion ? alors que notre satellite naturel semble très intuitivement décrire douze fois par an une sinusoide entre la pleine et la nouvelle lune.

https://www.pourlascience.fr/sd/histoire-sciences/la-sinueuse-histoire-de-la-trajectoire-de-la-lune-autour-du-soleil-24054.php

Je reste bloqué sur cette affirmation, car très très intuitivement et en m'étant amusé à reproduire les trajectoires via les multiples équations des variations de l'orbite lunaire1 et terrestre, je ne vois toujours pas comment cela est possible !

En effet, admettons que le barycentre Terre-Lune décrive une ellipse (sans tenir compte de la précession du périastre), la Lune va donc se trouver douze fois par an entre le barycentre et le soleil et douze fois par an à l'opposé du soleil par  rapport au barycentre. La distance Soleil-Lune va donc passer au moins plusieurs fois par un minimum et plusieurs fois par un maximum. il y aurait donc forcément des points d'inflexion, et la trajectoire ne serait pas toujours concave par rapport au soleil...!?

Si la trajectoire fermée de la lune était toujours concave, cela ne pourrait-être qu'une ellipse également... Non ?

Où me gourre-je ?

l'article conclut ainsi :

"La délicate solution géométrique de Maclaurin, inattendue à son époque, fut longtemps oubliée, et Dubois, au XIXe siècle, ne maîtrisait pas encore la solution analytique classique, par la géométrie différentielle. En somme, il s’agit d’une question inutile en astronomie, mais qui devrait faire le bonheur des curieux, des vulgarisateurs… et des historiens de l’astronomie !"

Des curieux ou des vulgarisateurs pourraient-ils éclairer ma lanterne ?

 

1) https://de.wikipedia.org/wiki/Mondbahn#cite_note-MeeusMorsels1Ch1-19  désolé, c'est en allemand, car pas trouvé en français, mais les équations sont universelles

Edited by marco polo

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Je joins trois fichiers, avec deux mouvements circulaires uniformes imbriqués, le petit mouvement étant, en fréquence angulaire, 12 fois plus rapide que le grand (12 lunaisons par an, donc), et son amplitude de 0,1 puis 0,01 et 0,0025, ce dernier cas représentant la réalité (rapport des rayons des orbites terrestre et lunaire de 400 = 1 / 0,0025). Pour un rapport de 1 / 10, la trajectoire fait des boucles : le mouvement n'est pas monotone au niveau de l'angle Lune-Soleil-étoile fixe. Pour un rapport 1 / 100, il n'y a plus de boucles, mais cela fait des vagues (il y a des points d'inflexion). Pour 1 / 400 il n'y a plus d'inflexion du tout.

 

Il me semble que ceci est un peu comparable à la problématique de la pente des volcans martiens : celle-ci est tellement faible que le profil de pente est toujours convexe car la "bosse" due aux volcans épouse la courbure de la planète. Autrement dit, au sommet de ces volcans, vous ne voyez pas la plaine martienne au loin, vous avez juste l'impression que la courbure de la planète est plus prononcée. 

Capture_as_01.PNG

Capture_as_02.PNG

Capture_as_03.PNG

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Merci @dg2 pour ta réponse et le temps que tu y as consacré, ton explication correspond bien à ce que dit l'article.

Attention, je ne remettais nullement en cause son raisonnement (ni le tien) mais plutôt le mien. Et je ne vois toujours pas où se trouve le paradoxe dans ma chaine logique :

En prenant toujours des approximations : orbite terrestre circulaire en mouvement uniforme, orbite lunaire (autour de la terre) en mouvement uniforme et les deux étant co-planaires. Vitesse angulaire de la Lune exactement 12x celle de la Terre.

1) la trajectoire de la Lune  est toujours concave par rapport au soleil et donc sans point d'inflexion (affirmation mathématique du raisonnement). Elle est forcement  une ellipse (avec un mouvement non uniforme)

2) la trajectoire de la Terre autour du soleil est un cercle (dans nos approximations)

3) le nombre d'intersections d'un cercle et d'une ellipse ne peut pas être supérieur à 4

4) la Lune se retrouve 12 fois par an en conjonction et 12 fois en opposition. Les trajectoires doivent donc se croiser 24 fois.

d'où le paradoxe

il y a forcément une de mes 4 affirmations qui est fausse mais laquelle ?

Edited by marco polo

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Ton affirmation 1 est fausse : la trajectoire de la Lune par rapport au Soleil n'est pas une ellipse (c'est une courbe sans nom).

 

Ton affirmation 2 est fausse : ce n'est pas un cercle et même pas une ellipse, car c'est la trajectoire du centre de gravité Terre-Lune qui est une ellipse.

 

Sachant cela, les points 3 et 4 ne servent à rien.

 

Quand la Lune passe derrière la Terre, c'est forcément concave. C'est quand elle passe devant la Terre (par rapport au Soleil) qu'on s'attendrait à ce que la trajectoire soit convexe. Il faut donc juste étudier cette demi-orbite de la Lune. J'ai fait un dessin et c'est facile à comprendre. Dessinez un arc de cercle entre deux points : une portion de la trajectoire de la Terre. Dessinez maintenant un arc de cercle entre les deux mêmes points, qui soit légèrement à l'intérieur du premier : à l'intérieur, mais légèrement, afin d'être toujours concave par rapport au Soleil. C'est la trajectoire de Lune lorsqu'elle passe devant la Terre (par rapport au Soleil).

Edited by Bruno-
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Bonjour

ce petit dessin un peu maladroit montre qu'on peut passer d'une distance à une autre sans point d'inflexion.courbes_concaves.png.f0538de8c60fb4b2a7a019d098217c0c.png

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merci @Bruno

Il y a 1 heure, Bruno- a dit :

Ton affirmation 1 est fausse : la trajectoire de la Lune par rapport au Soleil n'est pas une ellipse (c'est une courbe sans nom).

c'est quoi alors ? une courbe continue, fermée, sans boucle, toujours concave sans point d'inflexion et qui n'est ni une ellipse ni un cercle ? pourrais-tu me la dessiner ?

Il y a 1 heure, Bruno- a dit :

Ton affirmation 2 est fausse : ce n'est pas un cercle et même pas une ellipse, car c'est la trajectoire du centre de gravité Terre-Lune qui est une ellipse.

ça, comme dit dans mon premier message, je le sais bien, mais cela ne faisait pas partie de l'hypothèse simplifiée des approximations et qui n'est pas utilisé dans l'exemple de @dg2

 

merci @michelectron

Pourrais-tu compléter ton dessin pour aller plus loin d'une conjonction à une autre ? sans les points d'inflexion ?

 

Edited by marco polo

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Sans y regarder de près, intuitivement, je pense que la concavité de l'orbite du barycentre terre-lune autour du Soleil (~30° en une lunaison) doit en fait plus que compenser la convexité maximale de la trajectoire de la lune autour de ce barycentre autour de la nouvelle lune - en n'oubliant pas que la vitesse orbitale de la lune ( ~1km/s) est petite devant la vitesse orbitale de la Terre (30km/s) ce qui rend cette pseudo-sinusoide (si la terre avait une trajectoire rectiligne) déjà bien applatie. (Le cas de dg2 est bien illustratif, même si avec le a/R différent de la réalité on n'aurait plus 12 révolutions par an...)

Nicolas

Edited by biver
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Il y a 19 heures, marco polo a dit :

il y aurait donc forcément des points d'inflexion, et la trajectoire ne serait pas toujours concave par rapport au soleil...!?

 

Prenez un simple polygone régulier (carré, hexagone ou autre). La distance au centre oscille autour d'une valeur moyenne, mais le polygone est convexe (= tout segment ayant pour extrémités deux points situés au bord ou dans le polygone est intégralement situé dans le polygone).

Edited by dg2
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(Finalement je change d'avis. Le dessin de Michelectron ne suffit pas à montrer le truc. Il vaudrait mieux le compléter pour couvrir toute la trajectoire de la Lune entre les deux quartiers (et passant par la Nouvelle Lune) afin de montrer pourquoi la  trajectoire est concave même quand la Lune est entre le Soleil et nous. Faites plutôt le dessin que j'ai décrit.)

 

(Michelectron : là où les deux courbes intérieures se rejoignent de façon tangente, à droite, il pourrait bien y avoir un point d'inflexion pour la courbe du milieu. On ne voit pas pourquoi ça ne pourrait pas être le cas. Si les courbes ne se rejoignaient pas de façon tangente, ce serait facile, mais elles doivent être tangentes et on ne voit pas ce qui empêche le point d'inflexion. Fais le dessin que j'ai décrit)

Edited by Bruno-

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Merci Nicolas pour ton intervention, Je suis bien conscient de la complexité du système Soleil-Terre-Lune, au point d'en avoir créer une modélisation 3D à partir des équations simplifiées (donné dans l'exemple sur wikipédia et issu d'un livre de la NASA des années 60 pour justement modéliser simplement sans faire appel à des calculs différentiels). J'en arrive à visualiser les éclipses sur plus de 80 ans à une plus ou moins une heure près en longitude. le modèle est donc très valable via ces équations.

il y a 48 minutes, biver a dit :

ce qui rend cette pseudo-sinusoide (si la terre avait une trajectoire rectiligne) déjà bien applatie

 Et donc pour revenir au modèle très simplifié coplanaire avec mouvements circulaire uniforme(faux bien-sûr) mais comme décrit plus haut par dg2 et dans l'article , il m'est impossible (mais c'est probablement ma faute) de me représenter cette trajectoire continue toujours concave, fermée qui croiserai 24 fois l'orbite terrestre circulaire (ou même elliptique)

 

il y a 13 minutes, dg2 a dit :

Prenez un simple polygone régulier (carré, hexagone ou autre). La distance au centre oscille autour d'une valeur moyenne, mais le polygone est convexe.

 

oui, mais là, nous sommes j'espère d'accord, dans l'article et dans vos hypothèses de départ la trajectoire de la lune est forcément continue (et non discontinue comme pour les polygones) et fermée.

donc comment est cette courbe sans point d'inflexion ?

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Il y a 1 heure, marco polo a dit :

c'est quoi alors ? une courbe continue, fermée, sans boucle, toujours concave sans point d'inflexion et qui n'est ni une ellipse ni un cercle ? pourrais-tu me la dessiner ?

 

Cette courbe n'a pas de nom particulier (contrairement à un cercle ou une ellipse). C'est en effet une courbe continue, sans boucle, toujours concave et sans point d'inflexion. Oui, il est possible de la dessiner (mais il faudra le faire sur un très grand poster pour qu'elle soit suffisamment loin du cercle, à cause de la distance Terre-Lune qui est minuscule à côté de la distance Terre-Soleil (*), et je n'ai ni l'envie ni le matériel, de toute façon je ne pourrai pas scanner un si grand dessin).

 

------

(*) La distance Terre-Lune est 400 fois plus petite que la distance Terre-Soleil. Sur un dessin à l'échelle, si on veut que l'écart des trajectoires héliocentriques soit de 1 cm (un peu comme sur le dessin de Michelectron), il faudra dessiner l'orbite de la Terre avec un cercle de 4 mètres de rayon. C'est vraiment un grand poster ! :) )

Edited by Bruno-
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Ok, merci à vous, je crois que j'ai fini par comprendre : une ondulation très aplatie autour d'un cercle peut avoir un rayon de courbure toujours orienté vers le centre du cercle.

Mon erreur provient surement de la définition stricte du mot inflexion, qui nécessite un changement de signe (orientation) de la concavité et non un changement ou variation cyclique de l'ondulation, car visualisé à plat dans la direction de la Terre.

Etonnant que cette courbe n'ai pas de nom.

Bon quelqu'un s'y colle pour somme à l'infinie  de 1+2+3+4+5+...+n-1+n=-1/12 :)

Edited by marco polo

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Il y a 17 heures, dg2 a dit :

Pour un rapport de 1 / 10, la trajectoire fait des boucles : le mouvement n'est pas monotone au niveau de l'angle Lune-Soleil-étoile fixe. Pour un rapport 1 / 100, il n'y a plus de boucles, mais cela fait des vagues (il y a des points d'inflexion). Pour 1 / 400 il n'y a plus d'inflexion du tout.

Il y a quelque chose qui me chiffonne: Je suppose qu'on peut facilement déterminer le rapport où la boucle devient un point de rebroussement Mais à partir de quel rapport les vagues disparaissent? Intuitivement on pense plutôt à une atténuation asymptotique, non? Donc on aurait bien un résidu d'inflexion mais imperceptible même dessiné en format A-12!

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ce qui est écrit dans l'article de Pour la Science :

Les cinq cas théoriques possibles de trajectoire lunaire

Désignons par a = kb, k > 1 et b > 0 les rayons respectifs des orbites circulaires, supposées coplanaires, de la planète et de son satellite, et par ω > 0 et Ω = λω, λ > 1, les vitesses angulaires respectives de leurs mouvements circulaires uniformes, par rapport à une direction fixe dans le plan orbital de la planète. La forme de la trajectoire héliocentrique du satellite est liée aux seuls paramètres k et λ. En supposant que la Lune est située sur le segment Soleil-Terre à l’instant t = 0 (conjonction Lune-Soleil ou nouvelle lune), il est possible de déterminer les coordonnées de la Terre par rapport au Soleil et de la Lune par rapport à la Terre dans le plan de l’écliptique (commun aux orbites de la Terre et de la Lune) pour tout instant t. On en déduit celles de la Lune par rapport au Soleil pour tout instant t.

 

 

Grâce à la périodicité de sa trajectoire héliocentrique, il suffit de s’intéresser à celle-ci au voisinage de t = 0 (où a lieu la nouvelle lune). Essentiellement en recherchant la position du centre de courbure de cette trajectoire en ce point, on voit apparaître cinq cas :

Cas 1 : λ < λ2 < k, la trajectoire est partout concave du côté du Soleil.

Cas 2 : λ < k = λ2, comme le cas 1, mais avec un point à courbure nulle (points de rectitude) à la conjonction (cas limite, probabilité nulle d’être réalisé).

Cas 3 : λ < k < λ2, la trajectoire est ondulée avec des points d’inflexion.

Cas 4 : k  = λ < λ2, comme le cas 1, mais avec un point de rebroussement à la conjonction (épicycloïde, cas limite, probabilité nulle d’être réalisé).

Cas 5 : k < λ < λ2 : la trajectoire n’a pas de point d’inflexion, mais présente des boucles, des points doubles et une rétrogradation autour de la conjonction.

Avec λ2 ≈ 179 et k ≈ 389, le couple Terre-Lune se trouve dans le cas 1 de l’étude analytique

 

Edited by marco polo

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Un petit dessin fait à l'arrache qui montre (je trouve) le « truc » :

 

lune-terre.png

 

 

Zut, j'ai scanné ça en noir et blanc, pas en couleur...

− La courbe en trait fin, c'est la trajectoire de la Terre, qui se déplace de A vers B. La Terre est représentée par les cercles avec une croix à l'intérieur.

− La courbe en trait gras, c'est la trajectoire de la Lune. La Lune est représentée par les gros points noirs (sauf A et B). On voit bien qu'elle tourne autour de la Terre.

 

Sachant qu'en réalité la trajectoire de la Lune est encore plus collée contre celle de la Terre. Si la trajectoire de la Terre est un cercle, celle de la Lune est quasiment un cercle.

Edited by Bruno-
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Merci @Bruno- ce qui m'a débloqué c'est :

 - l'affirmation 1 est fausse, d'autres courbe toujours concaves fermées existent autres que des ellipses ou des cercles

 - l'image de @dg2 avec les polygones.

en cherchant plus loin, ces courbes existent bien et ont un nom : des ellipses multifocales possédant n "sommets":

en voici un exemple facile à visualiser : en rouge avec n=3 et croisant six fois le cercle en noir.

image.png.a1208cb0f812fed61416fe94b04f9a4b.png

 

il suffit d'imaginer avec douze sommets pour s'approcher de notre modèle à douze lunaisons.

la courbe en rouge est bien toujours strictement concave vers le centre du cercle

Edited by marco polo
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Il y a 1 heure, marco polo a dit :

en cherchant plus loin, ces courbes existent bien et ont un nom : des ellipses multifocales possédant n "sommets"

 

Ah, tu me l'apprends ! :)

 

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