Binning et fwhm

[Nathanael 6797]

Il y a 2 heures, olivdeso a dit :

Bof ça m'étonne qu'à moitié, faut chercher où est l'erreur, car il y en a forcément une. On en fait tous les jours. Faut juste en entre conscient et savoir la détecter. C'est ce ne que tu as fait. De là à dire d'où ça peut venir, toi seul le sait...

Le truc, c'est que c'est récurent comme constatation, comme je change assez souvent de caméra et/ou de focale. J'ai longuement cherché l’erreur, et ce n'est pas la première fois que je mets ça sur le tapis. Donc pour toi, le phénomène dont je parle est inexistant, soit.

J'invite quand même ceux qui le peuvent à faire l'expérience et à nous faire un retour. Il serait si simple de reprendre mes données et d'en contester par des mesures le résultat.

 

Il y a 2 heures, Marc S a dit :

C'est pour rappel et info sans vouloir interférer le sujet...

C'est très lié effectivement. Mais ici il faut comparer les fwhm avant traitement sinon ça n'a plus de sens.

 

Il y a 8 heures, christian viladrich a dit :

D'autre part, quand avec un logiciel on redimensionne l'image à 50% (le terme binning 2x2 n'est pas vraiment justifié), alors le signal n'augmente pas. Il reste quasiment le même aux interpolation près.

Iris ou Maximdl (au moins) font du vrai binning, c'est à dire compter les adu de 4, 9, 16...  pixels réunis. Le rsb est doublé en bin2.

Je viens de le vérifier sous Iris avec une brute. Les signaux sont x4 , le bruit du fdc x2.

Nathanaël

Edited September 30, 2022 by Nathanael

[Nathanael 6797]

il y a 59 minutes, olivdeso a dit :

faut chercher où est l'erreur, car il y en a forcément une

Tu es le premier à dire que la psf peut s'améliorer jusqu'à un échantillonnage de fwhm/6 ET à trouver évident que la fwhm ne varie pas avec le binning.

Ces deux phénomènes ensemble conduisent à mes conclusions il me semble.

Prenons un exemple concret :

fwhm 2" à 1"/p (setup 1)

fwhm 1.7" à 0.5"/p (setup 2)

fwhm 1.7" à 1"/p (setup 2 bin 2)

Ce sont des valeurs arbitraires, remplace les par celles que tu veux.

Nathanaël

 

Edited September 30, 2022 by Nathanael

[Marc S 574]

il y a 18 minutes, Nathanael a dit :

il y a 40 minutes, Marc S a dit :

C'est pour rappel et info sans vouloir interférer le sujet...

C'est très lié effectivement. Mais ici il faut comparer les fwhm avant traitement sinon ça n'a plus de sens.

 

C'est vrai, je suis d'accord, c'est avant traitement.

 

Mais je suis perplexe. On parle seulement de résolution, d'étoiles fines avec fwhm...

 

Et la détection dans tout cela, le S/B ?

 

On veut résoudre sans trop de signal ou le contraire ?

 

Avec les CMOS et les petits pixels on s'oriente inévitablement vers la résolution.

 

On veut les détails sans trop voir?

 

[Nathanael 6797]

Il y a 1 heure, Marc S a dit :

Et la détection dans tout cela, le S/B ?

Si on fait du bin2 on multiplie le rsb par 2, de la même façon que si on double la taille des pixels ou qu'on diminue la focale par 2.

Dans mon exemple juste au-dessus, le setup 2 bin 2 a le même rsb que le setup 1 bin 1 (si on met dans les conditions de négliger le bruit de lecture ce qui pose peu de problème en cmos).

Nathanaël

[olivdeso 1856]

Il y a 6 heures, Nathanael a dit :

fwhm 2" à 1"/p (setup 1)

fwhm 1.7" à 0.5"/p (setup 2)

fwhm 1.7" à 1"/p (setup 2 bin 2)

 

Là dedans c'est FWHM 2" qui m'étonne un peu. Mais les conditions ont pu changer par rapport au 1,7 si ce n'est pas fait pile en même temps. D'une pose à l'autre en on a tout à fait ce genre de variations

 

Mais c'est le même télescope ? Même diamètre ?

 

Il y a 6 heures, Nathanael a dit :

Tu es le premier à dire que la psf peut s'améliorer jusqu'à un échantillonnage de fwhm/6 

 

C'est ce que je constate expérimentalement avec une CCD sur plusieurs observations. Échantillonnage 0,54". En gros à 2,5" en bin 1 tu gratté un peu de finesse par rapport au bin 2, mais à 3" de FWHM tu ne gagné plus rien, tu peux passer en bin 2.

 

Il y a 6 heures, Nathanael a dit :

ET à trouver évident que la fwhm ne varie pas avec le binning

 

Oui c'est évident. Quand tu atteint un échantillonnage suffisamment serré en bin 2 pour reproduire fidèlement l'étoile, sur-échantilloner en bin 1 ne change pas la forme.

Edited October 1, 2022 by olivdeso

[Nathanael 6797]

Il y a 7 heures, olivdeso a dit :

Là dedans c'est FWHM 2" qui m'étonne un peu. Mais les conditions ont pu changer par rapport au 1,7 si ce n'est pas fait pile en même temps. D'une pose à l'autre en on a tout à fait ce genre de variations

 

Mais c'est le même télescope ? Même diamètre ?

Alors toutes les manips que je fais sont faites avec mon newton 245/1472 (paracorr2) ou 2972(paracorr2+powermate x2). C'est celui-là. Mais les valeurs ci-dessus sont complètement arbitraires dans mon exemple. Prenons en d'autres, et suivons ton raisonnement.

Imaginons un setup 1 qui donne des images de 3" à 1,5"/p. Echantillonnage = fwhm /2.

Imaginons un autre setup 2 qui donne des images à 2.5" à 0.75"/p, la même nuit, mêmes conditions etc... Puisqu'on échantillonne plus fin (Echantillonnage = fwhm/4), les images sont plus fines (peu importe la valeur, c'est pour le raisonnement).

Maintenant, je fais au traitement un bin 2 sur le setup 2. J'ai à nouveau 1.5"/p avec des images à 2.5" (puisque le binning ne change pas la fwhm) au lieu de 3" dans le setup 1.

J'ai gagné en finesse en gardant le même rsb.

Où est l'erreur?

Nathanaël

[christian_d 2975]

Bonjour,

 

Hors sujet FWHM : En début de fil tu montres 2 images, la 1ere faite en bin1 et la seconde en bin2 (software), donc ce sont pas 2 acquisitions différentes, si j'ai bien compris.

Sur ces images je ne vois pas vraiment le gain de détection obtenu grâce au bin2, je veux dire que les 2 images présentent le même niveau de faible signaux :

 

 

 

Mais c'est peut être un réglage des niveaux qui "fait que".

Bref un de ces jours pourrais tu nous passer une image acquise en bin1 et cette même image transformée en bin2 à posteriori, si possible avec les mêmes réglages de niveaux et sans "grosse étoile" dans le champ.

J'aimerais voir "visuellement" ce qu'apporte le gain "logiciel" du bin2 avec un Cmos.

 

 

Amicalement

 

 

Christian

 

Edited October 1, 2022 by christian_d

[olivdeso 1856]

Il y a 2 heures, Nathanael a dit :

Alors toutes les manips que je fais sont faites avec mon newton 245/1472 (paracorr2) ou 2972(paracorr2+powermate x2).

 

C'est intéressant.

 

Mais ce que tu peux faire : tu prends l'image avec l'échantillonnage le plus serré et tu la redimensionne en post traitement en 2 fois plus petite.

C'est exactement la même chose que ce que fait le binning d'une caméra cmos, du moins avec un algorithme très basique qui fait la somme des 4 pixels binnés. Tu peux bien sûr aussi faire du binning classique.

 

Et tu mesure la FWHM sur l'image réduite.

 

Tu peux essayer différents facteurs de réduction, jusqu'à trouver la limite à partir de laquelle tu ne retrouve plus ta FWHM d'origine.

[olivdeso 1856]

il y a 27 minutes, christian_d a dit :

aimerais voir "visuellement" ce qu'apporte le gain "software" du bin2 avec un Cmos.

 

En fait rien du tout si tu affiche les image à la même taille sur l'écran !

Là c'est le PC qui va binner pour afficher.

[alx 33]

Bonjour,

 

Il y a deux idées qui me semblent un peu approximatives dans ce fil, concernant l'échantillonnage et le "binning".

1) L' échantillonnage du signal par les pixels de la caméra n'est pas un simple échantillonnage (au sens mathématique, c'est-à-dire la convolution par une fonction peigne); mais c'est un échantillonnage épais à cause de la dimension des pixels, qui ajoute une convolution par une fonction créneau, c'est-à-dire la multiplication par une fonction sync et qui conduit donc à un élargissement du signal mesuré.

2) Le "binning" n'est pas un filtrage (convolution) mais s'apparente à une décimation, opération qui conduit aussi à un élargissement du signal mesuré, mais dans une très faible mesure tant que le critère de Nyquist/Shannon est satisfait.

 

Les résultats d'une petite simulation numérique (ou un calcul analytique si on en a la patience) permet de fixer les ordres de grandeur et illustre les remarques précédentes.

J'ai considéré une tache gaussienne (sigma=1.27") correspondant à un FWHM réel de 3.000". 
J'ai aussi considéré que les pixels étaient parfaitement jointifs, ce qui n'est sûrement pas le cas en réalité.

Le FWHM listé est celui qui est obtenu par ajustement d'une gaussienne sur les données simulées correspondantes.

 

  pix    ech   bin  fwhm
  -----------------------
  3.0"   1/1   x1   3.609
  3.0"   1/1   x2   3.788
  -----------------------
  1.5"   1/2   x1   3.217
  1.5"   1/2   x2   3.225
  -----------------------
  0.75"  1/4   x1   3.066
  0.75"  1/4   x2   3.073
  -----------------------
  0.37"  1/8   x1   3.022

 

On voit que dès qu'on atteint Shannon, l'élargissement est marginal (moins de 10%) compte tenu du bruit de mesure et des variations de la turbulence.
Néanmoins, il vaut mieux sur-échantillonner un peu plus (1/3 ou 1/4 du FHWM).
C'est à cause de la dimension non nulle des pixels qu'il est usuellement recommandé d'échantillonner "au-delà de Shannon" (mais avec un échantillonnage  de 1/8, on obtient encore un élargissement de près de 1%) .

Tant qu'on satisfait Shannon voire un peu mieux, le "binning" n'apporte rien ou, autrement dit et plus pratiquement,  un "binning" adéquat va compenser l'inconvénient de pixels trop petits.  
 

[christian viladrich 5829]

il y a 10 minutes, alx a dit :

1) L' échantillonnage du signal par les pixels de la caméra n'est pas un simple échantillonnage (au sens mathématique, c'est-à-dire la convolution par une fonction peigne); mais c'est un échantillonnage épais à cause de la dimension des pixels, qui ajoute une convolution par une fonction créneau, c'est-à-dire la multiplication par une fonction sync et qui conduit donc à un élargissement du signal mesuré.

2) Le "binning" n'est pas un filtrage (convolution) mais s'apparente à une décimation, opération qui conduit aussi à un élargissement du signal mesuré, mais dans une très faible mesure tant que le critère de Nyquist/Shannon est satisfait.

 

Très juste. Cette précision est bienvenue

[Nathanael 6797]

Il y a 7 heures, christian_d a dit :

Bref un de ces jours pourrais tu nous passer une image acquise en bin1 et cette même image transformée en bin2 à posteriori, si possible avec les mêmes réglages de niveaux et sans "grosse étoile" dans le champ.

Difficile avec les niveaux. Il s'agit la d'une brute en bin 1 puis binnée 2 après acquisition dans Iris.

Bizarrement, sur l'empilement, le gain n'est plus aussi important (plutôt de l'ordre de x1.5 en rsb mais il y a déjà une normalisation de l'offset, registration et addition sigma median...)

Nathanaël

 

 

Edited October 1, 2022 by Nathanael

[Nathanael 6797]

Il y a 7 heures, olivdeso a dit :

Mais ce que tu peux faire : tu prends l'image avec l'échantillonnage le plus serré et tu la redimensionne en post traitement en 2 fois plus petite.

C'est exactement la même chose que ce que fait le binning d'une caméra cmos, du moins avec un algorithme très basique qui fait la somme des 4 pixels binnés. Tu peux bien sûr aussi faire du binning classique.

 

Et tu mesure la FWHM sur l'image réduite.

Je ne comprends pas toujours la logique des forums, c'est là.

 

Il y a 7 heures, olivdeso a dit :

Tu peux essayer différents facteurs de réduction, jusqu'à trouver la limite à partir de laquelle tu ne retrouve plus ta FWHM d'origine.

Ici.

Nathanaël

[Nathanael 6797]

@alx merci pour ces précisions

 

Il y a 5 heures, alx a dit :

On voit que dès qu'on atteint Shannon, l'élargissement est marginal (moins de 10%) compte tenu du bruit de mesure et des variations de la turbulence.

Ta simulation ne tient pas compte de la turbulence je suppose? Car dans le cas d'une psf théorique, j'ai peur qu'on soit assez loin de ce qu'on peut mesurer expérimentalement. Je pense même que c'est la turbulence dans toutes ses dimensions qui fait qu'on peut affiner autant les étoiles en réduisant drastiquement l'échantillonnage. Mes meilleures images en pose longue (des heures / 5mn) sont à 1.5" c'est à dire encore 3x moins "résolues" que la fwhm théorique.

Cela dépasse de loin mes compétences théoriques, d'où ce post et celui-ci qui est lié . J'apporte un témoignage d'un phénomène que je ne peux pas m'expliquer. Depuis des années, mes images s'affinent au fur et à mesure que j'abaisse l'échantillonnage. Je suis parti de fwhm de 3" à 1.5"/p et j'en suis à 1.5" à 0.33"/p (plus récemment je suis passé à 0.25"/p, on va voir, mais il faut binner pour le rsb en CP d'où la question). Pour moi, c'est un constat (ceux qui en ont la patience peuvent aller voir là, il y a plus de 200 images depuis 2015). Tout ça avec le même télescope, sur  la même monture, sur le même site.

Bon, après ça, il y a des gens qui témoignent de leur enlèvement par des extra-terrestres : je n'en veux donc pas aux gens qui me prennent pour un fou

Nathanaël

 

[christian_d 2975]

Citation

Difficile avec les niveaux. Il s'agit la d'une brute en bin 1 puis binnée 2 après acquisition dans Iris

 

 

Merci Nathanael et désolé pour ce "hors sujet".

Je ne vois de différence entre les 2 images, les faibles signaux sont identiques dans les 2 cas, et je ne vois pas davantage de faibles signaux sur l'image binner 2 fois.

 

 

Je ne perturbe plus le sujet sur la FWHM, sur ce point je pense que alx a bien résumé la situation.

 

Amicalement

 

Christian

 

[Nathanael 6797]

Il y a 2 heures, christian_d a dit :

Je ne vois de différence entre les 2 images, les faibles signaux sont identiques dans les 2 cas, et je ne vois pas davantage de faibles signaux sur l'image binner 2 fois.

A mon sens, on ne peut pas "voir" plus de faibles signaux en bin2 qu'en bin1, même lorsque le binning a lieu à l'acquisition. En revanche, le rsb est multiplié par 2, de sorte qu'un très faible signal qui n'est pas 3x supérieur au bruit du ciel en bin 1 peut le devenir en bin2. Je pourrais à l'occasion faire des mesures.

On voit bien sur les deux images que j'ai postées que le rsb (le contraste en quelque sorte) est supérieur en bin 2 qu'en bin 1. Rien n'apparait (ce n'est pas de la magie ) mais tout semble plus visible et contrasté (mais moins gros). Bon, la compression jpg des captures d'écran n'aide pas non plus, faudrait que je passe d'iris à PS pour éviter ce phénomène.

Nathanaël

[christian_d 2975]

Il y a 4 heures, Nathanael a dit :

A mon sens, on ne peut pas "voir" plus de faibles signaux en bin2 qu'en bin1, même lorsque le binning a lieu à l'acquisition. En revanche, le rsb est multiplié par 2

 

Ok Nathanael, merci pour ton commentaire.

 

Cela m'étonne, le fait de faire par exemple une pose de 15 secondes en bin2 "acquisition" montre davantage de faibles signaux qu'une même pose de 15 secondes en bin1. D'ailleurs j'utilise toujours le bin2 pour recadrer un faible objet au centre du capteur avec des poses de 3 ou 4 secondes, faible objet qui ne serait pas forcément visible avec 3 ou 4 secondes en bin1. De souvenir avec un CCD on multiplie par 3 ou 4 le RSB en bin2, c'est plus d'une magnitude de gagnée pour un même temps de pose (de souvenir le rapport entre 2 magnitudes est de 2.5). Il n'est pas utile de faire des mesures : cela se voit au nombre d'étoiles sur le fond de ciel. 

On utilise aussi le bin2 pour faire le RGB, c'est bien plus rapide en terme de RSB. On doit recadrer les images pour les superposer au format de la luminance faite en bin1. Mais l'info couleur est moins exigeante que l'info luminance.

 

Ceci dit un de ces jours je ferai l'essai bin1 et bin2 pour te faire voir.. après tout je peux me tromper ...!

Je parle bien entendu du binning acquisition, et non "logiciel".

 

 

Amicalement

 

 

Christian

Edited October 2, 2022 by christian_d

[Nathanael 6797]

Il y a 4 heures, christian_d a dit :

De souvenir avec un CCD on multiplie par 3 ou 4 le RSB en bin2

Oui, par 4 surtout à 15s. Pourquoi? Parce que le signal est 4x plus fort, le bruit de lecture identique (on lit 4 pixels ensemble en une fois) ET le bruit de lecture est prépondérant sur le bruit du fond du ciel en CCD  en 15s.
Mais si tu posais 20mn par exemple de manière à pouvoir négliger le bruit de lecture (cad le bruit du fond du ciel redevient prépondérant sur le bruit de lecture) alors le gain ne serait que de 2 car le fond de ciel augmente aussi et son bruit également mais par sa racine carrée.

De la même manière, comme en cmos il est plus facile (rapide) de pouvoir négliger le bruit de lecture, le binning 2 revient à multiplier le rsb par 2.

Mais si on pose très court en cmos, alors le bruit de lecture devient prépondérant et ce n’est plus comme en ccd cad que chaque pixel est lu (il y a un lecteur par pixel) indépendamment du binning. De sorte qu’on a 4x le signal en bin 2 mais aussi 4x le signal de lecture donc deux fois son bruit. Donc rsb x2 aussi.
 

Il y a 4 heures, christian_d a dit :

 Il n'est pas utile de faire des mesures : cela se voit au nombre d'étoiles sur le fond de ciel. 

Je veux bien voir ça de visu en effet.   Il doit bien y avoir un moment où on voit des choses en plus puisque le rsb augmente.

Sur mes images j’ai déjà fait les mesures le rsb est bien x2 sur les brutes non pretraitees. Mais c’est vrai que c’est étonnant de ne pas voir quelques endroits où l’on « sent » quelque chose en bin 2 et rien en bin1.
 

Il y a 4 heures, christian_d a dit :

après tout je peux me tromper ...!

Moi aussi, ça va de soit. Mais je ne veux pas remplacer mes convictions (sur la base de centaines de photos) par quelques certitudes énoncées, serait-ce par le Dieu de l’astrophoto. C’est pour ça que j’insiste un peu pour comprendre, y compris, éventuellement, là où je me trompe.

Nathanaël

Edited October 2, 2022 by Nathanael

[Nathanael 6797]

J'ai cherché des détails pour illustrer ce gain de rsb par 2.

Nathanaël

[christian_d 2975]

il y a 20 minutes, Nathanael a dit :

Sur mes images j’ai déjà fait les mesures le rsb est bien x2 sur les brutes non pretraitees

 

Je pense que j'ai pigé : le binning logiciel n'apporte aucune détection supplémentaire, je veux dire que les étoiles qui ne sont pas détectées en bin1 restent non détectées en bin2. En revanche si tu mesures la hauteur des pics (des étoiles) bin2  tu auras effectivement des valeurs plus élevées, c'est normal puisque tu regroupes un signal déja existant en bin1 . Mais tu ne pourras jamais sortir d'autres signaux plus faibles. C'est pour cette raison que l'on ne voit pas plus d'étoiles sur ton image bin2.

Si tu veux en binning1 les étoiles les plus faibles sont de 15eme magnitude (c'est un exemple), en bin 2 tu auras toujours les mêmes étoiles de 15eme magnitude, pas davantage, mais avec un "pic" plus élevé si tu mesures, mais n'est pas la "détection" que l'on considére habituellement. En aucune manière tu auras des étoiles de 16 ou 17eme magnitude à partir de ton image bin1, on ne peut pas créer quelque chose qui n'existe pas. Tu vois ce que je veux dire ? C'est exactement ce que montrent tes 2 images. Ton image bin1 est "gravée dans le marbre" et ne pourra jamais donner plus.

A mon avis tu devrais faire du binning 2 acquisition et non pas "logiciel", dans ces conditions tu vas réellement gagner en détection.

 

Bon au moins j'ai appris quelque chose : le biining logiciel Cmos ne sert pas à grand chose, et, à ta place je laisserais tomber cette piste et je garderais mes images en bin de 3000 pix.

 

 

 

Amicalement

 

Christian

 

 

 

[christian_d 2975]

Non, Nathanael, les étoiles de ton image bin1 sont visibles sur le bin2, mais sont plus "concentrées", plus "dynamique" puisque tu regroupes des signaux déja existants en bin1, en aucune maniére tu détectes des nouveaux signaux en bin2

[Lucien 10425]

Le Binning 2X logiciel permet de gagner en RSB d'un facteur 2.

C'est marrant comme on revient sur ce point dans de nombreux forums.

 

Si l'on gagne en RSB avec le BIN2X  (facteur 2 en CMOS ou facteur 4 en CCD typiquement), on distinguera mieux des signaux plus faibles.

Pourquoi réduire le propos à détectera ou détecteras pas ?

Il faudrait à mon avis parler de probabilité de détection...

Au dessus de l'étoile la plus brillante il y en a deux ou trois autres qu'il est bien difficile de distinguer sur le Bin1 mais bien plus facile sur le Bin2.

 

Si on se fixe un seuil de détection donné en RSB et souvent exprimé en décibels, alors on détectera plus d'objets en Bin2.

Maintenant si sur une image donnée on ne VOIT pas plus plus d'objets, c'est sans doute qu'il n'y en avait pas plus.

 

SVP les amis, essayons de ne pas utiliser le terme finesse en imagerie.

Ce terme n'a pas de définition précise.

 

Lucien

 

Edited October 3, 2022 by Lucien

[christian_d 2975]

Bonjour,

 

Lucien je ne partage pas ton propos. 

Les étoiles visibles en bin2 sur l'image de Nathanael sont également visibles en bin1. Le seule chose qui différe c'est leur intensité moindre due à l'étalement du signal sur un nombre de pixels plus importants en bin1.

Le binning logiciel permet simplement de "concentrer" ce signal sur un plus petit nombre de pixels, et donc d'obtenir une meilleure visibilité du "spot". On peut faire la même chose avec PS CS2...par exemple obtenir des étoiles plus fines et plus "dynamiques", cela se fait couramment en post traitement.

 

Si le gain en détection (qui a le pouvoir de sortir des signaux au dessus du bruit) était bien de 2 nous verrions davantage de signaux sur l'image bin2. Et ce n'est pas le cas.

A mon sens le gain de 2 est obtenu au moment de l'acquisition des images, et non à posteriori sur le binning d'une image déja existante en bin1.

 

Aussi je me permets d'insister auprès de Nathanael : faire l'acquisition d'une image de 30 secondes en bin1 comparée à une seconde acquisition de 30 secondes en bin2, et voir la différence (ou 3 x30 secondes en bin1 et 3 x30 secondes acquises en bin2).

Et on verra ce qu'il en est. Et si je me trompe je m'engage à formuler mes excuses à la communauté ...! (clin d'oeil).

 

Amicalement

 

 

Christian

 

http://www.astrosurf.com/chd

http://www.astrosurf.com/arp

 

  

Edited October 3, 2022 by christian_d

[Pascal C03 3805]

 

Sur ce problème de binning, je me permets de citer @jean dijon

[Lucien 10425]

Bonjour Christian,

 

Est-ce que nous sommes d'accord sur cette proposition : 

 

Si on se fixe un seuil de détection donné en RSB ( et souvent exprimé en décibels), alors on détectera plus d'objets en Bin2 qu'en Bin1.

( J'essaie de ne pas utiliser le mot VOIR )

 

Autrement dit : si l'on se dit qu'un objet est détecté s'il émerge du bruit d'un facteur trois ( ou autre chiffre),

alors on détectera plus d'objets en BIN2 qu'en BIN1.

 

Si l'on introduit la vision humaine dans cette affaire, c'est très subjectif à chacun.

 

Lucien