Trous noirs et autres objets relativistes

DEMONSTRATION DE
E = mc².

Cette démonstration, assez compliquée, repose sur 3 lois :

La loi de conservation de la quantité de mouvement.

L'expression de la quantité de radiation, c'est-à-dire la quantité de mouvement d'un complexe de radiation se déplaçant dans une direction déterminée.

L'expression de l'aberration de la lumière (influence du mouvement de la Terre sur la position apparente des étoiles fixes).

Considérons à présent le système suivant : Supposons un repère d'origine Ko, d'abscisse Xo et d'ordonnées Zo. Soit un corps B, au repos dans l'espace relativement au système (ou repère) Ko. Deux complexes de radiations S et S', possèdant chacun une énergie E / 2, se meuvent respectivement sur une droite parallèle à Xo, S dans le sens positif et S' dans le sens négatif.

Ces deux complexes sont absorbés par B. Celui-ci reste au repos par rapport à Ko, par raison de symétrie.

Considérons maintenant le même processus relativement au système K, qui se meut relativement à Ko à une vitesse constante v dans la direction négative de Zo. relativement à K, la description du processus est le suivante : Le corps B se meut dans la direction positive Z, (de la même façon que vous, lors d'une marche arrière, voyez la route se déplacer vers l'avant) avec une vitesse v.
Les deux complexes de radiations ont maintenant des directions relativement à K qui forment avec l'axe X l'angle w.

La loi de l'aberration affirme qu'en première approximation :

w = v / c

où c est la vitesse de la lumière (encore elle!). Des raisonnement faits relativement à Ko, nous savons que la vitesse v de B reste inchangée par l'absorption de S et de S'.

Nous allons maintenant appliquer la loi de la conservation de la quantité de mouvement, relativement à la direction Z, à notre système dans le repère K.

Avant l'absorption

Soit M la masse de B, Mv est alors l'expression de la quantité de la quantité de mouvement de B, conformément à la mécanique classique. Chacun des complexes S et S' possède l'énergie E / 2. Par conséquent, d'après la théorie de Maxwell, ils portent la quantité de mouvement E / 2c (On n'entrera pas trop dans les détails). Rigoureusement parlant, ceci est la quantité de mouvement de S relativement à Ko.
Toutefois, quand v est petit relativement à c, la quantité de mouvement de S relativement à K est la même, car v² / c² très petit par rapport à 1. La composante Z de cette quantité de mouvement est

( E / 2c ) sin w

.
Cependant, comme w très petit, on peut dire que sin w (sinus w) = w. On a donc pour la composante Z :

( E / 2c ) w

( E / 2c ).( v/ c )

S et S' ont ensemble, par conséquent, une quantité de mouvement E ( v / c² ) dans la direction de Z. La quantité de mouvement totale du système avant l'absorption est donc :

Mv + ( E / c² )v

car la quantité de mouvement de B est Mv, celle de chacun des complexes de radiation ( E / 2 ).( v / c² ), soit pour le total des 2 complexes Ev / c².

Après l'absorption

Soit M' la masse de B. J'anticipe ici la possibilité que la masse est augmentée par l'absorption de l'énergie E (C'est necessaire pour que le résultat final de notre raisonnement soi cohérent).
La quantité de mouvement du système après l'absorption est alors

M'v

Nous admettons maintenant la loi de la conservation de la quantité de mouvement et l'appliquons relativement à la direction Z. Ceci nous donne l'équation

Mv + ( E / c² )v = M'v

M' - M = E / c²

Cette équation exprime la loi de l'équivalence de l'énergie et de la masse. L'accroissement de l'énergie E est lié à l'accroissement de la masse E / c².
Puisque l'énergie, conformément à la définition habituelle, laisse une constante additive arbitraire (on se préoccupe des variations d'énergie, pas de l'énergie totale), nous pouvons choisir cette dernière de telle sorte que