DEMONSTRATION DE LA
RELATIVITE DU TEMPS.



Attention : la puissance 1/2 correspond à la racine carrée.

Le temps, ce n'est que ce qui sépare deux évènements distincts. Pour repérer deux évènements, il faut situer ces derniers dans l'espace (Où ça se passe) et dans le temps (Quand ça se passe). Pour situer un objet dans l'espace, on se sert de 3 coordonnées, notée x, y et z. Le temps est noté t.
Prenons deux évènements E1 et E2. Ces évènements sont par exemple le départ d'une fusée à un signal donné. La fusée part à t = 0, avec un homme à bord. Son ami reste sur Terre. Dans une géométrie euclidienne, la distance entre deux points dans un espace à 3 dimensions (le temps n'est alors pas compté) est donné par la formule :

d2 = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 + (z2 - z1)2



Cependant, en géométrie de Lorentz (Du nom du savant qui l'a mise au point), géométrie dont on se sert en relativité, on a, pour deux évènements E1 et E2 de coordonnées respectives (x1, y1, z1, t1) et (x2, y2, z2, t2) :

S2 = (x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 + (z2 - z1)2 - c2 (t2 - t1)2


"c²" est ici le carré de la vitesse de la lumière, soit environ 9x1016. C'est un facteur numérique immuable, permettant de convertir les secondes en mètres. S2 est une distance formelle. Cela n'a plus rien d'une simple distance physique.
En remplaçant les coordonnées d'espace par d2, on obtient la formule suivante :

S2 = d2 - c2 (t2 - t1)2


On voit que l'on obtient un carré égal à la différence de deux autres carrés, soit des grandeurs toujours positives. Distinguons deux cas :
  • Le carré S2 est positif. Dans ce cas, on a d2 supérieur à c2 (t2 - t1)2. Cela veut dire que la distance entre les deux évènements est plus grande que le temps dont dispose la lumière pour aller de l'un à l'autre. Dans ce cas, les 2 évènements ne peuvent pas être liés par des relations de cause ou de conséquence. L'intervalle est dit du genre "espace".

  • Le carré S2 est négatif. On a alors d2 inférieur à c2 (t2 - t1). La distance entre ces deux points est inférieure au temps dont dispose la lumière pour aller de l'un à l'autre. Il y a donc des relations de cause à effet entre nos deux évènements. L'intervalle est dit de "temps".


    • Notre personnage dans sa fusée voit passer, par son hublot, des petites balises "kilométriques" indiquant des distances, toujours croissantes par rapport à la Terre, ainsi que le temps depuis son départ. Notons Tm le temps passant pour notre intrépide voyageur, Vm sa vitesse, To le temps de son ami sur Terre. L'observateur terrestre verra la fusée s'éloigner de lui (Déplacement dans l'espace) et dans son temps terrestre (Noté To).

    S2 = d2 - c2 ( to )2



    Notre cosmonaute, lui, ne constatera aucun déplacement dans l'espace, puisqu'il voit toujours les balises au même endroit, depuis l'intérieur de sa fusée. Il ne se déplace donc que dans le temps, soit pour cet homme :

    S2 = - c2 ( tm )2, car d2 = 0



    Le principe de base dans la géométrie de Lorentz, est que, pour un même évènement, toute personne observera la même vitesse formelle S2. On a alors la relation :

    - c2 (tm)2 = d2 - c2 ( to )2



    La distance n'est autre que le produit de la vitesse moyenne par le temps. Ainsi, la relation bien connue des collégiens nous donne d = vt
    Remplaçons ainsi d par le produit vt dans l'expression précedente. On obtient alors :

    - c2 ( tm )2 = Vm2to2 - c2 (to)2


    A présent, arrangeons progressivement tout cela :

    - c2 ( tm )2 = to2 ( Vm2 - c2)


    ou

    c2 ( tm )2 = to2 ( c2 - Vm2)



    Cela montre bien que le temps de la fusée ralenti par rapport à celui de la Terre. Si nos deux personnages pouvaient se voir, celui sur Terre verait son collègue dans la fusée agir au ralenti, alors que lui même se verrait "normal". Notre cosmonaute, lui, se verrai "normal" mais remarquerait que son ami sur Terre se déplaçait comme sur un film en accéléré.
    A présent, retrouvons la célèbre formule de la relativité :

    tm2 = [ to2 ( c2 - Vm2) ] / c2


    ou

    tm2 = to2 [ 1 - ( Vm2 / c2) ]


    ou, la puissance 1/2 correspondant à la racine carrée :

    tm = ( to2 [ 1 - ( Vm2 / c2 ) ] )1/2


    ou encore

    tm = to [ 1 - ( Vm2 / c2) ]1/2



    Et voila, le tour est joué! Ce n'était pas si compliqué que ça, finalement. N'hésitez pas à m'écrire si vous avez des questions à me poser.

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