Approche de la physique quantique
de manière plus mathématique.
Introduction.
Le but de cette page est la présentation de la physique quantique de manière "construite". La lecture et la compréhension de cette page nécessite un niveau de physique environ bac.
Nous allons construire la physique à partir de l'atome le plus simple, à savoir l'atome d'hydrogène. Bonne lecture!
Si vous avez du mal à tout comprendre, n'hésitez pas à me contacter, je me ferais une joie de vous répondre!
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I°) Que nous dit l'expérience ?
Lorsque l'on observe le spectre d'émission de l'atome d'Hydrogène, on observe que ce dernier n'est pas continu, mais qu'il présente des raies, à des longueurs d'onde l très précises.
Les premières expériences ont montrées que l'on avait pour s = 1/l la relation suivante :
s = Rh*(1/n2 - 1/m2), avec n et m entiers non-nuls et m>n. Rh est la constante de Rydberg.
Si n = 1 et m = 2, 3, 4, ..., on a la série de Lyman, située dans les ultraviolets.
Si n = 2 et m = 3, 4, 5, ..., on a la série de Balmer, située dans le visible.
Si n = 3 et m = 4, 5, 6, ..., on a la série de Pashen, située dans les infrarouges.
Si n = 4 et m = 5, 6, 7, ..., on a la série de Brackett, située dans les infrarouges également.
Cette relation a été obtenue par l'expérience. En 1911, le jeune physicien Niels Bohr propose un modèle mathématique de l'atome d'Hydrogène, appelé le modèle de l'atome de Bohr.
II°) Le modèle de l'atome de Bohr.
Pour vous donner le courage de lire la suite, je vais vous motivez en vous disant que ce modèle, même s'il est validé par l'expérience est faux, car il se sert de la mécanique classique :
En mécanique classique, l'énergie d'un corps (ici l'unique électron en mouvement autours de l'atome) est la somme de 2 termes : son énergie cinétique Ec, liée à sa vitesse et d'une énergie potentielle Ep, ici l'interaction électrostatique avec le noyau. (On rappelle pour ceux qui se sont déjà endormis que l'électron est chargé négativement et que le proton central est chargé positivement!).
On a donc E = Ep + Ec.
Ou encore E = -e2/(4peor) + 1/2*mv2 (1)
avec e la charge de l'électron, r sa distance avec le noyau (supposé ponctuel),m la masse de l'électron et eo la permittivité du vide, c'est à dire une autre constante fondamentale de la physique.
L'électron est soumis à la force attractive électrostatique du noyau (on néglige l'attraction gravitationnelle) de valeur -e2/(4peor2). Cette force d'attraction est perpendiculaire à la trajectoire (on dit centripète). En appliquant la relation fondamentale de la dynamique, on trouve :
mv2/r = -e2/(4peor2)
On multiplie par r : mv2 = -e2/(4peor)
On reporte dans (1) et on trouve :
E = -e2/(8peor) (2)
On obtient ici une fonction de variable r qui est continue, c'est à dire que pour n'importe quelle valeur de r (non nulle) on trouve une valeur de E. C'est bien sûr faux, car on a vu que le spectre de raie de l'atome d'Hydrogène ne présente que quelques raies nettement séparées. Or c'est raies correspondent à des valeurs d'énergie précises. Pourquoi alors l'électron, pouvant prendre la valeur de r qu'il veut d'après le modèle précédent et donc posséder l'énergie qu'il veut ne le fait pas en réalité?
Bohr suppose alors que l'énergie de l'électron ne peut prendre que des valeurs très précises et uniquement ces valeurs. En d'autres termes, que l'énergie de l'électron est quantifiée. Dans son modèle, Bohr choisit de quantifier le moment cinétique orbitale L de l'électron, à savoir L = mvr.
Bohr pose la relation suivante : L = mvr = nh/2p, avec n entier (n = 1, 2, 3,...). h est la constante de Planck, constante fondamentale de la mécanique quantique.On a bien ici un L qui ne peut prendre que des valeurs précises en fonction de la valeur de n.
On avait mv2 = -e2/(4peor) (3)
Or on a à présent, selon l'hypothèse de Bohr :
mv = nh/(2pr)
La relation (3) devient alors :
v2 = n2h2/(4p2r2m2) (4)
On fait le rapport (4)/(3). On obtient :
r = eoh2n2/(pme2)
Cette fois ci n ne pouvant prendre que les valeurs de 1, 2, 3, 4,..., r ne peut prendre que des valeurs précises et pas d'autres. On a donc, pour finir (courage, on dirait pas comme ça mais on y est presque!), en reportant cette valeur de r dans l'expression de E trouvée en (2) :
E = - e2pme2/(8peo2h2n2)
E = - me4/(8eo2h2n2)
On a bien une énergie quantifiée. L'électron ne peut avoir qu'une énergie précise en fonction de la valeur de n. Or la valeur de cette énergie correspond précisément à la longueur d'onde des raies d'émission dont nous parlions au début de la page. La longueur d'onde d'une raie du spectre correspond, je vous le rapelle à l'énergie que l'électron doit perdre ou gagner pour descendre ou remonter à une orbite correspondant à une valeur de n donnée à une autre orbite avec une valeur de n valant n'. Dans tous les cas, on a n et n' entiers non nuls.
Ainsi, pour passer d'un niveau n avec une énergie En à un niveau n' avec une énergie En', il doit perdre ou gagner l'énergie :
En - En' = me4/(8eo2h2) * (1/n2 - 1/n'2)
Et là, Oh miracle, on retrouve la formule vue dans le I°) qui avait été obtenue par les expériences de Lyman, de Pasher... Il faut cependant bien voir que les résultats de ce calcul sont vérifiés par l'expérience, mais que le calcul reste FAUX, car il utilise la mécanique classique et non la mécanique quantique.
En donnant à e, m etc leur valeur on trouve la relation suivante :
En = - 13.6/n2 électron-volt
L'électron volt est une unité d'énergie correspondant à celle acquise par un électron placé dans une différence de potentiel de 1 Volt.
Pour n = 1, l'électron est dans son état fondamental, c'est à dire qu'il utilise l'orbite la plus près du noyau permise. Pour n = 2, il se trouve sur l'orbite juste au-dessus, cela correspond au premier état excité. L'énergie de l'électron vaut alors E2 = - 13.6/22 = - 3.4 e.V.
La série de Lyman est donc obtenue lorsque l'électron passe du niveau fondamental à ceux situé au dessus, la série de Balmer lorsque l'électron passe du premier niveau excité à ceux situés au-dessus... etc.
L'équation de Schrödinger.
En 1924, un aristocrate français, Louis de Broglie (prononcez "Louis de Broyl") démontre qu'à toute particule de quantité de mouvement p (quantité de mouvement = produit de la masse par la vitesse), on peut associer une onde de longueur d'onde l = h/p, avec h la constante de Planck.
Un jeune physicien autrichien, Schrödinger, va alors considerer l'électron non plus comme une particule, mais comme une onde. Il nomme Y la fonction d'onde associée à l'électron.
Il formula alors l'équation qui porte son nom et qui est l'un des pilier de la mécanique quantique :
HY = EY
H est un opérateur mathématique nommé Hamiltonien. L'équation précédente se lit donc "Hamiltonien de Y = EY". Si on décompose l'Hamiltonien pour rendre les choses plus compréhensible, on obtient :
DY + VY = EY
D représente ici l'opérateur Laplacien. Si on essaye d'éclater encore un peu plus les opérateurs, on obtient:
d2Y/dx2 + d2Y/dy2 + d2Y/dz2 + VY = EY
Y est en effet une fonction des 3 variables d'espace x, y, et z, dont on a ici les 3 dérivées partielles de 2éme ordre par rapport à ces 3 variables d'espace.
Cette équation n'est en fait rien d'autre qu'une équation différentielle du 2éme ordre passablement compliquée. En fonction des paramètres que l'on donne à cette équation, on obtient des solutions Y décrivant l'électron dans l'état donné par les paramètres initialement rentrés. Je rappelerai juste que les solutions d'une équation différentielle ne sont pas des nombres mais des fonctions.
Si vous avez lu les pages précédentes, vous devez savoir qu'en physique quantique, il est impossible de situer précisément l'électron, mais que l'on ne peut que donner une probabilité de présence. Considérons un point I de l'espace représenté par ses coordonnées x, y, et z. On considère un tout petit cube centré autours de ce point I. Chacune de ses arêtes est de longueur dx, dy et dz. (dx veut dire "très mais vraiment très petite longueur dirigée suivant l'axe des x"). Le volume de ce cube est dt = dx*dy*dz. La probabilité de présence de l'électron dans ce petit cube est donc dP.
Eh bien on a :
dP/dt = Y2
Cela s'appelle la densité de probabilité.
Il y a cependant une normalisation à effectuer : en effet, l'électron se situe bien quelque part donc si on regarde dans tout l'espace, il doit forcément s'y trouver. La probabilité de se trouver dans tout l'espace est donc de 1. On a donc la condition de normalisation suivante :
∫x∫y∫z Y2 = 1
C'est à dire que si l'on étend les dimensions de notre tout petit petit volume dt initial à tout l'univers, on est certain d'y trouver l'électron.
Les 3 premiers nombres quantiques.
La description de l'atome d'Hydrogène nécessite 3 paramètres, nommés nombres quantiques :
Le nombre quantique principal:
C'est le n dont nous parlons depuis un moment déjà. Il prend des valeurs entiers non-nuls, c'est à dire 1, 2, 3, 4,.... Il quantifie l'énergie de l'électron comme dit plus haut : on a en effet E = - 13.6/n2.
Le nombre quantique secondaire:
On le note l et on a 0 £ l £ n - 1. Ainsi, si n = 1, on a l = 0. Si n = 2, l = 0 ou 1 etc.
Il quantifie le moment cinétique L de l'électron et on a L = √[l(l+1)]*h/2p. En gros, il quantifie la forme de l'orbite alors que n quantifie son "altitude".
Si l = 0, on a une orbite s.
Si l = 1, on a une orbite p.
Si l = 2, on a une orbite d.
Si l = 3, on a une orbite f.
Le nombre quantique magnétique.
On le note ml et on a -l £ ml £ +l
Il quantifie, pour être précis, la projection de L sur une direction donnée. En gros, il précise l'orientation de l'orbite. Je ne dirais pas plus, afin de ne pas endormir ceux qui ont encore les yeux ouverts!
Si on fait le compte, pour une valeur de n donnée du nombre de combinaisons possibles (n,l,ml), on en trouve n2. Ainsi, pour n = 1 il n'y a qu'une seule orbitale possible, à savoir (1,1,1). Pour n = 2 il y en a 4 : (2,0,0), (2,1,-1), (2,1,0), et enfin (2,1,1). Pour n = 3 il y en a 9 etc.
On a vu précédemment que l'altitude de l'orbite, c'est à dire l'énergie de l'électron ne dépend que du nombre quantique principal n. Cela n'est vrai que pour l'atome d'Hydrogène et pour les ions ne comportant qu'un seul électron autours du noyau, c'est à dire des hydrogénoïdes. On parle alors d'orbites dégénérées.
Suite du programme : l'atome polyélectronique.
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