Les points de Lagrange

Dans le cadre du problème des 2 corps, Newton avait dès la fin du 17^ème siècle démontré que son modèle de la gravitation universelle conduisait aux lois de Kepler (voir article « Dans les pas d'Isaac Newton »). Tout système comprenant plus de 2 corps est malheureusement chaotique et ne présente donc pas de mouvements périodiques sauf dans certains cas particuliers comme l'a démontré Joseph Lagrange au 18^ème siècle. Nous nous intéressons dans cet article au problème restreint des 3 corps, relatif à l'une de ces configurations particulières dans laquelle le 3^ème corps possède une masse négligeable par rapport aux 2 autres, et définissant 5 points d'équilibre (points de libration) notés L₁ à L₅. Le lecteur pourra trouver aisément sur internet de multiples informations relatives aux travaux de Joseph Lagrange et plus généralement au problème des 3 corps, et je m'arrêterai là sur les aspects historiques. Je conseille par ailleurs la consultation des pages de l'American Mathematical Society au sujet des solutions du problème des 3 corps autres que les points de Lagrange.

Alors pourquoi une énième page web sur les points de Lagrange? Parce que je n'ai pas trouvé de site (mais cela ne veut pas dire qu'il n'en existe pas) abordant le sujet de façon réellement satisfaisante à mes yeux, c'est à dire de façon approfondie et sans réaliser à un moment ou à un autre le parachutage d'un résultat somme toute fort peu évident. Tout comme pour les articles sur les lois de Kepler et la formule de Tsiolkovsky, j'ai souhaité sortir des sentiers battus en traitant le sujet du mieux que j'ai pu (le lecteur me pardonnera les inévitables imperfections) compte tenu du temps que je peux consacrer à ce type d'activité, et présenter l'intégrité des calculs, effectués avec des outils mathématiques de niveau Terminale C (dérivées et intégrales simples, équations du second degré, nombres complexes, rotations – je pense que le programme de Terminale S est équivalent) à l'exception de la Transformée de Laplace (BAC+1 de mon temps). Ce travail ne constitue qu'une introduction écrite par un profane en mécanique céleste (et en mécanique tout court d'ailleurs, qu'elle soit classique ou relativiste) : il est bien évident que l'on peut faire plus élégant et il resterait entre autres à examiner le cas des orbites elliptiques (aïe!) ainsi qu'à compléter l'étude de la stabilité, notamment autour de L₁ et L₂.

L'étude des points de Lagrange m'a réservé des surprises à plus d'un titre :

• Je m'attendais à devoir traiter un problème très compliqué et finalement la recherche des solutions statiques dans le repère tournant est relativement simple bien que fastidieuse (j'ai connu bien pire sur ces deux plans). Il est vrai que tout est beaucoup plus facile lorsque l'on connaît les résultats à l'avance et que l'on peut recourir à un ordinateur pour résoudre numériquement des équations qui n'ont pas de solution littérale.

• J'étais persuadé que le calcul de L₄ et L₅ serait beaucoup plus difficile que celui de L₁, L₂ et L₃ : à l'évidence c'est exactement le contraire, car s'il est aisé d'aboutir à un résultat littéral pour L₄ et L₅, je n'ai pas trouvé d'autre moyen qu'une résolution numérique pour L₁, L₂ et L₃. Cette idée vient certainement du fait que la présence des points L₁, L₂ et L₃ saute aux yeux sans avoir à faire le moindre calcul, alors que la présence des points d'équilibre L₄ et L₅ est nettement plus surprenante car rien ne permet de penser (enfin, je parle pour moi) que les attractions des deux corps principaux s'y combinent de façon à compenser exactement la force centrifuge.

• Finalement, le point le plus délicat de toute cette analyse reste à mes yeux l'interprétation physique de la force de Coriolis : quelques expériences virtuelles sont présentées pour essayer d'éclaircir les idées ainsi qu'un développement mathématique rigoureux.

Le résultat de mon labeur est consigné dans un unique fichier , les développements des points les plus techniques ont été placés en annexe. J'espère avoir réussi à faire un développement clair et précis afin que le plus grand nombre y trouve son compte, même s'il faut bien évidemment un minimum de connaissances en mathématiques et en physique pour s'en sortir : toutes les suggestions pour améliorer ce dossier sont les bienvenues. Pour ceux que les calculs font fuir ou pour les plus pressés, j'ai préparé un résumé de quelques pages rappelant les résultats principaux.

le 19 juin 2004

Bibliographie :

[R1] Marzari F. et al, Origin and Evolution of Trojan Asteroids

[R2] Cornish Neil J., The Lagrange Points