THEORIE

Cette page résume la théorie du problème à 3 corps restreint. Vous retrouverez la théorie complète sur la page de Mr Jacques Le Bourlot.
La plupart des illustrations et explication figurant ci-dessous sont tirées de son site.

I- Le problème à 3 corps restreint

Le problème à 3 corps restreint est donc une simplification du problème à 3 corps: ici, on considère la masse de l'un des trois corps comme négligeable par rapport à celle des deux autres astres. Ainsi, on suppose que le mouvement du petit corps (que l'on appellera "corps d'épreuve", ou bien "troisième corps") n'affecte pas le mouvement des deux autres: les deux corps massifs évoluent donc comme un système à 2 corps. Les trajectoires de ces deux corps, de masse respective m1 et m2 (m1>m2) sont donc circulaires autour de leur centre de gravité O, avec une vitesse angulaire constante.

On note L la distance entre M1 et M2, et Theta leur vitesse angulaire, avec Theta=Omega.t (t le temps)

La loi des aires de Kepler permet d'écrire:

Le troisième corps de petite masse est lui soumis au champ gravitationnel formé par les deux autres. Nous calculons le Lagrangien puis l'Hamiltonien qui lui est associé: après dédimensionnement du problème et passage dans le référentiel tournant (centré en O) par une transformation canonique, nous aboutissons à l'Hamiltonien suivant:

q1 et q2 sont les positions du troisième corps dans le référentiel tournant: q1=x/L et q2=y/L
p1 et p2 sont les moments conjugués correspondants
R1 et R2 désignent les distances respectives du corps d'épreuve aux masses M1 et M2
mu est la masse réduite telle que mu=m2/(m1+m2)

Dans le référentiel tournant, M1 et M2 sont fixes sur l'axe Ox. La durée d'une révolution est t=2*Pi.

II- Les points de Lagrange

A partir des équations du mouvement déduites du Hamiltonien, nous pouvons rechercher les points fixes de ce système, c'est à dire les points où les forces engendrées par les deux astres principaux s'équilibrent. Il en existe cinq, baptisés points de Lagrange, en l'honneur du mathématicien français Louis Lagrange.

Les 3 premiers points L1, L2 et L3, situés sur l'axe passant par M1 et M2, sont instables: un corps (sonde, satellite) placé sans vitesse initiale à proximité de ces points aurait tendance à s'en éloigner. Leurs coordonnées sont les suivantes (Avec R=distance M1-M2):

Les 2 autres pointsL4 et L5 sont stables pour mu<0,038520897... Dans un tel cas, un corps placé sans vitesse initiale à proximité de ces points serait attiré par ces points et décrirait un mouvement de libration autour d'eux. Les coordonnées de L4 et L5 dans le repère tournant sont les suivantes:

Voici une représentation de l'emplacement des cinq points de Lagrange dans le repère tournant, pour une valeur de mu donnée:

Ces points présentent un grand intéret pour les missions scientifiques qui nécessitent de se stabiliser autour d'un point d'observation fixe dans le repère tournant. En plaçant une sonde sur l'un de ces points, on minimise la consommation de carburant pour la stabiliser, ce qui permet d'accroitre la durée de vie de la mission.
En outre, ces points présentent plusieurs avantages par rapport à des orbites terrestres classiques: Il sont plus éloignés de la Terre (moins de perturbations dues à l'environnement terrestre), peuvent présenter des "points de vue" privilégiés: vers le Soleil (pas d'éclipse, observation continue possible depuis L1), ou bien dans la direction opposée au système Soleil-Terre (cas de L2).
Ainsi, le satellite d'observation solaire SOHO, placé autour du point L1, réalise un survey continu du Soleil depuis 1996. Le point L2 quand à lui devrait accueillir les futures missions MAP, PLANCK et NGST entre autre.
Les points L4 et L5 du système Soleil-Terre n'ont pas pour l'instant de projet d'instrument scientifique associé; en revanche, les points L4 et L5 du système Terre-Lune ont connu des projets (non réalisés) d'installation d'instruments.
Ces points intéressent en outre les planétologues puisqu'il est démontré que de nombreux astéroides sont placé aux points L4 et L5 de nombreux astres du système solaire: on appèle communement ces objets les Troyens. Mais nous reviendrons sur ce point un peu plus loin dans notre étude.

Suite: Stabilité en L4 - Etude réalisée

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