The Solar Explorer  -  23 septembre 2021

Théorie

Un petit peu de théorie instrumentale… Les plus réfractaires aux mathématiques peuvent sauter cette partie, cela n’empêchera pas de construire et d’utiliser Sol’Ex ! Pour les autres, vous trouverez ici une justification de la conception de cet instrument, de sa dimension et l’origine de ses performances.


Si Sol’EX est un spectrohéliographe, il est avant tout un spectrographe, c’est-à-dire un instrument qui enregistre la décomposition en longueur d’onde, ou couleurs si on préfère, du rayonnement lumineux. J’ai choisi pour Sol’Ex la disposition optique la plus classique et la plus simple qui soit, comme je vais le montrer à présent.


La figure suivante présente le schéma optique :

L’instrument est constitué d’une étroite fente d’entrée, de 10 microns de large et de 4,5 mm de haut, que l’on dispose au foyer de la lunette d’observation. Vient ensuite un objectif collimateur de 80 mm de longueur focale, constitué de deux lentilles collées. Ce doublet achromatique a été spécialement optimisé pour Sol’Ex et utilise un verre spécial à haut indice. Cet objectif rend parallèles entre eux les rayons lumineux issus d’un point de la fente. Ceux-ci rencontrent ensuite un réseau à diffraction de 2400 traits/mm, de type holographique, chargé de disperser spectralement la lumière. Un objectif de 125 mm de longueur focale, lui aussi fabriqué spécialement pour Sol’Ex, focalise enfin l’ensemble des rayons dans le plan du détecteur.


La direction moyenne des rayons, avant et après le réseau, forme un « V » dont l’angle intérieur est de 34°. On appelle cet angle, l’angle « total ». Il donne sa forme générale caractéristique à Sol’Ex.


On remarque immédiatement le très fort angle d’incidence des rayons provenant du collimateur sur le réseau, environ 72° lorsqu’on travaille autour de la raie de l’hydrogène H-alpha, à 656 nm de longueur d’onde. Cette forte incidence induit un fort vignettage des rayons collectés par la lunette, le réseau de taille limite étant alors approximativement la pupille du système. Suivant le plan de dispersion (celui de la figure) l’ouverture du faisceau accepté est de f/10,6 environ. Suivant le plan perpendiculaire, et compte tenu du champ couvert par la fente de 4,5 mm de haut, l’ouverture du système est f/5,6 environ. Quelle est la signification de tout ceci. Imaginons que vous utilisez une lunette de 65 mm de diamètre et de 420 mm de longueur focale. Le rapport d’ouverture de cette lunette est donc 420 / 65 = 6,5  environ. Au premier ordre, quant celle lunette est employée avec Sol’Ex, son ouverture effective est donc f/6,5 suivant l’axe perpendiculaire au plan d’incidence (c’est l’ouverture physique de la lunette qui limite) et f/10,5 dans le plan d’incidence (c’est Sol’Ex qui limite). Si on pouvait dessiner le contour effectif de la surface utile à l’entrée de l’objectif on aurait une forme d’ellipse et non pas un cercle.


Le dimensionnement de Sol’Ex occasionne donc une perte de flux, car votre objectif de lunette se trouve diaphragmé (sauf a utiliser une lunette ouverte nativement à f/10 environ). Cette situation n’est pas critique en observation solaire, car le flux lumineux disponible est vraiment abondant. Les lunettes et objectifs photographiques utilisables avec Sol’Ex peuvent être ouverts entre f/5,6 et f/9, sans effet très visible sur les images. Malgré tout, si votre instrument est à la base très ouvert, vous pouvez tester divers diaphragmes devant l’objectif afin de le fermer, pour tester l’éventuelle amélioration de la qualité des images. Je donne des exemples à la section « Observation ». Faites des essais. Cela évite aussi de concentrer inutilement un flux excessif en un petit point à l’entrée de Sol’Ex. Par exemple, si vous voulez utiliser un objectif photographique ouvert à f/2,8 vous devrait le diaphragme à f/5,6, voire même f/7,5 (la diffraction ne dégrade pas encore la performance en général en regard des caractéristiques de Sol’Ex).


Si la forte incidence sur le réseau occasionne une perte de flux, en revanche elle se révèle très avantageuse pour ce qui concerne la finesse du spectre enregistré.  Pour comprendre ce dernier point, il faut remarquer la grande différence de taille du faisceau lumineux comptée dans le plan d’incidence, avant et après le réseau (respectivement D1 et D2) :



Cette caractéristique, propre à l’usage d’un réseau, s’appelle une anamorphose. Outre ce qui advient à la taille des faisceaux de rayons, l’anamorphose agit sur aussi sur la taille de l’image de la fente sur le détecteur. L’image de la largeur de la fente est réduite d’un facteur D1/D2, dit facteur d’anamorphose. La taille est en revanche inchangée suivant l’axe dit spatial, perpendiculaire à l’axe de dispersion. Pour illustrer cette situation, le document suivant montre l’image d’une fibre optique, remplacent momentanément la fente de Sol’Ex, avec un contour rond au départ, mais dont l’image se retrouve ovalisée au final :

Aspect que quelques images monochromatiques d’une fibre optique disposée à l’entrée de Sol’Ex pour les longueurs d’onde voisine de la raie H-alpha.



La réduction de la largeur optique de la fente provoqué par l’anamorphose a un impact net important sur le pouvoir de résolution spectral de Sol’Ex, c’est-à-dire sur la finesse des détails du spectre que l’on peut observer. Dans le cas de Sol’Ex cet impact est très positif. Il est responsable de la haute performance atteinte alors que Sol’Ex est un instrument compact.


Faisons quelques calculs. Pour l’observation de la raie H-alpha (67563 A), l’angle d’incidence des rayons sur le réseau est précisément alpha = 72,4° alors que l’angle de diffraction (après le réseau) est beta = 38,4°. La facteur d’anamorphose est donné par la formule :


A = A = cos(alpha) / cos(beta)


d’où A = cos(72,4°) / cos(38,4°) = 0,386. Cela signifie que la largeur de la fente d’entrée est réduite en quelque sorte. (optiquement ) à 0,386 x 10 microns = 3,86 microns. C’est ce résultat qui provoque un gain en résolution spectrale. Il faut ajouter que vers la raie rouge de l’hydrogène, mais aussi une large partie du spectre visible, l’optique de Sol’Ex est quasi limitée par la diffraction, c’est-à-dire qu’elle est très bonne (dès lors que l’on n’explore par simultanément un domaine spectral très large).


Le pouvoir de résolution R est défini par la formule R = λ / Δλ, avec λ la longueur d’onde d’observation et Δλ le plus fin détail observé dans le spectre en unité de longueur d’onde. On remarque que R est un nombre sans dimension. Plus est R est grand, plus on observe de petits détails dans le spectre. On démontre que :


R = fc / w x (tan(alpha) + sin(beta) / cos(alpha)) 


avec on l’a vu, alpha et beta, respectivement les angle d’incidence et de diffraction sur le réseau. Par ailleurs, fc est la distance focale du collimateur, ici fc = 80 mm, et w est la largeur physique de la fente, ici w = 10 microns = 0,010 mm. Le phénomène d’anamorphose est décrit par le terme entre parenthèse de cette formule, ainsi que l’impact de la densité de gravure du réseau. En faisant la calcul autour de la raie H-alpha, on trouve :


R = 80 / 0,010 x (tan(72,4°) + sin(38,4°) / cos(72,4)) = 41600


En considérant les aberrations optiques résiduelles, on peut considérer que le pouvoir de résolution de Sol’Ex proche de R=40000, ce qui est une performance remarquable pour un si petit instrument. On résoud donc en théorie dans le rouge (mais sur un petite largeur en longueur d’onde) des détails spectraux de Δλ = λ / R = 6563 / 40000 = 0,16 A = 0,016 nm.  Cette finesse rend la pureté des images monochromatiques délivrées par Sol’Ex supérieure à celle obtenue avec des filtres interférentiels, bien plus coûteux.


Rappelons la formule fondamentale des réseaux, qui rattache l’angle de diffraction à l’angle d’incidence :


sin(alpha) + sin(beta) = m x λ


Avec m, la densité de gravure, ici m = 2400 traits/mm et λ la longueur d’onde, ici λ = 0,6563e-3 mm. Vous pouvez contrôler que les valeurs de alpha et beta sont correctes.


Un autre paramètre optique important est le facteur de dispersion spectrale dans le plan du détecteur. Il est question d’évaluer le petit domaine spectral couvert par un pixel du détecteur. Ce paramètre, désigné par r, s’il s’exprime en A / pixel (en toute rigueur, il s’agit d’une dispersion réciproque), peut être calculé avec la formule :


r = 1e7  x p x cos(beta) / m / fo


avec p, la taille des pixels en millimètres et fo, la longueur focale de l’objectif de caméra, soit ici fo = 125 mm. 


Supposons que l’on utilise une caméra CMOS exploitant un capteur CMOS Sony IMX178, très répondu (caméra ASI178MM chez ZWO par exemple). La taille du pixel est dans ce cas de 2,4 microns, d’où p = 2,4 microns = 0,0024 mm et,


r = 1e7 x 0,0024 x cos(38,4°) / 2400 / 125 = 0,063 A/pixel


Il est important de mettre en regard l’élément de résolution spectral Δλ calculé précédemment, soit 0,16 A et l’échantillonnage du spectre par les pixels du détecteur, 0,063 A/pixel. Il apparaît que l’on a 0,16 / 0,063 = 2,53 pixels par élément de résolution, c’est-à-dire que l’on se situe au-dessus de la limite de Shannon (ou Nyquist) qui est de deux points d’échantillon par élément de résolution. C’est un bon dimensionnement pour Sol’Ex. Noter que si la caméra ASI178MM est exploitée en binning 2x2 (équivalent de pixels de 4,8 microns) on ne respecte pas le critère de Shannon, et donc de l’information est perdue. Pour les travaux qui demandent une grande précision (des mesures Doppler en particulier), il est préférable d’utiliser une caméra à petits pixels et de travailler en binning 1x1, dans la mesure du possible.


Ces considérations sur l’échantillonnage justifient pleinement l’emploi d’un objectif de caméra de  focale assez longue, de fo =125 mm. 


Une autre formule utile est celle qui donne la dispersion spectrale en A / mm, appelée facteur de plaque, désigné par la lettre P :


P = 1e7 x cos(beta) / m / fo


Avec les valeurs de notre exemple on trouve, 


P = 1e7 x cos(38,4) / 2400 / 125 = 26,1 A/mm


Traitons à présent du sujet de l’imagerie du Soleil proprement dite. En première approximation, suivant l’axe spectral, la finesse des détails observée à la surface du Soleil en seconde d’arc est donnée par la largeur de la fente au foyer de la lunette grâce à la formule :


Vx = 206264 x w / F


Avec w la largeur physique de la fente et F la distance focale de la lunette. Supposons que l’on utilise une lunette dont la focale est de 420 mm, dans ce cas avec w = 0,010 mm, on trouve :


Vx = 206264 x 0,010 mm / 420 = 4,9 secondes d’arc


Dans les faits, la situation est plus compliquée, car il faut aussi tenir compte aussi de la taille des pixels et de l’anamorphose, mais l’ordre de grandeur est bon.


Suivant l’axe spatial, la formule à utiliser est,


Vy = 206264 x p  x fc / fo / F


soit


Vy = 206264 x 0,010 x  80 / 125 / 420 = 3,1 secondes d’arc


Au final, il est raisonnable de considérer que la résolution spectrale est voisine de 3 secondes d’arc dans cet exemple. La turbulence atmosphérique peut fort bien réduire cette performance. Lors d’une journée surchauffée, le « seeing » pouvant aisément dépasser 3 secondes d’arc. Si votre seeing est meilleur, le moyen pour accroître la finesse angulaire des images consiste à augmenter la distance focale de la lunette d’observation (j’insiste sur ce point à la section « Observation »).


Enfin, il faut répondre à la question : puis-je saisir l’image du disque solaire en entier en un seul balayage en exploitant une lunette de focale F ?


Le diamètre apparent du Soleil change légèrement en fonction de la saison, mais on considère ici le diamètre de 0,53°, très représentatif. Du fait que la longueur de la fente de Sol’Ex est de 4,5 mm, la distance focale limite recherchée est donnée par la formule :


F_limite  = 4,5 / tan(0,53°) = 486 mm


Il est cependant prudent de prendre une marge de 10% au moins pour raisonnablement cadrer le disque sur la longueur de la fente. Du coup, une focale F de 440 à 450 mm est le maximum raisonnable. En outre, les bords de la fente sont un peu moins nets que le centre, d’où un petit flou potentiel aux pôles du disque si vous balayez en ascension droite. Au final, l’idéal est sûrement une focale proche de 420 mm au maximum si vous souhaitez saisir le disque en entier avec confort. Bien sûr la longueur focale peut être bien plus longue si ce dernier point n’est pas votre priorité, car vous désirez détailler au maximum la surface solaire.

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