Un petit peu de théorie instrumentale… Les plus réfractaires aux mathématiques peuvent sauter cette partie, cela n’empêchera pas de construire et d’utiliser Sol’Ex ! Pour les autres, vous trouverez ici une justification de la conception de cet instrument, de sa dimension et l’origine de ses performances.

Si Sol’EX est un spectrohéliographe, il est avant tout un spectrographe, c’est-à-dire un instrument qui enregistre la décomposition en longueur d’onde, ou couleurs si on préfère, du rayonnement lumineux. J’ai choisi pour Sol’Ex la disposition optique la plus classique et la plus simple qui soit, comme je vais le montrer à présent.

La figure suivante présente le schéma optique :

Cette caractéristique, propre à l’usage d’un réseau, s’appelle une anamorphose. Outre ce qui advient à la taille des faisceaux de rayons, l’anamorphose agit sur aussi sur la taille de l’image de la fente sur le détecteur. L’image de la largeur de la fente est réduite d’un facteur D1/D2, dit facteur d’anamorphose. La taille est en revanche inchangée suivant l’axe dit spatial, perpendiculaire à l’axe de dispersion. Pour illustrer cette situation, le document suivant montre l’image d’une fibre optique, remplacent momentanément la fente de Sol’Ex, avec un contour rond au départ, mais dont l’image se retrouve ovalisée au final :

Aspect que quelques images monochromatiques d’une fibre optique disposée à l’entrée de Sol’Ex pour les longueurs d’onde voisine de la raie H-alpha.

La réduction de la largeur optique de la fente provoqué par l’anamorphose a un impact net important sur le pouvoir de résolution spectral de Sol’Ex, c’est-à-dire sur la finesse des détails du spectre que l’on peut observer. Dans le cas de Sol’Ex cet impact est très positif. Il est responsable de la haute performance atteinte alors que Sol’Ex est un instrument compact.

Faisons quelques calculs. D’abord une formule pratique, reliant l’angle total G (dans Sol’Ex G = 34°) et l’angle d’incidence alpha sur le réseau :

alpha = arcsin(k m lambda0 / (2 cos G/2) + G/2

Avec k, l’ordre de diffraction (ici k = 1), m, la densité de gravure (ici m = 2400 traits/mm) et lambda0, la longueur d’onde au centre du capteur (ici 0,6563x10-3 mm). Par ailleurs G = alpha - beta, avec beta, l’angle de diffraction.

Pour l’observation de la raie H-alpha (6563 A), l’angle d’incidence des rayons sur le réseau est précisément alpha = 72,4° alors que l’angle de diffraction (après le réseau) est beta = 38,4°. La facteur d’anamorphose est donné par la formule :

A = cos(alpha) / cos(beta)

d’où A = cos(72,4°) / cos(38,4°) = 0,386. Cela signifie que la largeur de la fente d’entrée est réduite en quelque sorte. (optiquement ) à 0,386 x 10 microns = 3,86 microns. C’est ce résultat qui provoque un gain en résolution spectrale. Il faut ajouter que vers la raie rouge de l’hydrogène, mais aussi une large partie du spectre visible, l’optique de Sol’Ex est quasi limitée par la diffraction, c’est-à-dire qu’elle est très bonne (dès lors que l’on n’explore par simultanément un domaine spectral très large).

Le pouvoir de résolution R est défini par la formule R = λ / Δλ, avec λ la longueur d’onde d’observation et Δλ le plus fin détail observé dans le spectre en unité de longueur d’onde. On remarque que R est un nombre sans dimension. Plus est R est grand, plus on observe de petits détails dans le spectre. On démontre que :

R = fc / w x (tan(alpha) + sin(beta) / cos(alpha)) 

avec on l’a vu, alpha et beta, respectivement les angle d’incidence et de diffraction sur le réseau. Par ailleurs, fc est la distance focale du collimateur, ici fc = 80 mm, et w est la largeur physique de la fente, ici w = 10 microns = 0,010 mm. Le phénomène d’anamorphose est décrit par le terme entre parenthèse de cette formule, ainsi que l’impact de la densité de gravure du réseau. En faisant la calcul autour de la raie H-alpha, on trouve :

R = 80 / 0,010 x (tan(72,4°) + sin(38,4°) / cos(72,4)) = 41600

En considérant les aberrations optiques résiduelles, on peut considérer que le pouvoir de résolution de Sol’Ex proche de R=40000, ce qui est une performance remarquable pour un si petit instrument. On résoud donc en théorie dans le rouge (mais sur un petite largeur en longueur d’onde) des détails spectraux de Δλ = λ / R = 6563 / 40000 = 0,16 A = 0,016 nm.  Cette finesse rend la pureté des images monochromatiques délivrées par Sol’Ex supérieure à celle obtenue avec des filtres interférentiels, bien plus coûteux.

Rappelons la formule fondamentale des réseaux, qui rattache l’angle de diffraction à l’angle d’incidence :

sin(alpha) + sin(beta) = m x λ

Avec m, la densité de gravure, ici m = 2400 traits/mm et λ la longueur d’onde, ici λ = 0,6563e-3 mm. Vous pouvez contrôler que les valeurs de alpha et beta sont correctes.

Un autre paramètre optique important est le facteur de dispersion spectrale dans le plan du détecteur. Il est question d’évaluer le petit domaine spectral couvert par un pixel du détecteur. Ce paramètre, désigné par r, s’il s’exprime en A / pixel (en toute rigueur, il s’agit d’une dispersion réciproque), peut être calculé avec la formule :

r = 1e7  x p x cos(beta) / m / fo

avec p, la taille des pixels en millimètres et fo, la longueur focale de l’objectif de caméra, soit ici fo = 125 mm. 

Supposons que l’on utilise une caméra CMOS exploitant un capteur CMOS Sony IMX178, très répondu (caméra ASI178MM chez ZWO par exemple). La taille du pixel est dans ce cas de 2,4 microns, d’où p = 2,4 microns = 0,0024 mm et,

r = 1e7 x 0,0024 x cos(38,4°) / 2400 / 125 = 0,063 A/pixel

Il est important de mettre en regard l’élément de résolution spectral Δλ calculé précédemment, soit 0,16 A et l’échantillonnage du spectre par les pixels du détecteur, 0,063 A/pixel. Il apparaît que l’on a 0,16 / 0,063 = 2,53 pixels par élément de résolution, c’est-à-dire que l’on se situe au-dessus de la limite de Shannon (ou Nyquist) qui est de deux points d’échantillon par élément de résolution. C’est un bon dimensionnement pour Sol’Ex. Noter que si la caméra ASI178MM est exploitée en binning 2x2 (équivalent de pixels de 4,8 microns) on ne respecte pas le critère de Shannon, et donc de l’information est perdue. Pour les travaux qui demandent une grande précision (des mesures Doppler en particulier), il est préférable d’utiliser une caméra à petits pixels et de travailler en binning 1x1, dans la mesure du possible.

Ces considérations sur l’échantillonnage justifient pleinement l’emploi d’un objectif de caméra de  focale assez longue, de fo =125 mm. 

Une autre formule utile est celle qui donne la dispersion spectrale en A / mm, appelée facteur de plaque, désigné par la lettre P :

P = 1e7 x cos(beta) / m / fo

Avec les valeurs de notre exemple on trouve, 

P = 1e7 x cos(38,4) / 2400 / 125 = 26,1 A/mm

Traitons à présent du sujet de l’imagerie du Soleil proprement dite. En première approximation, suivant l’axe spectral, la finesse des détails observée à la surface du Soleil en seconde d’arc est donnée par la largeur de la fente au foyer de la lunette grâce à la formule :

Vx = 206264 x w / F

Avec w la largeur physique de la fente et F la distance focale de la lunette. Supposons que l’on utilise une lunette dont la focale est de 420 mm, dans ce cas avec w = 0,010 mm, on trouve :

Vx = 206264 x 0,010 mm / 420 = 4,9 secondes d’arc

Dans les faits, la situation est plus compliquée, car il faut aussi tenir compte aussi de la taille des pixels et de l’anamorphose, mais l’ordre de grandeur est bon.

Suivant l’axe spatial, la formule à utiliser est,

Vy = 206264 x p  x fc / fo / F

soit

Vy = 206264 x 0,0024 x  80 / 125 / 420 = 0,75 seconde d’arc

Cependant ce résultat est très théorique car géométrique. En pratique, compte tenu des aberrations optiques, il faut plutôt compter sur une résolution de 3 seconde d’arc sur le disque solaire. De même il est assez fréquent de travailler en binning 2x2 et dans ce cas, la taille effective du pixel est p = 2,4 = 4,8 microns.

Donc au final, il est raisonnable de considérer que la résolution spectrale est voisine de 3 secondes d’arc dans cet exemple. La turbulence atmosphérique peut fort bien réduire cette performance. Lors d’une journée surchauffée, le « seeing » pouvant aisément dépasser 3 secondes d’arc. Si votre seeing est meilleur, le moyen pour accroître la finesse angulaire des images consiste à augmenter la distance focale de la lunette d’observation (j’insiste sur ce point à la section « Observation »).

Enfin, il faut répondre à la question : puis-je saisir l’image du disque solaire en entier en un seul balayage en exploitant une lunette de focale F ?

Le diamètre apparent du Soleil change légèrement en fonction de la saison, mais on considère ici le diamètre de 0,53°, très représentatif. Du fait que la longueur de la fente de Sol’Ex est de 4,5 mm, la distance focale limite recherchée est donnée par la formule :

F_limite  = 4,5 / tan(0,53°) = 486 mm

Il est cependant prudent de prendre une marge de 10% au moins pour raisonnablement cadrer le disque sur la longueur de la fente. Du coup, une focale F de 440 à 450 mm est le maximum raisonnable. En outre, les bords de la fente sont un peu moins nets que le centre, d’où un petit flou potentiel aux pôles du disque si vous balayez en ascension droite. Au final, l’idéal est sûrement une focale proche de 420 mm au maximum si vous souhaitez saisir le disque en entier avec confort. Bien sûr la longueur focale peut être bien plus longue si ce dernier point n’est pas votre priorité, car vous désirez détailler au maximum la surface solaire.