Une mesure de la distance Terre-Lune (avec l'aide d'Aldébaran)
Salut à tous,
La semaine dernière (nuit de mardi à mercredi) on avait droit à une occultation d'Aldébaran par la Lune visible depuis une bonne partie de l'Amérique du Nord. J'avais prévu de faire une manip pour mesurer le diamètre angulaire d'Aldébaran (inspiré par des échanges sur astrosurf et ce résultat positif: http://www.brizhell.org/diametre_Aldeberan.htm ) mais les passages nuageux ont rendu la manip impossible.
Mais il y a eu juste assez de trous dans les nuages pour réaliser la deuxième manip: mesurer la distance Terre-Lune (avec l'aide d'un autre Français expatrié aux US: Nicolas / astrogatel). La manip est simple: on prend une image de la Lune avec Aldébaran dans le champ exactement au même moment depuis nos deux positions (Bloomington, dans l'Indiana pour moi / San Francisco, sur la côte Pacifique pour Nicolas). On utilise les images pour mesurer l'angle de parallaxe et avec un peu de trigonométrie (et à condition de connaître la distance entre Bloomington et San Francisco) on peut en déduire la distance Terre-Lune.
On commence avec les images.
Mon image prise à 2h30am EST (6.30 UTC, 19 Octobre) avec le Canon 5DM2 + téléobjectif Tamron 150-600 @600mm tenu à main levée (j'avais rentré le C8 vu la couverture nuageuse et même le risque de pluie et ça s'est ouvert juste 5 minutes avant la fin du transit, à 6h25 UTC...):
Full: https://photos.smugmug.com/photos/i-pLgB5qH/0/O/i-pLgB5qH.jpg
C'est pris quelques instants après lémersion d'Aldébaran.
Et au moment (à 7 secondes près...) depuis San Francisco, Nicolas obtenait cette image avec sa FS102:
Full: https://photos.smugmug.com/photos/i-jNj5SWG/0/O/i-jNj5SWG.jpg
On voit tout de suite que la Lune est bien plus loin d'Aldébaran depuis San Francisco. Reste à calculer l'angle exact.
J'ai fait un petit montage photoshop en superposant les deux images mises à la même échelle (en utilisant l'image de Nicolas pour la Lune). Ça permet de bien voir la différence de position, avec la Lune orientée de la même façon dans les deux images superposées:
Full: https://photos.smugmug.com/photos/i-JTBPgSB/0/O/i-JTBPgSB.jpg
Et une version annotée: Full: https://photos.smugmug.com/photos/i-kpkHWsC/0/O/i-kpkHWsC.jpg L'angle de parallaxe est obtenu simplement en multipliant la distance en pixels par léchantillonnage.
Calcul simplifié (approximation): La version simplifiée du calcul fait l'approximation que la Lune est au zénith depuis un deux deux points d'observation. En supposant que la Lune est au zénith depuis Bloomington au moment de la mesure, on peut facilement calculer la distance Bloomington-Lune comme étant: Distance Bloomington-Lune = (Distance Bloomington / San Francisco / 2) / tan( angle de parallaxe / 2 ) Ce qui donne 498,087Km , avec une distance Bloomington-San Francisco de 3062 Km (en ligne droite, en passant 'à travers' la Terre, cad sans suivre la courbure) et un angle de parallaxe de 1268" (= 0.006147437 radians...). La distance réelle donnée par Stellarium est de 357,831 Km. L'orde de grandeur est correct, mais la marge d'erreur est tout de même conséquente. On va donc faire un peu de maths pour corriger ça ! Calcul plus complexe (mais avec moins d'approximations) L'objectif est maintenant de calculer la distance de parallaxe, définie comme la distance entre Bloomington et un point F. Ce point F est à l'intersection de la droite perpendiculaire à la droite San Francisco-Lune et passant par Bloomington. On va faire ça en calculant l'angle Bloomington-SF-Lune et en se basant sur la trigonométrie pour en déduire la distance Bloomington-F. Pour plus d'explications, je conseille la lecture de ce PDF que j'ai trouvé sur le net et qui m'a beaucoup aidé : https://imaginary.org/sites/default/files/parallaxmeasurementinstructionsfinal.pdf Des explications intéressantes aussi sur ce site: http://www-spof.gsfc.nasa.gov/stargaze/Shipparc.htm Pour faire ça, j'ai besoin de connaître la position de la Lune dans le ciel depuis Bloomington. J'aurais pu faire ça avec un bâton vertical et une mesure de l'ombre vers le Nord et l'Ouest mais j'ai triché et utilisé Stellarium (Altitude: 55°8'24" / Azimuth: 122°02'31") Pour ceux que ça intéresse, voici le détail du calcul (en suivant la même démarche que dans le PDF dont j'ai donné le lien plus haut): (Les autres vous pouvez aller directement au résultat final un peu plus bas) 1. Transformation des coordonnées géographiques des deux points d'observation en vecteurs dans un repère Cartésien dont l'origine de l'axe des y passe par Bloomington (on considère le rayon terrestre égal à 6370 Km et on fait l'approximation que la Terre est une sphère parfaite...). Ça nous donne pour Bloomington (39°9'44" Nord / 86°31'45" Ouest) : (4939.050 , 0.000 , 4022.771) Pour San Francisco (37.74 Nord / 122.43 Ouest) : (4079.825 , -2954.348 , 3899.200). 2. On fait une double transformation pour orienter le repère comme si la Lune était au zénith depuis Bloomington et mettre Bloomington à l'origine du repère. Ça nous donne: Bloomington (0, 0, 6370)
SF (-446.804 , -2954.348 , 5625.753) puis, Bloomington (0, 0, 0)
SF (-446.8040 , -2954.3480 , -744.2472) Le deuxième vecteur est donc le vecteur Bloomington->SF. 3. Maintenant il nous faut le vecteur Bloomington->Lune. Si on plante un bâton de 1m (bien vertical) et qu'on mesure l'ombre de la Lune s'étendant de 40cm vers le Nord et 30cm vers l'Est, le vecteur Lune serait: (-300 , 400 , 1000). Là je dois le déduire à partir de la position de la Lune (Alt/Az) donnée par Stellarium. C'est de la trigo de base, et ça donne: Vecteur Lune = (369.5594 , 590.4564 , 1000.0000) [Pour une valeur de z arbitrairement fixée à 1000, ça ne change rien si on utilise une autre valeur de z, vu que x et y changeront proportionnellement). 4. Maintenant, il faut faire le produit scalaire des deux vecteurs (Blomington->SF . Bloomington->Lune) pour obtenir l'angle Bloomington-SF-Lune. dot product: -0.707176 L'angle (phi) est donné par l'arc-cosine du produit scalaire. phi = 2.356292 (radians) 5. On peut maintenant facilement calculer la distance Bloomington-F comme étant BF = (Bloomington-SF) x sin(phi) BF = 2177.137 Km (on appelle cette distance la distance de parallaxe). 6. La distance entre Bloomington et la Lune est maintenant facilement obtenue en divisant la distance de parallaxe (2177.137) par l'angle de parallaxe (1268", exprimé en radians, soit 0.3522222 radians). Ce qui nous donne (roulement de tambours ...) ******************************************************
Résultat du calcul ci-dessous
******************************************************* Distance Bloomington-Lune = 354,154 Km !!!! Pour rappel, la distance donnée par Stellarium était de 357,831 Km, soit une erreur de tout juste 1% !!! Je suis très agréablement surpris.
---------------------------------------------- Quelques compléments de réflexion: 1. Je pense qu'on a eu un peu de chance au final. Lorsque j'utilise calsky pour mesurer l'angle de parallaxe que j'aurais obtenu sans erreur de mesure je trouve un angle de 1243". Cet angle donne une distance Terre-Lune de 361,277 Km. Autrement dit, le calcul sur-estime la distance Terre-Lune. Notre imprécision de mesure étant un sur-estimation de l'angle de parallaxe, ça compense pour le biais dans le calcul.
Ceci dit, je ne suis pas certain de comprendre d'où vient l'imprécision quand je fais le calcul avec l'angle de parallaxe calculé par calsky. Au passage, j'ai noté que si j'utilise les coordonnées J2000 de la Lune depuis Bloomington et SF au même moment pour calculer l'angle de parallaxe ça ne marche pas du tout. J'ai du utiliser la différence de la distance à Aldébaran donné par clasky... Je ne comprends pas le problème !!!!
2. J'aimerai bien refaire la manip un jour en utilisant ma propre mesure de la position de la Lune. Et aussi mesurer le rayon de la Terre en utilisant l'ombre du soleil (on mesure la taille de l'ombre projetée par un bâton vertical de 1m au même moment depuis 2 points du globe et c'est parti). Objectif: faire une mesure de la distance Terre-Lune avec seulement la distance entre les deux points d'observation donnée par internet. Je suis curieux de voir le résultat. Il faudrait probablement faire plusieurs observations, depuis plusieurs points, et prendre la médiane des valeurs trouvées. 3. Conseil pour ceux qui veulent tenter la manip: faire ça à un moment où la Lune est au méridien depuis le point à mi-chemin entre les deux participants. Ça maximise l'angle de parallaxe. Je pense aussi refaire la manip en utilisant plusieurs étoiles de référence et en calculant cette fois le décalage de position du centre de la Lune quand on aligne les étoiles entre les deux images. Ça complique un petite peu la manip car il ne faut pas saturer la Lune (pour pouvoir trouver précisément le centre de la lune sur l'image) et tout de même voir les étoiles en fond (et la manip ne peut se faire qu'autour de la pleine Lune pour qu'elle soit visible en même temps depuis deux points très éloignés). Je pense que ce problème peut-être facilement résolu en faisant du bracketing. On prend une image à ~1/500sec pour la Lune et immédiatement après une image à ~1sec pour les étoiles du fond. 4. Maintenant qu'on a décroché la Lune, je pense tenter la manip avec Mars lors de l'opposition de 2018. Pour ça il me faudra probablement un partenaire en France pour maximiser l'angle de parallaxe. Dans la situation idéale, l'angle à mesurer serait de ~25". Je pense que bien fâché on doit pouvoir obtenir une précision légèrement inférieure à 5" , ce qui devrait permettre d'obtenir une approximation pas trop mauvaise de la distance Terre-Mars. Conclusion Pour terminer, un grand merci à Nicolas d'avoir participé à cette manip !!! J'avais posté un message sur cloudynights pour chercher des volontaires. Mais aucune réponse de personne intéressée !!! J'aurais peut-être du lancer un débat Celestron vs Meade pour capter l'intérêt du publique...
Si vous avez tout lu: félicitations ! (Le texte et long mais ça me permet d'avoir une trace écrite de la manip). Pour ceux qui veulent tenter la manip mais on peur des maths, j'ai écrit un petit bout de code en R qui fait tout le calcul à partir des coordonnées géographique des 2 points d'observations, de la position de la Lune dans le ciel (alt/az) depuis un des deux points et de l'angle de parallaxe. Je peux partager le code si y a des gens intéressés. Je vais aussi essayer de mettre ça dans un petit javascript quelque part sur le net (peut-être que je devrait me renseigner sur l'hébergement par astrosurf?). J'espère que ça va inciter d'autres personnes à tenter la manip. Je dois avouer que c'est ultra gratifiant de voir le chiffre apparaître sur l'écran et de constater que c'est très proche de la vrai distance. Bon ciel, jf EDIT: mise en page pour améliorer la lecture de ce post un peu touffu... [Ce message a été modifié par jfleouf (Édité le 27-10-2016).]
Et une version annotée: Full: https://photos.smugmug.com/photos/i-kpkHWsC/0/O/i-kpkHWsC.jpg L'angle de parallaxe est obtenu simplement en multipliant la distance en pixels par léchantillonnage.
Calcul simplifié (approximation): La version simplifiée du calcul fait l'approximation que la Lune est au zénith depuis un deux deux points d'observation. En supposant que la Lune est au zénith depuis Bloomington au moment de la mesure, on peut facilement calculer la distance Bloomington-Lune comme étant: Distance Bloomington-Lune = (Distance Bloomington / San Francisco / 2) / tan( angle de parallaxe / 2 ) Ce qui donne 498,087Km , avec une distance Bloomington-San Francisco de 3062 Km (en ligne droite, en passant 'à travers' la Terre, cad sans suivre la courbure) et un angle de parallaxe de 1268" (= 0.006147437 radians...). La distance réelle donnée par Stellarium est de 357,831 Km. L'orde de grandeur est correct, mais la marge d'erreur est tout de même conséquente. On va donc faire un peu de maths pour corriger ça ! Calcul plus complexe (mais avec moins d'approximations) L'objectif est maintenant de calculer la distance de parallaxe, définie comme la distance entre Bloomington et un point F. Ce point F est à l'intersection de la droite perpendiculaire à la droite San Francisco-Lune et passant par Bloomington. On va faire ça en calculant l'angle Bloomington-SF-Lune et en se basant sur la trigonométrie pour en déduire la distance Bloomington-F. Pour plus d'explications, je conseille la lecture de ce PDF que j'ai trouvé sur le net et qui m'a beaucoup aidé : https://imaginary.org/sites/default/files/parallaxmeasurementinstructionsfinal.pdf Des explications intéressantes aussi sur ce site: http://www-spof.gsfc.nasa.gov/stargaze/Shipparc.htm Pour faire ça, j'ai besoin de connaître la position de la Lune dans le ciel depuis Bloomington. J'aurais pu faire ça avec un bâton vertical et une mesure de l'ombre vers le Nord et l'Ouest mais j'ai triché et utilisé Stellarium (Altitude: 55°8'24" / Azimuth: 122°02'31") Pour ceux que ça intéresse, voici le détail du calcul (en suivant la même démarche que dans le PDF dont j'ai donné le lien plus haut): (Les autres vous pouvez aller directement au résultat final un peu plus bas) 1. Transformation des coordonnées géographiques des deux points d'observation en vecteurs dans un repère Cartésien dont l'origine de l'axe des y passe par Bloomington (on considère le rayon terrestre égal à 6370 Km et on fait l'approximation que la Terre est une sphère parfaite...). Ça nous donne pour Bloomington (39°9'44" Nord / 86°31'45" Ouest) : (4939.050 , 0.000 , 4022.771) Pour San Francisco (37.74 Nord / 122.43 Ouest) : (4079.825 , -2954.348 , 3899.200). 2. On fait une double transformation pour orienter le repère comme si la Lune était au zénith depuis Bloomington et mettre Bloomington à l'origine du repère. Ça nous donne: Bloomington (0, 0, 6370)
SF (-446.804 , -2954.348 , 5625.753) puis, Bloomington (0, 0, 0)
SF (-446.8040 , -2954.3480 , -744.2472) Le deuxième vecteur est donc le vecteur Bloomington->SF. 3. Maintenant il nous faut le vecteur Bloomington->Lune. Si on plante un bâton de 1m (bien vertical) et qu'on mesure l'ombre de la Lune s'étendant de 40cm vers le Nord et 30cm vers l'Est, le vecteur Lune serait: (-300 , 400 , 1000). Là je dois le déduire à partir de la position de la Lune (Alt/Az) donnée par Stellarium. C'est de la trigo de base, et ça donne: Vecteur Lune = (369.5594 , 590.4564 , 1000.0000) [Pour une valeur de z arbitrairement fixée à 1000, ça ne change rien si on utilise une autre valeur de z, vu que x et y changeront proportionnellement). 4. Maintenant, il faut faire le produit scalaire des deux vecteurs (Blomington->SF . Bloomington->Lune) pour obtenir l'angle Bloomington-SF-Lune. dot product: -0.707176 L'angle (phi) est donné par l'arc-cosine du produit scalaire. phi = 2.356292 (radians) 5. On peut maintenant facilement calculer la distance Bloomington-F comme étant BF = (Bloomington-SF) x sin(phi) BF = 2177.137 Km (on appelle cette distance la distance de parallaxe). 6. La distance entre Bloomington et la Lune est maintenant facilement obtenue en divisant la distance de parallaxe (2177.137) par l'angle de parallaxe (1268", exprimé en radians, soit 0.3522222 radians). Ce qui nous donne (roulement de tambours ...) ******************************************************
Résultat du calcul ci-dessous
******************************************************* Distance Bloomington-Lune = 354,154 Km !!!! Pour rappel, la distance donnée par Stellarium était de 357,831 Km, soit une erreur de tout juste 1% !!! Je suis très agréablement surpris.
---------------------------------------------- Quelques compléments de réflexion: 1. Je pense qu'on a eu un peu de chance au final. Lorsque j'utilise calsky pour mesurer l'angle de parallaxe que j'aurais obtenu sans erreur de mesure je trouve un angle de 1243". Cet angle donne une distance Terre-Lune de 361,277 Km. Autrement dit, le calcul sur-estime la distance Terre-Lune. Notre imprécision de mesure étant un sur-estimation de l'angle de parallaxe, ça compense pour le biais dans le calcul.
Ceci dit, je ne suis pas certain de comprendre d'où vient l'imprécision quand je fais le calcul avec l'angle de parallaxe calculé par calsky. Au passage, j'ai noté que si j'utilise les coordonnées J2000 de la Lune depuis Bloomington et SF au même moment pour calculer l'angle de parallaxe ça ne marche pas du tout. J'ai du utiliser la différence de la distance à Aldébaran donné par clasky... Je ne comprends pas le problème !!!!
2. J'aimerai bien refaire la manip un jour en utilisant ma propre mesure de la position de la Lune. Et aussi mesurer le rayon de la Terre en utilisant l'ombre du soleil (on mesure la taille de l'ombre projetée par un bâton vertical de 1m au même moment depuis 2 points du globe et c'est parti). Objectif: faire une mesure de la distance Terre-Lune avec seulement la distance entre les deux points d'observation donnée par internet. Je suis curieux de voir le résultat. Il faudrait probablement faire plusieurs observations, depuis plusieurs points, et prendre la médiane des valeurs trouvées. 3. Conseil pour ceux qui veulent tenter la manip: faire ça à un moment où la Lune est au méridien depuis le point à mi-chemin entre les deux participants. Ça maximise l'angle de parallaxe. Je pense aussi refaire la manip en utilisant plusieurs étoiles de référence et en calculant cette fois le décalage de position du centre de la Lune quand on aligne les étoiles entre les deux images. Ça complique un petite peu la manip car il ne faut pas saturer la Lune (pour pouvoir trouver précisément le centre de la lune sur l'image) et tout de même voir les étoiles en fond (et la manip ne peut se faire qu'autour de la pleine Lune pour qu'elle soit visible en même temps depuis deux points très éloignés). Je pense que ce problème peut-être facilement résolu en faisant du bracketing. On prend une image à ~1/500sec pour la Lune et immédiatement après une image à ~1sec pour les étoiles du fond. 4. Maintenant qu'on a décroché la Lune, je pense tenter la manip avec Mars lors de l'opposition de 2018. Pour ça il me faudra probablement un partenaire en France pour maximiser l'angle de parallaxe. Dans la situation idéale, l'angle à mesurer serait de ~25". Je pense que bien fâché on doit pouvoir obtenir une précision légèrement inférieure à 5" , ce qui devrait permettre d'obtenir une approximation pas trop mauvaise de la distance Terre-Mars. Conclusion Pour terminer, un grand merci à Nicolas d'avoir participé à cette manip !!! J'avais posté un message sur cloudynights pour chercher des volontaires. Mais aucune réponse de personne intéressée !!! J'aurais peut-être du lancer un débat Celestron vs Meade pour capter l'intérêt du publique...
Si vous avez tout lu: félicitations ! (Le texte et long mais ça me permet d'avoir une trace écrite de la manip). Pour ceux qui veulent tenter la manip mais on peur des maths, j'ai écrit un petit bout de code en R qui fait tout le calcul à partir des coordonnées géographique des 2 points d'observations, de la position de la Lune dans le ciel (alt/az) depuis un des deux points et de l'angle de parallaxe. Je peux partager le code si y a des gens intéressés. Je vais aussi essayer de mettre ça dans un petit javascript quelque part sur le net (peut-être que je devrait me renseigner sur l'hébergement par astrosurf?). J'espère que ça va inciter d'autres personnes à tenter la manip. Je dois avouer que c'est ultra gratifiant de voir le chiffre apparaître sur l'écran et de constater que c'est très proche de la vrai distance. Bon ciel, jf EDIT: mise en page pour améliorer la lecture de ce post un peu touffu... [Ce message a été modifié par jfleouf (Édité le 27-10-2016).]
