Le test de Roddier
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Nous avons vu que lors des tests visuels (startests), on peut obtenir des informations sur les défauts optiques d'un instrument en observant deux images défocalisées d'une étoile. Le test de Roddier généralise ce concept en réalisant par logiciel une analyse photométrique et géométrique automatique des deux plages intra et extrafocales obtenues à l'aide d'un détecteur CCD. 
  • Le logiciel est disponible gratuitement sur le web.


1. Principe théorique

Pour commencer, considérons un instrument parfait, donnant en son foyer l段mage d置ne étoile. On enregistre deux images défocalisée, l置ne à la distance l en avant du foyer, l誕utre à la même distance l en arrière du foyer.

La pupille d弾ntrée est éclairée de manière uniforme (Intensité I0). Soit une petite portion de cette pupille (fig. 1) : le flux lumineux qui passe par cette petite portion éclaire l段mage intrafocale sur une surface plus petite, avec une intensité I1, et l段mage extrafocale sur une surface égale à celle de l段mage intrafocale, car les deux images sont à égale distance du foyer. L段ntensité initiale I0 est donc « concentrée » de la même manière pour les deux images et on a :

I1 = I2

Fig. 1 : Test de Roddier avec un instrument parfait.
Les intensités I1 et I2 sont égales. 

Supposons maintenant que le front d弛nde issu de la pupille d弾ntrée ait un défaut : sur la petite surface de pupille considérée précédemment, il est incurvé (fig. 2). Le foyer réel est, pour cette portion de la pupille, situé en avant du foyer de l段nstrument. Sur l段mage intrafocale, la lumière est plus concentrée que sur l段mage extrafocale :

I1 > I2

Dans le test de Roddier, on compare donc I1 et I2, grâce au calcul de la quantité 
I2 I1, de manière à remonter aux défauts du front d弛nde .


 

Fig. 2 : Test de Roddier avec un instrument défectueux.
Les intensités I1 et I2 sont différentes. Cette différente d'intensité est liée à la courbure du front d'onde.

La théorie montre que si l'on considère maintenant les images dans leur ensemble (et non des petites portions comme ci-dessus), le signal calculé en effectuant la soustraction des deux images intra et extra, est proportionnel au Laplacien du front d'onde. 

  • Le Laplacien du front d'onde, dont le calcul implique les dérivées secondes, est lié à la courbure de ce front d'onde( voir fig. 2). Le problème est ici inverse : il faut retrouver le front d'onde à partir de son Laplacien. Cela s'effectue à l'aide d'un logiciel spécialisé qui effectue en plus du calcul du Laplacien, de nombreuses corrections géométriques et photométriques visant à déterminer le front d'onde et ses aberrations.
De tels calculs sont parfois effectués en temps réel par les professionnels qui exploitent le test de Roddier pour déformer la surface des miroirs  afin de corriger les aberrations du front d'onde (optique active ou adaptative).
 
 
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2. Un exemple pour mieux comprendre

La figure 3 représente la région du foyer d' un instrument entaché de l'aberration de sphéricité (en sur-correction) : les rayons centraux convergent avec une distance focale plus courte que les rayons marginaux. Le front d'onde correspondant à cette aberration est traduit en niveaux de gris (fig. 4A) : le front d'onde est concave au centre et rabattu au bord. L'image de la figure 4B représente le Laplacien de ce front d'onde.


Fig. 3 : Région du Foyer d'un instrument présentant une aberration de sphéricité (sur-correction). Le bord de l'objectif a une distance focale plus longue que son centre. Les signes + et - se réfèrent aux différences d'intensité lumineuse sur les images intra et extra, par rapport à une intensité uniformément répartie en l'absence d'aberration (cas de la figure 1).


Fig.4


A. Front d'onde
B. Laplacien du front d'onde

Fig.5


A. Image intrafocale
B. Image extrafocale

Considérons maintenant les images intra et extra focales (fig. 5):

  • Zone centrale des images : en intra il y a un excès d'intensité (noté +) et en extra il y a un défaut (noté -) car les rayons centraux convergent plus près de l'image intra (voir figure 3).
  • Zone marginale des images : en intra il y a un défaut d'intensité (noté -) et en extra il y a un excès (noté +) car les rayons marginaux convergent plus près de l'image extra (voir figure 3).
Lorsque l'on effectue la soustraction S des deux images, on obtient les résultats suivants :
  • Zone centrale : Un excès d'intensité car (+) - (-) = (+)
  • Zone marginale : Un défaut d'intensité car (-) - (+) = (-)
C'est bien ce que l'on observe sur l'image du Laplacien du front d'onde (figure 4B). Le front d'onde est relié, via l'opérateur Laplacien, au signal S obtenu en soustrayant les deux images intra et extra . (Ce que vous venez de voir est une simple illustration pour fixer les idées, en aucun cas une démonstration !)
 
 
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3. Un exemple pratique

Une fois que l'on a reconstitué le front d'onde, on peut remonter aux valeurs des principales aberrations en décomposant ce front d'onde en polynomes de Zernike.

Ces polynomes sont des fonctions mathématiques définies sur un disque et qui peuvent être reliées aux principales aberrations. par exemple, l'image de la figure 4A est la représentation du polynome de Zernike qui est relié à l'aberration de sphéricité (lire plus de détails sur les polynomes de Zernike). En additionnant plusieurs polynomes, on peut reconstituer un front d'onde affecté d'autant d'aberrations. A l'inverse, un front d'onde mesuré peut être ajusté à plusieurs polynomes, de façon à "remonter" aux aberrations.

En guise d'exemple, nous reproduisons  ici un extrait de l'analyse d'un Schmidt-Cassegrain du commerce (de bonne qualité). La figure 5A est l'image du front d'onde renconstitué par le Logiciel EF à partir de deux images intra et extra focales. Le tableau 1 donne les valeurs rms de quelques aberrations et la figure 5B est l'image du front d'onde reconstituée en utilisant les valeurs des aberrations  et les 22 premiers polynomes de Zernike. L'utilisation de ces 22 polynômes permet de retrouver les principales aberrations et de reconstruire la forme générale du front d'onde.
 
 
Aberration Valeur RMS (nm)
astigmatisme (y)
astigmatisme (x)
coma (y)
coma (x)
sphéricité
-17,5
12,5
4,4
1,17
7,75
A
B
Tab.1

Fig. 5 : (A) Front d'onde calculé avec le logiciel EF à partir de deux images. (B) Front d'onde reconstitué à partir de 22 polynomes de Zernike en utilisant les valeurs rms des aberrations fournies par EF. Le tableau 1 est un extrait de ces 22 valeurs. (L'unité est le nanomètre). 
Claude et François Roddier ont travaillé à l'observatoire de Hawaii, notamment sur la haute résolution angulaire. Ils sont actuellement retraités. Leurs travaux sur l'optique adaptative et active contribuent à l'amélioration des performances des très grands instruments. 
 
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