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Les aberrations optiques

Image stellaire affectée d'une importante coma.

Introduction (I)

Une optique est conçue pour offrir une image offrant un certain niveau de qualité. Dans ce but tous les instruments d’optique passent au banc-test et subissent un contrôle qualité plus ou moins sévère avant d’être mis sur le marché. Malgré ces contrôles aux différentes étapes de l'étude, de la conception et de l'assemblage, les objectifs ainsi que les systèmes optiques des télescopes comme des lunettes astronomiques ne sont pas exempts d’aberrations. Toutes ces imperfections, non corrigées ou résiduelles induisent une dégradation des images.

Les aberrations sont des défauts optiques apparaissant dans une image qui n'est pas conforme au sujet. La plupart résultent d’un défaut ou plutôt d’un choix de conception du maître-opticien qui obéit à un cahier des charges, un choix délibéré entre la qualité instrumentale, son prix de revient et la demande du marché.

En théorie un faisceau lumineux est représenté par un front d'ondes plan qui doit parvenir au plan focal sans aucun changement. Or, dès l'instant où il traverse une lentille par exemple, le front d'onde plan prend une forme sphérique dont le rayon est égal à la longueur focale de l'optique principale. Généralement, le plan focal n'est pas sphérique et en raison des aberrations optiques, le front d'onde réel a priori de forme idéale n'est pas sphérique non plus et s'écarte donc du front d'onde parfait.

En pratique il est impossible de concevoir un système optique sans aberrations. Quel que soit la conception, il restera toujours un pourcentage d'aberrations résiduelles aux extrémités du champ par exemple ou visibles à certaines fréquences ou dans des conditions extrêmes de prise de vue.

Les aberrations sont provoquées par la nature de la lumière et divers paramètres comme l'indice de réfraction, le nombre Abbe, la densité et le coéfficient de dilatation des verres optiques qui varient en fonction de la longueur d'onde, de la température et de la position du faisceau entrant par l'objectif ou l'oculaire (incidence et position hors-axe). Une aberration optique dépend donc de paramètres, de constantes et de variables. A différents degrés, toutes ces données peuvent produire les fameuses aberrations chromatiques, l'astigmatisme, la coma, la sphéricité, la courbure de champ et des distorsions géométriques.

Comment mesurer ces aberrations, les reconnaître, les réduire ou les supprimer ? C'est à toutes ces questions que nous allons à présent répondre.

De la loi de Snell au polynôme de Zernike

Pour analyser la qualité d'une optique il a fallut trouver une méthode de calcul pour mettre les surfaces optiques en équation afin de calculer leur écart par rapport au front d'onde parfait, c'est-dire à la sphère idéale.

Sur les bancs d'école nous avons tous appris qu'un faisceau lumineux passant à travers un milieu réfringeant (par ex. de l'eau ou une lentille) est réfracté. La loi de Snell ou loi de la réfraction connue sous la loi de Descartes décrit comment les rayons lumineux changent de direction à la surface entre deux milieux offrant des indices de réfraction différents.

Nous savons tous que lorsqu'un rayon se déplace d'un milieu offrant un faible indice de réfraction comme l'air vers un milieu offrant un indice de réfraction plus élevé comme une lentille, le rayon est réfracté et se rapproche de la normale (perpendiculaire) au plan; lorsque la lumière se déplace d'un milieu fort réfringeant vers un milieu peu réfringeant, le rayon s'écarte de la normale.

La loi de Snell

Lorsque qu'un faisceau incident frappe l'interface entre deux matériaux réfrigeants, le faisceau peut être plus ou moins réfracté comme expliqué ci-dessous.

Ces phénomènes sont décrits quantitativement par la loi de Snell :

n1 sinq1 = n2 sinq2

avec :

n1 = indice de réfraction du milieu 1 (incident medium)

n2 = indice de réfraction du milieu 2

q1 = angle d'incidence du rayon par rapport à la normale à la surface

q2 = angle de sortie du rayon par rapport à la normale à la surface.

Bien que la loi de Snell soit exacte, si nous prenons en compte les ordres supérieurs du développement du sinus, on découvre de légères différentes avec la prédictions de la théorie dite de premier ordre. Pour résoudre l'équation, les termes suivants doivent être ajoutés :

sin q = q - q3/3!

Cette équation permet de définir ce qu'on appelle les aberrations de troisième ordre ou aberrations de Seidel. Mais cette équation modélise une surface grâce au développement de séries et s'avère approximative.

C'est alors que Fritz Zernike développa un nouveau modèle basé sur un polynôme qui porte désormais son nom qui prend en compte un nombre infini de termes polynômiaux pour décrire toutes les aberrations.

Grâce à ce polynôme de Zernike on peut donc calculer et modéliser une surface réelle à partir d'une surface d'onde circulaire idéale générée par un analyseur de front d'onde (ou un interféromètre) et la décomposer en une série de polynômes correspondant chacun à une aberration particulière. Le résulat se présente sous forme de tableaux de chiffres, de zones d'isophotes ou de courbes qui mesurent la différence entre la surface réelle et celle d'une sphère idéale. Précisons toutefois que le résultat est projeté sur une surface plane et non pas sphérique.

En pratique, personne n'utilise le polynôme complet de Zernike et on se limite généralement à ~25 termes pour caractériser les principales aberrations jusqu'au 7e ordre.

A lire : Rapport de mesures de l'Astro-Physics StarFire de 155 mm f/7, Airy Lab

Application du polynôme de Zernike

Les 10 premiers termes du polynôme de Zernike jusqu'au 3e ordre

Z(r,q) = Z0 + Z1 r cosq + Z2 r sinq + Z3 (2r2-1) + Z4 (r2 cos2q) + Z5 (r2 sin2q) + Z6 ((3r2-2)r cosq) +

            + Z7 ((3r2-2)r sinq) + Z8 (6r4-6r2+1) + Z9 (r3 cos3q) + Z10 (r3 sin3q) ...

avec r, la distance à l'axe optique en coordonnées polaires dans le système (r,q).

Le point fort de cette équation est de représenter chaque aberration par un ou plusieurs termes dont la puissance (l'exposant) dépend de l'ordre. C'est la raison pour laquelle on parle d'aberrations de premier, deuxième, troisième ordre, etc. Plus l'équation d'une aberration comprend d'ordres, plus précise sera la courbe qui a l'infini épousera totalement le véritable profil de l'aberration.

De plus, étant donné que certaines surfaces sont légèrement asymétriques, les aberrations peuvent varier en fonction de la position du faisceau incident par rapport à l'axe. Pour tenir compte de ce problème, chaque terme est associé à deux coefficients correspondant aux axes à 45° et 90°. Si la surface est de révolution, on ne considère qu'un seul terme (cas de l'aberration de sphéricité ou du focus).

En complément de la mesure de chaque aberration sur le front d'onde sortant de l'optique, on peut également mesurer l'erreur sur le rayon transversal qui définit la quantité de flou d'une mise au point.

Les quatre premiers termes du polynôme de Zernike ne sont pas des aberrations mais caractérisent le positionnement de la surface (piston ou décalage en hauteur, les tilts ou ajustement de désaxage et la focalisation). Viennent ensuite les aberrations de troisième ordre. Bien que nombreuses on peut les classer en deux grandes catégories : les aberrations monochromatiques et les aberrations polychromatiques.

Si les aberrations polychromatiques se rattachent aux couleurs, les aberrations monochromatiques ou aberrations de Seidel dégradent (aberrations de sphéricité, coma et astigmatisme) ou déforment (coubure de champs et distortion) l'image générée par les lentilles ou les miroirs. Ainsi, les 5 premiers termes des aberrations de troisième ordre sont les plus connus : les 4e et 5e termes définissent l'astigmatisme, les 6e et 7e termes la coma et le 8e terme est l'aberration de sphéricité. Enfin, les 9e et 10e termes décrivent les aberrations de cinquième ordre comme le tréfoil. Les ordres supérieurs ne font que reprendre les aberrations précédentes en leur ajoutant des développements plus précis. Dans cet article nous passerons en revue les différentes aberrations jusqu'au troisième ordre.

Le travail des maîtres-opticiens

La coupe transversale d'un faisceau lumineux peut être représentée graphiquement en affichant uniquement la courbure des rayons lumineux aux extrémités des lentilles. On peut également afficher la distribution des rayons dans un graphique de dispersion (scatter plot) ou un diagramme spot (disque d'Airy représentant un agrandissement de l'image ponctuelle au point focal).

A partir des formes et des dimensions de ces motifs, un expert peut déduire quelles types d'aberrations sont présentes et quelles sont leur intensité. Aidé par ces informations et les spécifications des verres utilisés, un maître-opticien pourra envisager de corriger ces aberrations.

Cette matière très technique requiert toutefois de traduire ces aberrations en termes mathématiques de polynôme de Zernike et de trouver ensuite une manière d'appliquer ces résultats aux surfaces spécifiques des lentilles ou des miroirs ou à d'autres paramètres comme la densité du verre.

Vue transversale et disque d'Airy d'une image stellaire test parfaite (très agrandie) vue dans un réfracteur. Dessin de l'auteur, simulation créée avec Aberrator de Cor Berrevoets.

Comme on le voit ci-dessus, dans une lentille simple faite de verre ordinaire tel que le Crown, un agrandissement du diagramme spot ou de sa coupe transversale théorique montre une tache floue et colorée du fait que chaque longueur d'onde focalise à un endroit différent comme le fait un prisme. En pratique, les objets brillants regardés à travers un tel objectif sembleront flous et irisés de fausses couleurs. Techniquement parlant, cette optique présente une aberration chromatique et affiche ce qu'on appelle un spectre secondaire. Heureusement les télescopes (à miroir) ne souffrent pas de ce défaut qui est inhérent aux lentilles (objectifs et oculaires).

Si ce phénomène est exploité pour séparer la lumière à travers un prisme, les astronomes amateurs comme les photographes ont rarement besoin d'un spectroscope mais plutôt d'un objectif capable d'afficher des images sans aberrations !

Nous verrons qu'une autre aberration, la sphéricité se manifeste lorsque les surfaces des lentilles ou des miroirs ne présentent pas le bon profil. Comme pour l'aberration chromatique, l'image au plan focal devient floue et cet effet varie en fonction de la distance au centre de l'image. La coma est une variante de cet effet.

D'autres aberrations comme l'astigmatisme se produisent lorsque le rayon incident frappe la lentille asymétriquement. Enfin, la courbure de champ et les distorsions concernent la forme de la surface du verre.

Les maîtres-opticiens peuvent réduire et même supprimer toutes ces aberrations de quelques minutes d'arc jusqu'à quelques degrés en-dehors de l'axe. 

Les premières tentatives consistaient à fabriquer des optiques plus longues pour augmenter le rapport focal afin de réduire les aberrations ou les maintenir en dehors du champ de vision (à diamètre égal, plus le rapport focal augmente plus le champ rétrécit). Ceci explique pourquoi les optiques offrant un court rapport focal, dites "rapides" par référence à la photographie où elles requièrent un temps d'exposition beaucoup plus court, sont plus sensibles à l'aberration chromatique que les optiques dites "lentes".

La lunette Tele Vue apochromatique de 76mm f/6.3 dispose d'un objectif en Fluorite.

Mais si la conception d'optiques plus longues ne présente aucun inconvénient pour les petits instruments souvent légers et rigides, en astronomie cela devient un véritable défi pour les grands diamètres dont la focale résultante atteint des dizaines de mètres comme c'est le cas des grandes lunettes astronomiques d'un mètre de diamètre de l'Observatoire de Yerkes ou de Paris-Meudon.

Face à ces contraintes mécaniques et optiques, les concepteurs ont approché le problème d'une autre manière en recherchant des verres - parmi 2000 disponibles - offrant différents indices de réfraction pour rectifier l'aberration chromatique. Ainsi, en utilisant par exemple une seule lentille positive à faible indice en verre Crown BK7 combinée à une lentille négative à indice élevé en verre Flint F2, les opticiens sont capables de "courber" toutes les longueurs d'ondes du spectre visible presque au même point.

Lorsque deux couleurs traversent le point focal l'optique est appelée achromatique. Lorsque l'objectif est capable de focaliser la plupart des longueurs d'ondes du spectre visible, y compris le proche infrarouge (utile pour les applications CCD) et parfois même le proche UV au point focal, et en complément de corriger les autres aberrations, le résultat est qualifié d'objectif apochromatique.

Dans le passé, peu de fabricants de lunettes d'astronomie vendaient des lunettes apochromatiques à 2 lentilles, aujourd'hui la plupart d'entre eux en commençant par les Japonais proposent des lunettes utilisant des éléments en fluorite (ED) mais elles sont très chers comparées aux lunettes achromatiques.

Evaluation et simulation

Il existe une autre manière que le banc-test en laboratoire pour évaluer un système optique. Aujourd'hui, les maîtres-opticiens utilisent des logiciels de conception optique. Ces programmes permettent de simuler le comportement d'une lentille avant sa fabrication et de prédire la qualité de l'image résultante. Ces outils produisent différents résultats dont les diagrammes spots et transversaux, les PSF (distribution d'énergie en vue sagitalle ou transversale) et les MTF (rapport de contraste en fonction de la fréquence spatiale) sont parmi les fonctions les plus utilisées.

A gauche, diagramme spot montrant à quel endroit de l'image tombent les rayons incidents de la surface d'une lentille simple. Le chromatisme et l'astigmatisme sont apparents. Au centre, une PSF (méthode FFT) montrant la distribution d'énergie dans un diagramme spot en fonction du rayon. A droite, la MTF qui donne le rapport de contraste sujet/image en fonction de la fréquence spatiale (basse fréquence = flou, haute fréquence = détail). La MTF permet d'évaluer le degrés de détails et de flou, bref la qualité d'une image. Graphiques créés avec le logiciel ATMOS.

Il est évidemment plus facile et moins onéreux d'utiliser un logiciel pour élaborer des lentilles que d'essayer de corriger des aberrations en assemblant physiquement différents verres. Toutefois, que ce soit sur écran ou dans un atelier, en corrigeant une aberration à un endroit, une autre apparaît souvent ailleurs, rendant l'optimisation de ces modèles très difficile.

En bref, les aberrations que nous allons décrire sont inhérentes à la conception des instruments d'optique. Liées à un modèle optique spécifique, on peut déterminer l'importance d'une aberration en fonction de l'ouverture de l'optique. Chaque modèle d'optique présente des particularités qui vont varier en fonction de la longueur focale et du rapport d'ouverture. Toutefois, en général plus la courbure des lentilles ou des miroirs est importante, plus il y a d'aberrations optiques.

Se greffe sur ces problèmes le nombre de lentilles composant l'objectif qui peut plus ou moins assombrir l'image ainsi que la réflexion de la lumière sur les surfaces optiques qui fait encore perdre quelques pourcents de lumière comme nous l'expliquerons dans l'article Coatings, revêtements antireflets et dispersions. Heureusement, les ingénieurs opticiens nous ont aidé à résoudre ces problèmes.

Voyons à présent les différentes aberrations optiques et la manière de les réduire ou de les supprimer.

Prochain chapitre

Le chromatisme

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