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Formulaire pratique

Mire test de Ronchi

Vous trouverez ci-dessous quelques formules d'optique utiles pour estimer différentes valeurs lors de la préparation de vos séances photos, telle que la résolution de votre instrument ou de votre APN, la tolérance de mise au point, la dimension du champ de netteté, la couverture du ciel d'une capteur CCD, etc.

- Performances théoriques de votre instrument

- Résolution d'un télescope

- Clarté d'un système optique

- Magnitude limite

- Tolérance de mise au point et dilatation thermique

- Dimension du champ de netteté

- Durée d'exposition non suivie

- Durée d'exposition en fonction du rapport focal

- Facteur d'amplification et tirage d'une Barlow

- Rapport focal optimal pour une caméra CCD

- Couverture du ciel d'une caméra CCD

- Résolution d'un capteur CCD

Performances théoriques de votre instrument

Par une nuit claire et sans Lune, l'objet étant près du zénith vous pouvez gagner au moins 1 magnitude sur les valeurs indiquées ci-dessous. Dans une zone urbaine ou suburbaine ces occasions sont exceptionnelles. Au contraire si les conditions ne sont pas idéales, vous atteindrez difficilement les valeurs indiquées.

A utiliser : Calculette virtuelle de Takahashi

Telescope Limiting Magnitude Calculator

La résolution instrumentale se calcule à partir de la formule de Rayleigh qui est similaire à la formule de Dawes mais en tenant compte de la diffraction, donc de conditions d'observations réalistes :

avec

l, la longueur d'onde en millimètres

D, le diamètre du collecteur en millimètres

206265 est déduit de la parallaxe (1 pc/1 UA)

Ce qui revient à utiliser la formule générale suivante (avec l et D en mm) :

PS = 251643 * l/D

En pratique, dans le rayonnement visible (l=550 nm soit 0.00055 mm), on peut utiliser la formule simplifiée : 

PS = 0.1384/D

avec D exprimé en mètres pour obtenir le pouvoir séparateur en secondes d'arc. On obtient alors le tableau suivant :

Performances théoriques des télescopes amateurs

(formule de Rayleigh)

Diamètre

de l'objectif

Magnitude

visuelle limite

Résolution

Grossissement

maximum

50 mm 10.2 2.8"

125x

60 mm 10.9 2.3"

150x

80 mm 11.2 1.7"

200x

100 mm 12.0 1.4"

275x

125 mm 12.5 1.1"

312x

150 mm 13.8 0.9"

375x

200 mm 14.4 0.7"

500x

250 mm 14.8 0.6"

625x

300 mm 15.5 0.5"

750x

400 mm

16.0

0.3"

900x

Le pouvoir séparateur dépendant de la longueur d'onde, à diamètre égal, il va se dégrader à mesure que la longueur d'onde augmente.

Ainsi, si la résolution d'un instrument de 90 mm de diamètre est de 1.54" en lumière blanche à 550 nm, elle est de 1.83" en Hydrogène-alpha (l=0.00065628 mm) en utilisant par exemple une optique Coronado SolarMax II 90. La différence n'est pas importante et est probablement invisible visuellement dans une atmosphère turbulente, mais une photographie peut l'enregistrer, et d'autant plus si plusieurs images sont combinées (superposées). Heureusement la tolérance de mise au point sera un peu plus élevée.

Résolution d'un télescope

R : la résolution en secondes d'arc

D : Distance du sujet en mm

d : Taille du sujet en mm

R = inv sin (d/D) * 3600

Depuis les hauteurs d'une vallée, à 250 m d'altitude, durant la journée un NexStar 5 de 127 mm d'ouverture équipé d'un oculaire de 6 mm Tele Vue Radian (208x) discerne une forme de 15 cm de diamètre (d) placée sur un bâtiment situé à 20 km (D). La résolution du télescope R = 1.03", proche de sa résolution théorique de 0.9" (1.1" selon Rayleigh).

Clarté d'un système optique

Imaginons deux télescopes (T1 et T2) offrant des diamètres et des rapports d'ouverture différents ainsi que des oculaires de focales défférentes (on considère qu'ils sont de même conception). Quel est le système optique le plus lumineux ?

Facteur de brillance relative Br = (FD1 / FD2)2 / (G1 / G2)2

avec, FD le rapport d'ouverture (f/) du télescope et G le grossissement oculaire.

Ex.1: deux télescopes ouverts à f/10 ayant le même oculaire mais le 2eme télescope présente un plus grand diamètre

T1 : 200 mm f/10 équipé d'un oculaire de 20 mm, grossissement oculaire G1 = 100x (soit 200x10/20)

T2 : 250 mm f/10 équipé d'un oculaire de 20 mm, grossissement oculaire G2 = 125x (soit 250x10/20)

Br = (10 / 10)2/ (100 / 125)2 = 1 / 0.64 = 1.56

A rapport focal identique, le 1er télescope (T1) est 1.56 fois plus lumineux que le second (T2) car il utilise un oculaire moins puissant. Le diamètre du télescope ne joue aucun rôle.

Ex.2: deux télescopes ouverts à f/10 ayant le même oculaire mais le 2eme télescope présente un plus grand diamètre

T1 : 100 mm f/10 équipé d'un oculaire de 20 mm, grossissement oculaire G1 = 50x

T2 : 300 mm f/10 équipé d'un oculaire de 60 mm, grossissement oculaire G2 = 50x

Br = (10 / 10)2 / (50 / 50)2 = 1 / 1 = 1

A rapport focal et grossissement identiques, la clarté offerte par les deux télescopes est identique. Le diamètre du télescope ne joue aucun rôle. Il n'intervient que dans la résolution de l'image..

Magnitude limite

A. Le gain en magnitude

Dm : le gain en magnitude

D :  diamètre de l'objectif en mm

d : diamètre de la pupille de sortie oculaire en mm

Dm = 2.5 log10 (D2/d2) = 5 log10 (D) - 5 log10 (d).

Pour un télescope NexStar5 de 127 mm utilisant un oculaire de 25 mm offrant une pupille de sortie de 2.5mm, le gain en magnitude est de 8.5.

B. La magnitude visuelle limite de votre instrument

mlt : magnitude limite de l'instrument

mls: magnitude limite du ciel

mlt = mls+5 log10(D) - 5 log10 (d)

ou

mlt = mls + Dm

Pour un télescope NexStar5 de 127 mm utilisant un oculaire de 25 mm offrant une pupille de sortie de 2.5 mm, observant sous un ciel de magnitude limite 5, la magnitude visuelle limite est de 13.5. 

Consulter le fichier des oculaires EP.xls qui reprend ce calcul en fin de colonne.

NB. A cette valeur il faut soustraire les facteurs psychologiques et physiologiques de chacun.

Tolérance de mise au point et dilatation thermique

Exposé en plein Soleil, un tube optique (le tube ainsi que le miroir) subit une dilatation thermique sensible. Ainsi, un miroir en Pyrex réputé pour sa faible dilatation thermique mettra plus de deux heures pour atteindre l'équilibre (cf. ce logiciel à télécharger de Cruxis).

Dans le même temps, le tube risque de se dilater d'une fraction de millimètre. Ainsi, en passant de 10 à 25°C, un tube en aluminium (coeff. linéaire de dilatation thermique de 23x10-6 K) de 1000 mm de long s'allonge de 0.345 mm soit 345 microns. C'est 100 fois plus qu'un tube en fibre de carbone (avec un coeff. linéaire de dilatation thermique de 0.2x10-6 K, un tube en carbone haute résistance se dilate de 0.003 mm ou 3 microns).

Calculette : Calcul de la dilatation thermique des solides

Cette dilatation aura un impact sur la longueur focale, et la distance de mise au point sera reportée d'autant de fractions de millimètre. Il est donc nécessaire de vérifier la déformation du tube et de la comparer à la tolérance de mise au point (Tmap) au moyen de la formule suivante :

Tmap = ± 8 * (F/D)2 * l550 * Dl

avec F/D, le rapport focal du système optique, l550 la longueur d'onde de travail et Dl la précision du polissage du miroir sur l'onde.

Pour un télescope ouvert à F/D=6, l550 = 0.00055 mm et Dl = l/10, Tmap = ± 0.0158 mm soit 16 microns. Cela veut dire qu'en plein Soleil, la dilatation d'un tube en aluminium sera au moins 20 fois supérieure à la tolérance de mise au point de l'optique !

Notons que la tolérance augmente avec le rapport focal (pour le même télescope à F/D=20, la Tmap = ± 0.176 mm) et les photographies seront donc beaucoup moins sensibles à un défaut de mise au point si vous utilisez un grand rapport focal, mais bien sûr le champ sera plus réduit.

Dimension du champ de netteté

Si vous souhaitez photographier la surface entière du Soleil ou de la Lune dans toute sa netteté, comme il s'agit d'une sphère, dans certaines conditions il est impossible d'effectuer une mise au point nette dans l'axe optique, sur l'avant-plan, et en même temps sur le limbe. Mais moyennant un petit calcul, on peut y parvenir.

La dimension du champ de netteté dans l'axe optique dépend du rapport focal F/D selon la relation suivante :

Rayon du champ de netteté (°) = arctg (0.0109 * F2/D3)

Si les paramètres sont exprimés en millimètres, le rayon du champ de netteté est exprimé en degrés. Notons que sur les calculatrices, l'arc tangente est la touche tan-1. Vous pouvez également vous aider de cette calculatrice en ligne.

Par exemple, pour un télescope de 200 mm f/6, le rayon du champ de netteté est de 0.112° ou 6'44", soit moins de la moitié du rayon du Soleil ou de la Lune (le diamètre du Soleil varie entre 31'27" et 32'32" et celui de la Lune entre 29'23" et 33'28").

En effectuant la mise au point au centre du disque, l'avant-plan du Soleil ou de la Lune sera net mais le limbe sera flou. Or dans le cas des éclipses de Soleil, c'est sur le limbe que se dessinent les irrégularités du relief de la Lune pendant la phase partielle et les protubérances durant la phase de totalité.

Il faut donc soit choisir avec précision le champ de mise au point soit s'assurer que l'entiereté du champ sera net.

Pour garantir une netteté à travers tout le champ, il faut augmenter la longueur focale du même télescope jusqu'à 2000 mm ou F/D=10 (rayon du champ net = 0.312° soit 18'44") et même un peu plus si vous voulez photographier une très grande protubérance se développant sur plusieurs minutes d'arc sur le limbe.

Facteur d'amplification et tirage d'une Barlow

Un télescope de 150 mm de diamètre ouvert à f/10 utilise une lentille de Barlow de 75 mm de focale qui est placée 50 mm avant le plan focal. Quel est le facteur d'amplification G de cette Barlow et la distance D séparant la lentille du nouveau plan focal ?

F : Longueur focale de l'objectif , 150 mm * 10 = 1500 mm

f  : Longueur focale de la Barlow, 75 mm

d : Distance séparant la Barlow de l'ancien plan focal, 50 mm

D : Distance séparant la Barlow et le nouveau plan focal

La longueur focale résultante R vaut,

 

R = (F * f) / (f - d)

R = (1500 * 75) / (75-50)

R = 4500 mm

Si le facteur d'amplification G = R/F,

G = 4500 / 1500

Le facteur d'amplification G = 3

Le tirage D (en mm) vaut,

D = f * (G -1)

D = 75 * (3 - 1)

La distance entre la lentille de Barlow et le nouveau plan focal D = 150 mm.

Durée d'exposition non suivie

Vous désirez photographier une conjonction entre la Lune et Vénus qui se déroule à 40° de déclinaison en utilisant un boîtier réflex muni d'un objectif de 35 mm f/2. Quel est le temps d'exposition maximum que vous pouvez utiliser pour que les traînées des astres n'apparaissent pas sur le film ?

T : Temps d'exposition (secondes)

F : Longueur focale de votre optique (mm)

D : Elevation du sujet (degrés)

T = 1000 / (F cos D)

Pour une conjonction ayant lieu à 40° d'élévation sur l'horizon, pour un grand-angle de 35 mm (diagonale de 63° en 24x36), le temps d'exposition maximal est de 37 secondes. Il sera de 57 secondes à 60° d'élévation.

NB. Cette durée convient à la photographie des constellations ou de la Voie Lactée, idéalement à 800 ou 1600 ISO. Mais elle est probablement trop longue pour une conjonction car les astres seront surexposés. Il est préférable de choisir une durée d'environ 10 à 15 secondes à 400 ISO pour cette conjonction. Pour un 200 mm utilisé dans les mêmes conditions, le temps d'exposition sera 6 fois plus court.

Durée d'exposition en fonction du rapport focal

Vous désirez photographier la Lune non plus au rapport focal résultat de f/30 mais à f/10. Quel sera le nouveau temps de pose s'il était de 1/10eme sec à f/30 ?

To : Ancien temps d'exposition

T1 : Nouveau temps d'exposition

fo  : Ancien rapport focal résultant

f1  : Nouveau rapport focal résultant

T1 = To / ( fo / f1 )2

Un sujet photographié à f/30 et qui exigeait 1/10eme sec d'exposition ne nécessitera plus que 1/111eme sec à f/10; l'instrument est devenu 9 fois plus rapide !

Rapport focal optimal pour une caméra CCD (imagerie planétaire)

Quel rapport focal dois-je utiliser pour atteindre la résolution de ma caméra CCD dont les pixels (photodiodes) mesurent 10 microns ?

f   : le rapport focal,

T  : la taille du pixel en microns

l  : la longueur d'onde travail en microns

f = 2 * T / l

Le théorème de l'échantillonnage de Nyquist précise que la taille du pixel doit être égale à la moité du diamètre du disque de diffraction d'Airy. Sachant cela, pour un pixel de 10 microns et une sensibilité spectrale maximale vers l = 0.7 microns, nous obtenons un rapport focal d'environ  f/29, idéal pour la photographie planétaire.

Exposure Calculator

Un logiciel de Michael A. Covington

Couverture du ciel d'une caméra CCD en minutes d'arc 

D : Diagonale du capteur CCD (mm)

F : Longueur focale du système optique (mm)

A = 3438 * D / F

Pour une focale de 1250 mm, en utilisant une caméra CCD MX516c dont le chip mesure 4.9x3.6 mm, la couverture céleste est de 16.7', une bonne raison pour utiliser un réducteur focal pour ouvrir le champ couvert par le télescope et réduire le temps d'exposition.

NB. Cette formule est une approximation basée sur l'équivalence de la tangente d'un angle avec sa mesure en radians qui permet d'écrire pour un très petit angle A : A(rad) = sin(A) = tg(A). Mais dès que A > 5°, l'approximation devient grossière et le résultat est inexact. 

On ne peut donc pas utiliser cette formule pour déterminer le champ des objectifs des APN. Dans ce cas il faut utiliser la formule :

A = 2 * arctg ( D / 2F )

Notons que sur les calculatrices, l'arc tangente est la touche tan-1. Vous pouvez également vous aider de cette calculatrice en ligne.

Pour une optique de 50 mm de focale utilisée avec un capteur CMOS APS-C de 23.7 x 15.2 mm (diagonale de 28.37mm), nous obtenons : 2 * arctg (28.4/(2*50)) = 31.7°. Pour un grand angle de 28 mm, nous obtenons 53.8°. 

Ces valeurs sont inférieures au champ réel de ces optiques (74° dans le cas du 28 mm) car elles sont montées sur des APN dont la surface du capteur est inférieure au format 24x36 mm.

Résolution d'un capteur CCD (seconde d'arc/pixel)

P : Taille des pixels (microns)

F : Longueur focale du système optique (mm)

R(") = 206* P / F

Pour une focale de 1250 mm, en utilisant une caméra CCD MX516c dont les pixels mesurent 9.8x12.6m, la résolution est ~1.6" par pixel.

Pour plus d'informations

Sur ce site

Magnitude et distance

Recueil d'exercices d'astronomie

L'échelle de Bortle (magnitude visuelle)

Calculettes en ligne et logiciels de simulations

Calculette virtuelle de Takahashi

Telescope Limiting Magnitude Calculator

Calcul de la dilatation thermique des solides

Calcul de l'arc tangente

Telescope Mirror Cooling Calculator, Cruxis

Exposure Calculator.

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