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Formulaire pratique

Mire test de Ronchi

Vous trouverez ci-dessous quelques formules d'optique utiles pour estimer différentes valeurs lors de la préparation de vos séances d'observation, telle que la résolution de votre instrument ou de votre caméra CCD, la couverture du ciel d'une capteur CCD, etc.

- Performances théoriques de votre instrument

- Résolution d'un télescope

- Magnitude limite

- Durée d'exposition non suivie

- Durée d'exposition en fonction du rapport focal

- Facteur d'amplification et tirage d'une Barlow

- Rapport focal optimal pour une caméra CCD

- Couverture du ciel d'une caméra CCD

- Résolution d'un capteur CCD

Performances théoriques de votre instrument

Par une nuit claire et sans Lune, l'objet étant près du zénith vous pouvez gagner au moins 1 magnitude sur les valeurs indiquées ci-dessous. Dans une zone urbaine ou suburbaine ces occasions sont exceptionnelles. Au contraire si les conditions ne sont pas idéales, vous atteindrez difficilement les valeurs indiquées. Consulter le virtual magnitude calculator pour d'autres données.

La résolution instrumentale se calcule à partir de la formule de Rayleigh qui est similaire à la formule de Dawes mais en tenant compte de la diffraction :

avec

l, la longueur d'onde en millimètres

D, le diamètre du collecteur en millimètres

206265 est déduit de la parallaxe (1 pc/1 UA)

En pratique, dans le rayonnement visible on peut utiliser la formule simplifiée : PS = 0.1384/D, avec D le diamètre de l'instrument en mètres.

On obtient alors le tableau suivant :

Performances théoriques des télescopes amateurs

(formule de Rayleigh)

Diamètre

de l'objectif

Magnitude

visuelle limite

Résolution

Grossissement

maximum

50 mm 10.2 2.8"

125x

60 mm 10.9 2.3"

150x

80 mm 11.2 1.7"

200x

100 mm 12.0 1.4"

275x

125 mm 12.5 1.1"

312x

150 mm 13.8 0.9"

375x

200 mm 14.4 0.7"

500x

250 mm 14.8 0.6"

625x

300 mm 15.5 0.5"

750x

400 mm

16.0

0.3"

900x

Résolution d'un télescope (R) en secondes d'arc

D : Distance du sujet en mm

d : Taille du sujet en mm

R = inv sin (d/D) * 3600

Depuis les hauteurs d'une vallée, à 250m d'altitude, durant la journée un NexStar 5 équipé d'un oculaire de 6 mm Radian (208x) discerne un symbole de 15 cm de diamètre (d) placé sur un bâtiment situé à 20 km (D). La résolution du télescope R = 1.03", proche de sa résolution théorique de 0.9" (1.1" selon Rayleigh).

Magnitude limite

A. Le gain en magnitude

Dm : le gain en magnitude

D :  diamètre de l'objectif en mm

d : diamètre de la pupille de sortie oculaire en mm

Dm = 2.5 log10 (D2/d2) = 5 log10 (D) - 5 log10 (d).

Pour un télescope NexStar5 de 125mm utilisant un oculaire de 25mm offrant une pupille de sortie de 2.5mm, le gain en magnitude est de 8.5.

A consulter sur Internet : Limiting Magnitude Calculations

B. La magnitude visuelle limite de votre instrument

mlt : magnitude limite de l'instrument

mls: magnitude limite du ciel

mlt = mls+5 log10(D) - 5 log10 (d)

ou

mlt = mls + Dm

Pour un télescope NexStar5 de 125 mm utilisant un oculaire de 25 mm offrant une pupille de sortie de 2.5 mm, observant sous un ciel de magnitude limite 5, la magnitude visuelle limite est de 13.5. 

Consulter le fichier des oculaires EP.xls qui reprend ce calcul en fin de colonne.

NB. A cette valeur il faut soustraire les facteurs psychologiques et physiologiques de chacun.

Facteur d'amplification et tirage d'une Barlow

Un télescope de 150 mm de diamètre ouvert à f/10 utilise une lentille de Barlow de 75 mm de focale qui est placée 50 mm avant le plan focal. Quel est le facteur d'amplification G de cette Barlow et la distance D séparant la lentille du nouveau plan focal ?

F : Longueur focale de l'objectif , 150 mm * 10 = 1500 mm

f  : Longueur focale de la Barlow, 75 mm

d : Distance séparant la Barlow de l'ancien plan focal, 50 mm

D : Distance séparant la Barlow et le nouveau plan focal

La longueur focale résultante R vaut,

 

R = (F * f) / (f - d)

R = (1500 * 75) / (75-50)

R = 4500 mm

Si le facteur d'amplification G = R/F,

G = 4500 / 1500

Le facteur d'amplification G = 3

Le tirage D (en mm) vaut,

D = f * (G -1)

D = 75 * (3 - 1)

La distance entre la lentille de Barlow et le nouveau plan focal D = 150 mm.

Durée d'exposition non suivie

Vous désirez photographier une conjonction entre la Lune et Vénus qui se déroule à 40° de déclinaison en utilisant un boîtier réflex muni d'un objectif de 35 mm f/2. Quel est le temps d'exposition maximum que vous pouvez utiliser pour que les traînées des astres n'apparaissent pas sur le film ?

T : Temps d'exposition (secondes)

F : Longueur focale de votre optique (mm)

D : Déclinaison du sujet (degrés)

T = 1000 / (F cos D)

Pour une conjonction ayant lieu à 40° de déclinaison, pour cette optique de 35 mm le temps d'exposition maximal est de 37 sec.

NB. Cette durée est probablement trop longue à la fois pour un tel sujet  mais également en raison de la couverture angulaire de cette optique. Il est préférable de choisir une durée d'environ 10 à 15 sec. Pour un 200 mm utilisé dans les mêmes conditions, le temps d'exposition est 6 fois plus court.

Durée d'exposition en fonction du rapport focal

Vous désirez photographier la Lune non plus au rapport focal résultat de f/30 mais à f/10. Quel sera le nouveau temps de pose s'il était de 1/10eme sec à f/30 ?

To : Ancien temps d'exposition

T1 : Nouveau temps d'exposition

fo  : Ancien rapport focal résultant

f1  : Nouveau rapport focal résultant

T1 = To / ( fo / f1 )2

Un sujet photographié à f/30 et qui exigeait 1/10eme sec d'exposition ne nécessitera plus que 1/111eme sec à f/10; l'instrument est devenu 9 fois plus rapide !

Rapport focal optimal pour une caméra CCD (imagerie planétaire)

Quel rapport focal dois-je utiliser pour atteindre la résolution de ma caméra CCD dont les pixels (photodiodes) mesurent 10 microns ?

f   : le rapport focal,

T  : la taille du pixel en microns

l  : la longueur d'onde travail en microns

f = 2 * T / l

Le théorème de l'échantillonnage de Nyquist précise que la taille du pixel doit être égale à la moité du diamètre du disque de diffraction d'Airy. Sachant cela, pour un pixel de 10 microns et une sensibilité spectrale maximale vers l = 0.7 microns, nous obtenons un rapport focal d'environ  f/29, idéal pour la photographie planétaire.

Exposure Calculator

Un logiciel de Michael A. Covington

Couverture du ciel d'une caméra CCD en minutes d'arc 

D : Diagonale du capteur CCD (mm)

F : Longueur focale du système optique (mm)

A = 3438 * D / F

Pour une focale de 1250 mm, en utilisant une caméra CCD MX516c dont le chip mesure 4.9x3.6 mm, la couverture céleste est de 16.7', une bonne raison pour utiliser un réducteur focal pour ouvrir le champ couvert par le télescope et réduire le temps d'exposition.

NB. Cette formule est une approximation basée sur l'équivalence de la tangente d'un angle avec sa mesure en radians qui permet d'écrire pour un très petit angle A : A(rad) = sin(A) = tg(A). Mais dès que A > 5°, l'approximation devient grossière et le résultat est inexact. 

On ne peut donc pas utiliser cette formule pour déterminer le champ des objectifs des APN. Dans ce cas il faut utiliser la formule :

A = 2 * Arc Tg ( D / 2F )

Pour une optique de 50 mm de focale utilisée avec un capteur CMOS APS-C de 23.7 x 15.2 mm (diagonale de 28.37mm), nous obtenons : 2 * Arc Tg (28.4/(2*50)) = 31.7°. Pour un grand angle de 28 mm, nous obtenons 53.8°. 

Ces valeurs sont inférieures au champ réel de ces optiques (74° dans le cas du 28 mm) car elles sont montées sur des APN dont la surface du capteur est inférieure au format 24x36 mm.

Résolution d'un capteur CCD (seconde d'arc/pixel)

P : Taille des pixels (microns)

F : Longueur focale du système optique (mm)

R(") = 206* P / F

Pour une focale de 1250 mm, en utilisant une caméra CCD MX516c dont les pixels mesurent 9.8x12.6m, la résolution est ~1.6" par pixel.

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