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La théorie de la Relativité

La relativité restreinte : des exemples concrets

Les conséquences (II)

Si Newton avait compris que l'inertie et le poids s'exprimaient par la même grandeur dans la masse, il ne pouvait pas expliquer pourquoi il en était ainsi, malgré sa loi de la gravitation universelle. Il fallut attendre Einstein pour démontrer qu'il existait cinq conséquences principales à la relativité restreinte.

1°. La loi de la composition des vitesses

Depuis les expériences de Roemer et de Bradley sur la lumière, nous savons que celle-ci se propage à environ 300000 km/s. Selon le 2eme postulat de la relativité restreinte il s’agit d’une vitesse maximale et aucun corps ne peut atteindre la vitesse de la lumière. Sa masse deviendrait si importante qu'il faudrait une énergie infinie pour vaincre son inertie et augmenter un tant soi peu sa vitesse. La loi d'addition des vitesses s'écrit classiquement :

V  =   v1     v2

et devient en relativité restreinte :

Il découle que l'addition de deux vitesses proches de celle de la lumière (même si l'une ou les deux sont égales à c) ne donnera jamais une grandeur plus grande que c. Cette loi fut obtenue indépendamment par Poincaré et Einstein.

Pour l'anecdote, dans l'article de juin 1905 Einstein ne démontre pas l'équation de Fresnel entrevue précédemment, qui pourtant permet d'aboutir facilement à la loi d'addition des vitesses en posant v1= c/n et v2 = v. Un étudiant en humanité la développant au premier ordre en v1v2/c² obtiendrait alors l'équation d'Einstein.

2°. La masse inerte d'un corps varie selon sa vitesse

Depuis les travaux précurseurs d'Einstein, l'expression "la masse augmente avec la vitesse" a souvent été utilisée par les vulgarisateurs pour décrire l'un des principaux effets de la relativité restreinte. Cette expression se retrouve régulièrement dans la littérature grand public et même dans certaines encyclopédies. Mais étrangement, elle n'est pas utilisée dans les supports de cours et vous ne la trouverez pratiquement jamais sur les sites Internet des enseignants universitaires. En effet, cette expression est une approximation qui est fondamentalement inexacte.

Pour éviter les confusions et garder le sens logique des expressions, dès les bancs de l'école secondaire on apprend à nos chères têtes blondes que "la quantité de matière est donnée et ne change pas" comme le dirait mon professeur de physique. A l'université on dirait plutôt que "la masse est un invariant", autrement dit une valeur scalaire (force non orientée) dont la valeur est absolue quel que soit le référentiel.

En revanche, si la masse n'augmente pas avec la vitesse, l'énergie est relative à l'état de mouvement du corps en accord avec l'équation d'équivalence d'Einstein E=mc2 (cf. cette page) où le terme de droite représente l'énergie au repos d'un objet de masse non nulle

Enfin, nous verrons un peu plus bas que la masse inerte est également relative et vaut gm.

En fait, nous avons parfois tendance à présenter les équations relativistes de manière à ressembler aux équations classiques sans préciser le sens des variables. Ainsi en tenant compte de la quantité de mouvement (p = mv), la deuxième loi de Newton (F=ma) liant la force à la masse s'écrit en relativité :

F = d(gmv) dt

avec g, le "facteur de contraction de FitzGerald-Lorentz" valant 1/Ö¯(1- v²/c²)

c, la vitesse de la lumière (299792.458 km/s)

Ainsi,  en stipulant que la force est égale à la variation de mouvement par unité de temps tel que décrit ci-dessus, l'équation de Newton reste valide en relativité restreinte. Mais le facteur "m" ne représente pas la masse (invariante) tel que l'imaginait Newton mais la masse inerte, celle dont l'énergie est relative. Les approximations linguistiques que font encore certains auteurs simplifient évidemment les explications mais ils omettent de préciser que toutes les autres quantités ont également un sens différent en relativité.

Ainsi, quand les objets se déplacent à une vitesse relativiste et entrent en collision, si on continue à utiliser la formule newtonienne, cette quantité de mouvement n'est pas conservée non plus. Expérimentalement, peu de temps après Einstein, Planck découvrit que la quantité de mouvement relativiste p d'une masse m et de vitesse v obéissait à la relation:

p = g mv

avec g = 1/Ö¯(1- v²/c²)

Si le rapport v²/c² reste à l'échelle humaine, c'est-à-dire s'il ne concerne que de faibles vitesses, on retrouve l'expression classique, p = mv.

Pour nous résumer, en mécanique relativiste, contrairement à ce qu'annonçait la mécanique de Newton, la masse inerte n'est pas constante, elle subit un accroissement en fonction de la vitesse du corps. Cette augmentation de l'inertie du corps avec la vitesse n'est pas décelable à notre échelle car le rapport v/c est négligeable.

En conclusion, en utilisant l'approche relativiste, Einstein définit quatre masses différentes en dynamique :

- La masse au sens propre (m) représentant la quantité de matière contenue dans un corps. C'est un invariant (scalaire).

- La masse inerte (Mi, dite maupertuisienne) qui caractérise la résistance d'un corps au mouvement :

Mi = g m

Dans cette expression l'inertie est représentée par le membre de droite gm. Celle valeur est relative car elle dépend du rapport Eo/c2, Eo étant l'énergie au repos du corps considéré. Répétons-le, cette "masse" n'est donc pas le concept classique, qui est invariant, mais représente l'inertie du corps.

- La masse longitudinale (Ml) qui caractérise un corps vis-à-vis de sa résistance à un changement de vitesse :

- La masse cinétique (M) qui intervient dans la formule bien connue de l'énergie cinétique, E :

 E  =   ½ M 

En mécanique relativiste elle prend la forme :

Ainsi, l'énergie cinétique d'un corps peut s'écrire directement à partir des deux dernières formules:

E  =  m c² ( g - 1)

En appliquant la loi d'équivalence d'Einstein, on sait que toute masse inerte au repos (m) peut se transformer en énergie (E), disposant d'un potentiel réellement colossal :

E = m c²

Cette énergie totale est d'autant plus élevée que le corps est en mouvement :

E  =  g m c²

Cette expression[2] obtenue à partir du principe variationnel tend vers l'infini quand la vitesse de l'objet tend vers la vitesse de la lumière. La vitesse du corps est donc toujours inférieure à "c", quelle que soit la quantité d'énergie que l'on mette en jeu pour tenter de l'accélérer.

En corollaire, une particule est dite "relativiste" lorsque son énergie cinétique est égale ou supérieure à son énergie de masse. Ainsi lorsque l'électron possède une énergie cinétique d'au moins 0.511 MeV il devient relativiste.

Les chocs élastiques

Il est possible de photographier dans une chambre à bulles les chocs entre particules, l'hydrogène liquide dont est remplie la chambre étant ionisé par leur passage. F.Joliot découvrit qu’en projetant une particule relativiste sur une particule au repos de masse équivalente, celles-ci s’écartaient l’une de l’autre en faisant un angle aigu d’environ 60°. Or selon Newton il n’y avait pas de variation de masse en fonction de la vitesse. Un tel angle aigu ne pouvait s’expliquer dans le cadre de la mécanique classique.

Les chocs élastiques

Collision entre un électron relativiste se déplaçant à 0.968c et un électron au repos. Après le choc qui ne dure qu'une fraction de seconde et quasi-ponctuel dans l'espace-temps, il se produit une discontinuité des vitesses. La nature des particules ne change pas mais les trajectoires ne forment plus un angle droit comme le stipule la théorie de Newton mais un angle aigu car l’électron rapide à perdu de la vitesse.

L’effet Compton

En 1927, Arthur Compton démontra que l’augmentation de la longueur d’onde des rayons X lors d’une diffusion était provoquée par la collision des photons avec des électrons. Le rayonnement comportait deux raies, l’une de même longueur d’onde l que celle du rayonnement incident, la seconde un peu plus élevée décalée de Dl.

L’effet Compton

Avant la collision avec le photon, l’électron au repos à une énergie E=mc2 et sa quantité de mouvement p = 0. Après le choc son énergie est augmentée d’un facteur g et sa quantité de mouvement p=g mov.

3°. La loi de conservation de l'énergie est conservée

Ainsi que nous l'avons expliqué ci-dessus, la variation de la masse inerte des corps animés d'une vitesse relativiste implique que la loi de conservation de l'énergie reste vraie. Un corps mobile animé d'une grande vitesse et qui reçoit de l'énergie (Eo) sous forme de rayonnement, sans que sa vitesse soit modifiée, voit son énergie augmentée dans un rapport :

E  =  g Eo

Sa masse d'inertie se trouve accrue d'une quantité  Eo/c². Elle n'est donc pas constante et varie avec l'énergie du corps. Si on écrit l'expression de l'énergie sous la forme :

E = g ( m c²  +  Eo)

Il en découle que le terme mc² n'est autre que l'énergie que possédait le corps avant de recevoir l'énergie Eo. Einstein précise de suite que "la vérification de ce principe est impossible pour le moment car les variations d'énergie Eo que nous pouvons donner à un système ne sont pas assez grandes pour pouvoir changer de façon appréciable la masse d'inertie du système". Mais nous connaissons aujourd'hui la suite de l'histoire.

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[2] A.Einstein, "La théorie de la Relativité restreinte et générale", Chapitre XV, op.cit.


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