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Recueil d'exercices d'astronomie

Mécanique céleste (V)

- Physique et Cosmologie -

Que vaut la réfraction atmosphérique R pour une observation faite à 45° au-dessus de l'horizon, à 75° au-dessus de l'horizon ?

Connaissons la constante de la réfraction k = 58.16, la pression atmosphérique

p = 1030 mb (1 hPa) et sachant que la formule est établie pour t = 10°C,

Pour une hauteur h < 15° les valeurs sont approximatives,

à 75°, R = 0'16".

L'astre paraîtra donc plus haut sur l'horizon qu'en réalité. L'heure du coucher des astres est donc donnée sans tenir compte de cet effet. Notons que la formule ne tient pas compte de la longueur d'onde.

Le quasar HS 1946+7658 présente un redshift de 3.02. A l'époque où la lumière fut émise par ce quasar,

a) dans quel rapport les objets peuplant l'univers étaient-ils plus rapprochés les uns des autres ?

b) combien de fois la matière contenue dans l'univers était-elle plus dense qu'aujourd'hui ?

c) en corollaire que valait la température du rayonnement fossile à cette époque ?

a). Le facteur d'échelle vaut (1 + z). A cette époque les objets étaient donc 4.02 fois plus rapprochés les uns des autres qu'aujourd'hui.

b). L'univers était (1 + z)3 fois plus dense, soit 65 fois plus dense qu'aujourd'hui !

c). Le rayon fossile (2.725 K aujourd'hui) avait à cette époque une température (1 + z) fois plus chaude ou (4.02 x 2.725), soit environ 11 K.

Connaissant la constante de Hubble Ho = 67.8 km/s/Mpc, quelle est la taille de l'univers dans un espace d'Einstein-De Sitter (Ωo=1) et à quelle distance se situe l'horizon cosmologique (la distance radiale comobile, c'est-à-dire ne tenant pas compte de l'effet de l'expansion de l'univers) ?

Si le paramètre de densité Ωo=1 il s'agit d'un espace euclidien.

Pour rappel, la loi de Hubble s'écrit :

v = Ho r

Pour Ho = 67.8 km/s/Mpc, cela signifie qu'à la distance de 1 Mpc soit 3.26 millions d'années-lumière, une galaxie se déplace à 67.8 km/s. A la vitesse de la lumière, la distance r vaut c/Ho :

3.0856 x 1013 / 67.8 = 4.5x1012 secondes soit ~14.4 milliards d'années.

L'univers visible appelée la sphère observable (selon la vitesse de la lumière) mesure donc environ 14.4 milliards d'années-lumière de rayon. Cela n'empêche pas l'univers réel d'être beaucoup plus vaste suite à l'inflation.

Si Ho diminue le rapport c/Ho augmente dans les mêmes proportions, gonflant du fait même le volume de l'Univers visible. Ainsi, pour Ho=50 et Ωo=1 par exemple, l’Univers visible aurait 19.5 milliards d’années de rayon

La distance à partir de laquelle nous pouvons atteindre la vitesse de la lumière est l'inverse du résultat précédent mais exprimé différemment :

χo = c/Ho

299792 / 67.8 = 4421.7 Mpc ou ~4.4 GPc, soit 14.4 milliards d'années-lumière.

Telle est la distance de l'horizon cosmologique.

Le QSO 3C9 présente un redshift z=2.0 et une magnitude apparente de 18.2. 

a) A quelle distance se trouve-t-il pour Ho= 67.8 Km/s/Mpc ?

b) Que vaut sa luminosité intrinsèque comparée à celle de la Voie Lactée ?

b) Quelle est la taille maximale de la région d'émission si la luminosité de 3C9 varie en l'espace de 2 mois ?

a). Calcul de la distance pour une constante de Hubble Ho de 75 km/s/Mpc :

d = cz (1 + z / 2) / Ho (1 + z)2

d = 888 Mpc soit 2.9 milliards d'années-lumière

b). Calcul de la luminosité comparée à celle de la Voie Lactée (MVL) :

M = m - 5 log d - 25

M = -23.0

M - MVL = -2.5 log(L/LVL)

L = 6.6 LVL

c). Calcul de la dimension de la région d'émission :

ΔT = Δt' (1 - (v/c)2)1/2 = 864 heures

d = ΔT x c = 0.10 a.l. = 9.3 x 1011 km

Quelle est la magnitude absolue d'une étoile dont la magnitude apparente mv = 5.5 et la parallaxe 0.15" ? Que vaut le module de distance de cette étoile ?

Partant de mv = 5.5; de la parallaxe = 0.15" (mesuré à 1 pc)

Si 1/d = 0.15 pc-1 alors, d = 6.7 pc

Mv = mv - 5 log d + 5
Mv = 6.4

Le module de distance (m-M = 5.5 - 6.4) = -0.9

Quel est l'indice de couleur (B-V) d'une étoile de magnitude apparente mV = 9.2 dont la magnitude bleue mB = 9.6 ?

Indice de couleur : mB - mV

(B-V) = 9.6 - 9.2 = 0.4

Dans un spectre on constate que le maximum d'énergie correspond à λo = 470 nm. Sachant que le rapport d'énergie de 2 régions de ce spectre sont λ1 = 422 nm = 456 unités et λ2 = 866 nm = 174 unités, calculer sa température à cette fréquence λo en application de la loi de Wien.

En première approximation de la loi de Planck, l'énergie spectrale se définit par la formule :

avec c2 = 1.432 et λ la longueur d'onde exprimé en cm (le spectre visible s'étend entre 10-4 et 10-5 cm).

En tenant compte des énergies émises aux fréquences λ1 et λ2, la loi de Wien permet de calculer la température de ce corps : 

T = 6760 °C.

Une étoile de classe B5 V présente une magnitude visuelle m de 8.85 et une magnitude apparente en lumière bleue de 8.75.

a) Quel est l'excès de couleur de cette étoile sachant que son indice de couleur B-V = -0.16 ?

b) Que vaut l'absorption visuelle devant cette étoile ?

c) Calculer la distance de cette étoile en parsec sachant que sa magnitude absolue vaut -1.1.

a). (B-V)obs = -0.10; (B-V)vrai = -0.16

L'excès de couleur EC = -0.10 - (-0.16) = 0.06

b). Av = 3.1 x EC = 3.1 x 0.06 = 0.19 magnitudes

c). m - M = 5 log d - 5 + A

5 log d = m - M + 5 - A

5 log d = 8.85 - (-1.1) + 5 - 0.19 = 14.76

d = 895 pc

A partir des concepts de force, de masse et d'accélération, expliquer le principe de mise en orbite et l'accélération angulaire.

A partir de la relation fondamentale (1) et de la force gravitationnelle (2) qui s’exerce sur un objet en orbite et qui est inversement proportionnelle au carré de la distance à une constante près, on peut établir l’égalité (3) et découvrir la loi de l’accélération centripète (4) qui maintient un corps en orbite à une distance r à la vitesse v.

La vitesse angulaire ω est donnée par la relation dθ/dt et s’exprime en radians par seconde. Le taux de la variation angulaire par rapport au temps donne l’accélération angulaire et permet de décrire la rotation des corps solides autour d’un axe fixe et de connaître la vitesse linéaire de n’importe quel point du solide : v = rω.

Quelle est la vitesse linéaire (v) d'un météore si on connaît par des mesures de triangulation sa vitesse angulaire moyenne ω, sa distance à l'observateur (OD) et l'écart angulaire φ au radiant ?

Rappel de quelques relations trigonométriques :

Dans ce triangle rectangle nous connaissons l'hypoténuse, correspondant à la distance OD tandis que le côté b est assimilé à la distance (v) parcourue par le météore. La formule suivante nous permet de connaître sa vitesse exprimée en radian/sec :

Note : Consulter également le document relatif à la triangulation.

Le jet émis par le quasar 3C273 semble se déplacer 8 fois plus rapidement que la lumière ! Quelle est sa vitesse réelle ?

Nous devons utiliser la formule du redshift corrigé de l'effet relativiste (voir tableau) :

Photographie RGB du quasar 3C273 de magnitude 12.8 réalisé par David hanon avec un télescope de 600mm équipé d'une caméra CCD SBIG ST-8E.

Si Z = 8c, Z' = 0.976c ou 292481 km/s ! Le quasar lui-même présente un redshift Z=0.16 soit environ 48000 km/s.

Considérons une étoile très massive juste avant qu'elle n'explose en supernova dont le diamètre du noyau mesure 20 km pour une densité de 4 x 1017 kg/m3.

a) Calculer la force de gravité F d'un objet d'une masse de 1 kg à la surface du noyau.

b) Calculer la vitesse d'évasion à la surface du noyau de cette étoile.

Sachant que r = 10 km; ρ = 4.0 x 1017 km/m3

M = (4/3) π r3 ρ = 1.7 x 1030 kg

F = G M m / R2 = 1.1 x 1012 N, donc "1 kg" pèse 110 millions de tonnes !

Vev = √(2 G M / R) = 1.5 x 108 m/s = 0.5c, soit la moitié de la vitesse de la lumière !

Quelle est le facteur de ralentissement γ d'une horloge battant à la surface du Soleil comparé à celle installée sur Terre ?

Deux simples équations permettent de comprendre clairement ce phénomène.

Sachant que la force centrifuge F qui agit à une distance r du centre du Soleil vaut :

F = rω2, avec ω la vitesse angulaire

v = Rω, avec R le rayon du Soleil.

Le travail ω effectué par cette force F = 1/2R2ω2.

Sachant que le facteur de contraction γ vaut :

en remplaçant (v/c)2 par (Rω/c)2 la différence de potentiel de gravité existant entre la surface terrestre et la surface du Soleil vaut :

g = (1 - 1/2(Rω/c)2)- 1/2 = 1.0000005

Ainsi sur le Soleil 1 sec = 1.0000005 sec terrestre, et la lumière solaire rougit par rapport à celle émise dans un laboratoire terrestre situé au sol. Les horloges battent plus lentement à la surface du Soleil que sur Terre.

Note : Consulter le dossier sur la relativité (des exemple concrets) pour d'autres effets relativistes.

La nébuleuse du Crabe, M1, s'étend à raison de 0.23" par an. Elle mesure actuellement 4'x6'. La raie d'émission de l'hydrogène alpha est détectée à 658.93 nm. Calculer la distance de cette nébuleuse et estimer la date à laquelle elle explosa (vue depuis la Terre).

v = (λ/λo - 1) c

   = (658.93 / 656.3 - 1 ) x 3 x 105

   = 1200 km/s

   = 3.79 x 1010 km/an

Considérant une expansion spérique symétrique, nous pouvons calculer sa distance en comparant sa vitesse avec son taux d'expansion angulaire (Notons que ce taux d'expansion angulaire mesure un changement de diamètre en fonction du temps, nous devons donc diviser ce taux par 2 avant de le comparer avec la vitesse d'expansion).

θ = r / d

d = r / θ

d = 3.79 x 1010 km/an / [(0.23/2) sec d'arc/an / 206265]

d = 6.8 x 1016 km = 2200 pc ou 7172 a.l.

Si l'on prend sa dimension minimale actuelle soit 4', la date de l'explosion remonte à :

t = θ / [d(θ)/d(t)]

t = 4 x 60" / 0.23"/an = 1040 ans.

Noter que ce nombre est surestimé car le taux d'expansion n'est pas constant dans le temps.

Quelle est la résolution R de mon télescope de 125 mm si je peux distinguer un pylône de 10 cm de diamètre (d) placé à 20 km (D) avec un oculaire de 6 mm (208x) ?

R = inv sin (d/D) x 3600

R = sin-1 (d/D) x 3600

R = sin-1 (0.1/20000) x 3600

Ce télescope présente une résolution de 1.03". 

Il s'agit de la limite de Rayleigh qui permet de résoudre les anneaux de diffraction (il correspond à environ deux fois le diamètre de l'objectif exprimé en millimètres).

Nous avons réalisé un spectre de Véga, de magnitude +0.04 et de type spectral A0 avec un objectif de 50 mm f/1.4 équipé d'un réseau de diffraction fixé sur une monture équatoriale. L'exposition a été de 10 min sur film Tri-X. Nous voulons comparer ce spectre à celui d'Arcturus qui présente un type spectrale K2. Comment déterminer le temps d'exposition équivalent si cette étoile présente une magnitude de +0.20  ?

La relation de Pogson s'écrit : log (E2/E1) = (m2 - m1)/2.5, d'où nous tirons :

E2 = E1 x 10 ((0.20 - 0.04) / 2.5 ))

E2 = 1.16 E1

Pour des conditions de travail similaires, l'exposition sera 10m 09s.

Il faudra ajouter à ce temps d'exposition l'effet Schwarzschild à savoir que la sensibilité du film diminue avec la durée d'exposition et que les étoiles rouges impressionnent moins facilement l'émulsion panchromatique que les étoiles bleues.

Vous pouvons pratiquement ajouter 30 à 40% au temps indiqué, soit faire une prise de vue de 14 min.

Pour plus d'informations

Sur ce site

Formules pratiques

Magnitude et distance

Calculette :

Convertisseur de magnitudes

Quelques livres (cf. détails dans ma bibliothèque)

A Student's Guide to the Mathematics of Astronomy, Daniel Fleisch, Cambridge University Press, 2013

Cosmologie - Cours & exercices corrigés d’astrophysique, James.A.Rich, Vuibert, 2010

Theory of Stellar Structure and Evolution, D.Prialnik, Cambridge University Press, 2000/2009

Astronomie & Astrophysique, M.Seguin/B.Villeneuve, Masson, 1995/2002

Astronomie : Méthodes et calculs - Exercices corrigés, A.Acker, Masson, 1997
Recueil de Problèmes et d'Exercices d'Astronomie, Boris Vorontsov-Veliaminov et Valentin Polonski, Editions Mir, 1980/1986

Stars and galaxies: Example of problems, Dr Cartwright/U.Sheffield

Mécanique céleste, temps et calendrier (QCM) Obs. Paris

Catalogue stellaire VizieR V/101

Catalogue stellaire Hipparcos.

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