Tous ces symboles à n’en pas douter ont une utilité fondamentale : raccourcir les expressions en simplifiant leur écriture[4], qui sans cette astuce seraient développées sur des pages et des pages comme l’on fait nos aïeux jusqu’au début du XX^eme siècle.

Même si vous n’aimez pas les mathématiques, si vous respectez la convention d’Einstein sur les indices vous ferez facilement la distinction entre un tenseur complet R_mn et un tenseur de rang deux R^mn, entre un tenseur contravariant d_m et une dérivé d’ordre m, dx^m, entre un tenseur de la forme t^ab et son inverse t_ab ou encore entre une matrice g_ab et son symétrique g_ba. Mais qu’il vous prenne l’envie de “monter” ou de “descendre” un indice et votre équation s’écroule.

En effet, par convention, dans un calcul matriciel, les indices représentent les coordonnées du vecteur dans un base définie et dans un espace vectoriel de dimension quelconque. Le premier indice est celui de la ligne et le second, celui de la colonne. Ainsi comme vous l’avez probablement compris, le calcul du déterminant d’une matrice varie en fonction de cette convention qui stipule l’ordre des lignes et des colonnes. Toute infraction à cette règle vous donnera des résultats incorrects.

Se greffe sur cette convention d’écriture des règles de calcul telle que la contraction de la quantité sur l’indice muet, l’exposant en puissance de l’expression ou la suppression du symbole de sommation S. Il n’est donc pas rare de trouver des expressions concises mêlant tous ces indices et autres puissances en lieu et place des expressions développées. L’équation concise suivante par exemple, encore très simple malgré les apparences - nous l’expliquerons un peu plus loin -, représente le mouvement d’une particule de coordonnées {x^a} en relativité générale :

ds²  =  g_mndx^mdxⁿ

Pour éviter une confusion totale et dénuer l’expression de son sens, la règle consiste donc à dire qu’il existe deux types d’indices en relativité générale (4 dimensions) :

- les indices latins i, j, k, etc qui prennent chacun les valeurs 1, 2 ou 3

- les indices grecs a, b, d, etc qui prennent les valeur 0, 1, 2 ou 3.

Les indices muets sont des indices qui sont répétés deux fois dans un membre, une fois en haut et une fois en bas, tel que T^a_a. Ils peuvent prendre n’importe quelle valeur de l’expression.

La contraction des deux indices muets (a) d’un tenseur R^am_an donne pour résultat R^m_n. Les autres indices gardent leur place; ils respectent la règle du balancement des indices.

Le nombre d’indice exprimé (non muets) sur les composantes d’un tenseur définit l’ordre ou le rang du tenseur. Ainsi, un tenseur d’ordre n présente n indices. Un vecteur est un tenseur d’ordre 1, un scalaire est un tenseur d’ordre 0.

Les composantes d’un tenseur sont dites complètement covariantes lorsque tous les indices sont “en bas”. On dira qu’elles sont complètement contravariantes lorsqu’ils sont tous “en haut”. Les composantes d’un tenseur mixte présenteront des indices “haut” et “bas”. Ce concept n’intervient que si les tenseurs h^ab et h_ab ou g^ab et g_ab en fonction du système de coordonnées utilisé (Minkowskien, Riemannien) fournissent une correspondance biunivoque entre tenseurs. Cette correspondance permet par exemple de considérer T_mn comme la composante covariante du même tenseur si la position des indices a été contractée pour passer d’un type de composante à un autre de nature différente.

Les crochets sont également indicés. Si les matrices ne sont pas symétriques, ils soulignent l’antisymétrie des composantes par rapport aux indices : R^a_b[mn] = R^a_bmn.

Les deux signes de ponctuation , et ; joue aussi une rôle important dans la montée ou la descente d’indices. Les opérateurs qui subissent une notation abrégée, telle que la divergence d’une fonction vectorielle V_m par exemple, passe de la notation ¶V_m/¶x^a à la forme V_m,a. La divergence d’un champ de vecteurs Vⁱ passe de la forme ¶_iVⁱ à la forme Vⁱ_i . Noter à chaque fois la virgule qui sépare les deux indices. Le signe ; apparaît dans une expression X lorsqu’on utilise la convention (X);_m  º Ñ_m(X). Il permet également d’écrire R^k_m;k = R^km_;k.

Enfin, le symbole de sommation S disparaît également lorsqu’un indice apparaît deux fois et l’expression s’écrit simplement T^ab_ak.   

L’expression A Ä B représente le produit scalaire des espaces vectoriels A et B. Ce produit influence la position des indices. En géométrie Riemannienne par exemple, lorsqu’on effectue une correspondance entre tenseurs, il est possible de faire “monter” ou “descendre” un indice à partir des composantes de l’un d’entre eux par contraction avec respectivement g^ab ou g_ab :  T^a_b... =  g_bdT^ad ... Ainsi par contraction du tenseur de courbure de Riemann, on construit le tenseur de Ricci qui mesure la déformation : R_bm = R^a_bma

On définira la trace Tr d’une matrice comme la somme de ses éléments diagonaux : pour une matrice T de la forme T^a_b, Tr[T] = T^a_a. Einstein la note simplement T. La trace du produit de matrices est un invariant après une rotation cyclique, ou autrement dit Tr[ABC] = Tr[CAB]. De même, si une matrice A contient un nombre paire de matrices g non redondantes, en appliquant les règles de rotation cyclique et d’anticommutativité il s’ensuit que [A] = 0.

Pour l’anecdote et en revenir à Einstein, ainsi qu’en témoignent les annotations de son article écrit en collaboration avec Grossmann en 1913, il ne fera pas la distinction entre les tenseurs covariants et contravariants qui, ainsi que vous le savez à présent, sont respectivement indicés en bas et en haut : g_mn n’est pas g^mn. Ayant lu les travaux de Ricci et Levi-Civita il n’y renoncera qu’en 1914[5]. Mais il ne les respectera toujours pas pour indiquer les différentielles dx_m. A sa décharge signalons toutefois qu’il ne conservera le symbole de sommation pour les indices répétés que jusqu’en 1916, disant alors à un ami : “j’ai fait une grande découverte mathématique; j’ai supprimé le symbole de sommation à chaque fois que celle-ci devait s’effectuer sur un indice apparaissant deux fois”[6]. Pour notre part, si vous le voulez bien nous respecterons la notation moderne que je viens de vous présenter.

Fin du cours préparatoire !

M’avez-vous quelque peu suivi ? Comme dans le jeu de l’oie, dans l’infirmative revenez quelques pages en arrière, sinon poursuivez votre lecture.

Ce corpus théorique a repris les notions essentielles du béaba d’un langage symbolique qui ne se veut pas exhaustif. Des ouvrages entiers ont été écrits sur le sujet dans lesquels chaque auteur peut encore poser ses propres conventions de signes (suppression des indices, des carrés, des négatifs, etc).

L'essentiel est que les mots champ, tenseur, cône de lumière, covariance et autre dérivée ne vous soient pas inconnus. Du reste, il est difficile dans un tel ouvrage de revenir sur d’autres notions fondamentales qui touchent à l’énergie d’un système, telles que l’intégrale d’action, le Lagrangien, la densité de matière, etc. J’essayerai d’en toucher un mot dans le corps du livre tout en gardant à l’esprit que cet ouvrage n’a pas la prétention de vous diplômer en physique relativiste !

En sus, ces quelques règles simples vous permettent de comprendre pourquoi les équations de la relativité disent vraiment si peu de choses à ceux qui ne sont pas du métier. Les abréviations et autres disparition de signes n’aident en rien la compréhension... Heureusement, les exemples concrets rendent la théorie accessible au plus grand nombre.

Pour plus d'information

Cours de Relativité Générale, IAP

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