ds²  =  - dx²  - dy²  - dz²  + dt²

Développons l’équation :  

En coordonnées rectangulaires, à l’infini spatial les valeurs dites de Galilée sont :

Le tenseur métrique s’écrit alors (-1,-1,-1,+1). Si le potentiel de gravitation présente ces valeurs en tous points, le continuum espace-temps est plat. Cela dit, si le potentiel à d’autres valeurs, cela n’implique pas nécessairement que l’espace-temps ait une structure différente. Le type d’espace-temps ne peut alors être déterminé qu’en mesurant physiquement l’intervalle ds.

NB. On peut également utiliser une autre métrique, dans laquelle on utilise une coordonnée x₄ imaginaire, de même que pour les g_mn. Cet artifice permet d’obtenir un tenseur métrique de la forme (-1,-1,-1,-1).

Le tenseur de Weyl mesure la distorsion provoquée par l’effet de marée gravitationnelle et présente les mêmes symétries que le tenseur de courbure. En particulier, il s’annule si la métrique est conforme à celle d’un espace plat. Le tenseur de Ricci mesure la déformation. Nous savons déjà que sa contraction conduit au scalaire de courbure R  = g^mn R_mn.

En fonction du système de coordonnées utilisé (comobile, sphérique, Minkowskien, Riemannien, etc) chaque terme des équations de champ reçoit un attribut qui caractérise le tenseur d’énergie-impulsion, g_mn, composante qui sera placée dans une matrice carrée (4 x 4). Dans le cas le plus simple, certaines composantes sont symétriques, égales deux à deux en diagonale. Cela permet de simplifier les calculs, mais il reste au moins 10 composantes à résoudre; mathématiquement exprimé, 10 équations de champ ! La résolution de ce calcul matriciel, qui fait appel à des dérivées partielles et des notions plus abstraites encore, permet de déterminer la métrique, la manière dont l’espace-temps est repéré. Cette solution donne une mesure de la distance réelle qui sépare deux événements repérés. Elle respecte également l'invariance de certaines grandeurs telles que la vitesse, la masse ou l’énergie. Les solutions permettent de connaître la courbure intrinsèque de la surface sur laquelle on travaille, celle de l'espace-temps dans le cas présent.

C'est la raison pour laquelle le tenseur représentant cette matrice est baptisé tenseur de "courbure" de Riemann car il symbolise la pente des coordonnées curvilignes. Dans une théorie du champ unifié, on doit traduire le concept de matière et de tout autre champ tel celui de l’électromagnétisme d'une façon analogue et c'est la raison pour laquelle on parle alors de tenseur "d’énergie-impulsion". On arrive ainsi à dresser une égalité entre l'espace-temps et l’énergie, la matière.

Grâce à Riemann, nous savons que la courbure locale d'un point de l'espace dépend de la métrique, du tenseur g_mn, indépendamment du choix des coordonnées. "Les coordonnées d'espace-temps deviennent des paramètres dénués de toute signification physiques", écrivait Einstein. Dans un volume, la courbure moyenne totale ne dépend toujours pas des systèmes de coordonnées. Le changement de coordonnées a seulement induit une sommation des équations de champ, que l’on nomme plus familièrement la courbure d'Einstein. En modifiant les coordonnées d'un point de l'espace-temps par le biais d’une loi de transformation, le tenseur de courbure R^mn se voit gratifier de 4 nouveaux composants métriques xyzt, mais ils sont identiques à ceux repris dans les dix équations du champ gravitationnel qui décrivent les corps en mouvements. Les équations de courbure sont donc proportionnelles aux équations de la matière qui modifie le champ gravitationnel.

Notion de tenseur en relativité générale

Familiarisons-nous avec les termes “ésotériques” de la théorie de la gravitation pour nous mettre en jambe avant d’affronter la théorie d’Einstein.

La notion de tenseur introduite en relativité restreinte pour tenir compte des 4 dimensions reste valide dans la théorie métrique d’Einstein. 

g_mn(x) est le tenseur fondamental, covariant et symétrique

g^ms est son inverse symétrique et satisfait la relation :

g^msg_mn = g_nmg^ms = d^m_n

d^m_n est le tenseur mixte invariant (symbole de Kronecker)

Si on utilise une coordonnée x₄ imaginaire, on peut alors écrire :

g_mn = - d_nm

Ces relations mixtes sont valides en tous points de l’espace-temps et pour tous systèmes de coordonnées, dans la métrique minkowskienne ou courbe. Les g^mn apparaissent alors comme les composantes d’un tenseur contravariant.

Du point de vue “linguistique”, en topologie on représente le tenseur de courbure par le symbole G ou g, l'initiale de "géométrie" qui, comme par intuition, est aussi celle de "gravitation" ! Pour vous rendre la vie plus difficile, Einstein introduisit également le symbole R. En fait les symboles G, g et R représentent des relations différentes bien que toujours relatives au champ de gravitation. Ainsi g peut représenter un tenseur (symétrique et réel), G est un champ qui définit géométriquement la translation rectiligne d’un vecteur tandis que R est le tenseur de courbure de Riemann.

Fin du cours préparatoire !

M’avez-vous quelque peu suivi ? Comme dans le jeu de l’oie, dans l’infirmative revenez quelques pages en arrière, sinon poursuivez votre lecture.

Je pense qu’à présent les mots tenseur, covariance et autre dérivée ne vous sont pas inconnus. Du reste, il m’est difficile de revenir sur d’autres notions fondamentales qui touchent à l’énergie d’un système, telles que l’intégrale d’action, le Lagrangien, la densité de matière, etc. Essayons malgré tout d’en toucher un mot tout en gardant à l’esprit que ce dossier n’a pas la prétention de vous diplômer en physique relativiste !

Poursuivons donc notre récit et voyons de quelles façons Einstein aboutit aux équations de champ à partir de ces concepts, explications dont la forme est plus théorique, mais qui vous donneront je l’espère, une idée assez précise de la complexité de cette matière et de la démarche qu’il a suivi.

Comme je serai bien en peine de vous démontrer les thèses qu’il nous propose, je me contenterai de les présenter avec quelques mots d’explication. Je crois que cela suffira pour la majorité d’entre nous qui préfèrent ne pas trop se remémorer leurs cours de mathématique... Dans tous les cas, pour paraphraser Dirac, les équations en savent plus que nous !

Prochain épisode

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